Диссертация (786079), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Соответственно, второе слагаемое являетсяklrдивергенцией вектора (CabijpmnqЭ pqr Эklr Dija,k Dmnb / 2)по свободному индексу l . Наосновании теоремы о дивергентном слагаемом, уравнения Эйлера будутсодержать только те модули, которые входят в симметричную частьabab+ Cijlmnk(Cijkmnl) / 2 тензоров модулей. Модули, входящие в антисимметричнуючасть (Cabijkmnlab− Cijlmnk) / 2 тензоров модулей, напротив, не будут фигурировать вуравнениях Эйлера.Назовем «существенными» те модули, которые входят в состав тензоровabab(Cijkmnl)/2.+ CijlmnkСоответственно,«несущественными»которые входят в состав тензоров (Cabijkmnlназовеммодули,ab− Cijlmnk) / 2 . Симметрируем тензорышестого ранга по третьему-шестому индексам и получим их упрощенную272форму.
В итоге, структуры тензоров модулей шестого ранга приобретаютвид:22Cijkmnl== c122 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ c222 (δ ikδ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ inδ jlδ km + δ mjδ nkδ li ) ++ c322 (δ ikδ jnδ ml + δ ilδ jnδ mk ) ++ c422 (δ imδ jkδ nl + δ imδ jlδ nk ) ++ c522δ ijδ klδ mn + c622δ imδ jnδ kl + c722δ inδ mjδ kl21Cijkmnl== c112δ ij (δ knδ ml + δ klδ mn + δ kmδ nl ) ++ c212δ im (δ knδ jl + δ klδ jn + δ kjδ nl ) ++ c312δ jm (δ ilδ kn + δ inδ kl + δ ikδ nl ) ++ c412 (δ inδ kjδ ml + δ ilδ kjδ mn + δ ikδ jnδ ml + δ ikδ jlδ mn + δ inδ kmδ jl + δ ilδ kmδ nj )12=Cijkmnl= c112 (δ ijδ klδ mn + δ ikδ jlδ mn + δ ilδ kjδ mn ) ++ c212 (δ imδ knδ jl + δ imδ klδ jn + δ imδ kjδ nl ) ++ c312 (δ inδ kmδ jl + δ inδ klδ mj + δ inδ kjδ ml ) ++ c412 (δ ijδ kmδ nl + δ ikδ jmδ nl + δ ijδ knδ ml + δ ikδ jnδ ml + δ ilδ kmδ nj + δ ilδ knδ mj )11Cijkmnl== с111 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ++ δ ijδ knδ ml + δ mnδ lj δ ik + δ ij δ klδ mn + δ ik δ jnδ ml ++ δ inδ jl δ km + δ mjδ nk δ li + δ inδ mjδ kl + δ il δ jnδ mk ) ++ с211 (δ imδ jk δ nl + δ imδ jnδ kl + δ imδ jl δ nk )С учетом гипотез обратимости и «существенности», количество «моментныхмодулей» сокращается с тридцати одного до тринадцати.
Это количество ненамного больше, чем в «классической» теории Миндлина.9.3.3. Теорема о единой природе когезионных и адгезионныхвзаимодействий.В этом разделе предпринята попытка обоснования сокращения количествакогезионных модулей иным, более физичным путем [127].Все тензоры модулей шестого ранга участвуют в свертках с кривизнами двух273сортов, и общим свойством всех сверток является то, что все кривизны –интегрируемы, т.е.
являются градиентами соответствующих дисторсий.Докажем теорему: «В объемную плотность потенциальной энергии кривизнвходят только те модули, которые фигурируют множителями при базисныхтензорах, симметричных при перестановке третьего и шестого индексов.Остальные модули входят в ту часть объемной плотности потенциальнойэнергии кривизн, которая может быть преобразована в соответствующуючасть поверхностной плотности потенциальной энергии адгезионноговзаимодействия кривизн и дисторсий разных сортов. Таким образом, частьпотенциальнойэнергиикогезионныхвзаимодействийможетбытьпредставлена как часть потенциальной энергии адгезионных взаимодействий,и наоборот, что говорит о единой природе когезионных и адгезионныхвзаимодействий».Доказательство.Рассмотримтучастьудвоеннойпотенциальнойэнергии,котораяопределяется кривизнами обоих сортов:∫∫∫=∫∫∫ [(C=∫∫∫ [(CabCijkmnlDija,k Dmnb ,l dV =abijkmnlabijkmnlababab+ Cijlmnk) / 2 + (Cijkmnl− Cijlmnk) / 2]Dija,k Dmnb ,l dV =abab+ Cijlmnk) / 2 + CijpmnqЭ pqr Эklr / 2]Dija,k Dmnb ,l dVВторое слагаемое можно преобразовать к виду:∫∫∫abCijpmnqЭ pqr Эklr Dija, k Dmnb , l dV =∫∫abCijpmnqЭ pqr Эklr nk Dija Dmnb , l dFЭто соотношение показывает, что часть потенциальной энергии кривизн в∫∫∫ Cобъемеэнергии∫∫ CabijpmnqabijpmnqЭ pqr Эklr Dija,k Dmnb ,l dV = U *адгезионныхэквивалентнавзаимодействийчастинапотенциальнойповерхностиЭ pqr Эklr nk Dija Dmnb ,l dF = U * .Потенциальная энергия U субъективно может быть отнесена как к части*274объемной потенциальной энергии кривизнчасти∫∫поверхностнойabCijpmnqЭ pqr Эklr nk Dija Dmnb ,l dF =∫∫∫∫∫ CabijpmnqЭ pqr Эklr Dija, k Dmnb , l dV , так и кпотенциальнойэнергииадгезииabAijmnlDija Dmnb ,l dF .Здесь следует отметить, что тензоры адгезионных модулей пятого ранга Aabijmnlмогут являться только частями тензоров A , так как их трансверсальнаяabijmnlизотропность определяется наличием в их базисных тензорах только одноговектора единичной нормали.
В то же время, общая структура тензора Aabijmnlопределяется еще и другой группой базисных тензоров, содержащих в себетройки векторов единичной нормали. Поэтому, так же, как нельзя полностьюсвести когезионные взаимодействия к адгезионным, нельзя и адгезионныевзаимодействия полностью свести к когезионным.Если выражение∫∫ C Э=−∫∫ [Cabijpmnqpqr∫∫ CabijpmnqЭ pqr Эklr nk Dija Dmnb ,l dF взять по частям, получим:Эklr nk Dija Dmnb , l dF =abijpmnqabЭ pqr Эklr nk Dija, l Dmnb + CijpmnqЭ pqr Эklr nk , l Dija Dmnb ]dF +∑∫ CabijpmnqЭ pqr Эklr nk vl Dija Dmnb dsПеренеся первое слагаемое правой части соотношения в её левую часть,получим:∫∫ (C + C=−∫∫ C Эabbaijpmnqmnpijqabijpmnqpqr)Э pqr Эklr nk Dija Dmnb ,l dF =Эklr nk ,l Dija Dmnb dF −∑∫ CabijpmnqЭ pqr sr Dija Dmnb dsПринимая во внимание соотношение Cbamnpijqab, являющееся условием= Cijqmnpсуществования потенциальной энергии, получим:∫∫ (Cabijpmnqab+ Cijqmnp)Э pqr Эklr nk Dija Dmnb ,l dF ≡ 0Отсюда следует, что сумма положительно определенных квадратичных формравна нулю:−∫∫abCijpmnqЭ pqr Эklr nk ,l Dija Dmnb dF −∑∫ CabijpmnqЭ pqr sr Dija Dmnb ds = 0275Как следствие, эти квадратичные формы равны нулю по отдельности:∫∫ (C Э )Э n D D dF = 0∑ ∫ (C Э )s D D ds = 0abijpmnqpqrk ,lklrabijpmnqpqrrabijmnabijmnab⇒ (CijpmnqЭ pqr ) = 0Что приводит к требованию равенства нулю антисимметричных по третьемушестому индексам частей тензоров Cabijkmnl:abCijkmnlЭklr == (C1ab − C2ab )δ ij Эmnr + (C4ab − C14ab )δ jm Эinr + (C5ab − C13ab )δ jn Эimr ++ (C6ab − C15ab )δ mn Эijr + (C7ab − C8ab )δ im Э jnr + (C10ab − C11ab )δ in Эmjr = 0Из доказанной теоремы следует, что антисимметричная по третьему ишестомуиндексучастьтензоровобъемных«моментных»модулейопределяет потенциальную энергию адгезии, связанную с взаимодействиемна поверхности дисторсий и кривизн соответствующих сортов.
Такимобразом, существенными для формулировки выражения объемной плотностипотенциальной энергии кривизн являются только те модули, которые входятв выражение симметричной при перестановке третьего и шестого индексачасти тензоров модулей шестого ранга. Остальные объемные «моментные»модули являются слагаемыми в компонентах тензоров адгезионных свойствabили равны нулю, если таковые адгезионные свойства поверхности неAijmnlучитываются.Таким образом, теорема «О единой природе когезионных и адгезионныхвзаимодействий» позволяет сократить количество объемных «моментных»модулей в каждом тензоре шестого ранга с одиннадцати до семи.ab=Cijkmnl= C1ab (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ C3ab (δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ inδ jlδ km + δ mjδ nk δ li ) ++ C6ab (δ ik δ jnδ ml + δ ilδ jnδ mk ) ++ C7ab (δ imδ jk δ nl + δ imδ jlδ nk ) ++ [C5abδ ijδ mn + C8abδ imδ jn + C10abδ inδ jm ]δ klОсновное следствие доказанной теоремы – свойство симметрии при276перестановке третьего и шестого индексов всех тензоров модулей шестогоранга:ababCijkmnl= CijlmnkТаким образом, общая постановка теории сред с полями сохраняющихсядислокаций приводит к требованию симметрии по третьему-шестомуиндексам всех четырех тензоров когезионных модулей шестого ранга.229.3.4.
Структура тензора Миндлина Cijkmnl.22входит в выражение плотности потенциальной энергииТензор модулей Cijkmnlчерез свертку с двумя тензорами третьего ранга кривизн второго сорта:22222CijkmnlDij2,k Dmn,l . Поэтому тензор модулей Cijkmnl должен обладать следующимисвойствами:2222222CijkmnlDij2,k Dmn,l = Cmnlijk Dmn ,l Dij , k22222) Dij2,k Dmn⇒ (Cijkmnl− Cmnlijk,l = 02В силу того, что в произвольной точке среды Dij2,k Dmn,l ≠ 0 , необходимо, чтобы:22222222− Cmnlijk= Cmnlijk(Cijkmnl) = 0 ⇒ CijkmnlТакимобразом,потенциальнаяэнергиязависитоткомпонентовсимметричной при перестановке первой и второй троек индексов частитензора22.CijkmnlОстальныекомпонентытензора22Cijkmnlопределяютдиссипативные свойства дислокаций, и в обратимой модели должны быть22равны нулю.
Следовательно, тензор Cijkmnlв обратимой модели имеетодиннадцать компонент:22=Cijkmnl= C122 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + C222 (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ C322 (δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) + C422 (δ inδ jlδ km + δ mjδ nk δ li ) ++ C522δ ijδ klδ mn + C622δ ik δ jnδ ml + C722δ imδ jk δ nl + C822δ imδ jnδ kl ++ C922δ imδ jlδ nk + C1022δ inδ mjδ kl + C1122δ ilδ jnδ mkНа основании теоремы «О единойприроде когезионных и адгезионных27722взаимодействий», тензор Cijkmnlтакже должен обладать симметрией при2222. Отсюда следует:перестановке третьего и шестого индексов Cijkmnl= Cijlmnk2222(Cijkmnl+ Cijlmnk)/2 == (C122 + C222 )(δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ lmδ nk + δ mnδ kiδ jl ) / 2 ++ (C322 + C422 )(δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ ilδ jmδ nk + δ mkδ niδ jl ) / 2 ++ (C622 + C1122 )(δ ik δ jnδ ml + δ ilδ jnδ mk ) / 2 ++ (C722 + C922 )(δ imδ jk δ nl + δ imδ jlδ nk ) / 2 ++ (C522δ ijδ mn + C822δ imδ jn + C1022δ inδ mj )δ kl22Cijkmnl== C1M (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ lmδ nk + δ mnδ kiδ jl ) / 2 ++ C2M (δ ikδ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ ilδ jmδ nk + δ mkδ niδ jl ) / 2 ++ C3M (δ ikδ jnδ ml + δ ilδ jnδ mk ) / 2 ++ C4M (δ imδ jkδ nl + δ imδ jlδ nk ) / 2 ++ (C5M δ ijδ mn + C6M δ imδ jn + C7M δ inδ mj )δ kl12219.3.5.
Структура тензоров Cijkmnlи Cijkmnl.211222и Cijkmnlтак же, как и для тензора Cijkmnl, компонентыДля тензоров Cijkmnlантисимметричной при перестановке первой и второй троек индексов части,приодновременнойперестановкеиндексовсортности,определяютдиссипативные свойства, и для обратимой модели должны быть равны нулю.2112и Cijkmnlобладают свойством:Следовательно, тензоры Cijkmnl2112Cijkmnl= Cmnlijk12Можно говорить, что для тензора Cijkmnlпервая тройка индексов связана синдексами кривизн первого сорта, а вторая – с индексами кривизн второго21ситуация противоположная: первая тройка индексовсорта.
Для тензора Cijkmnlсвязана с индексами кривизн второго сорта, а вторая – с индексами кривизнпервого сорта.Дляэтихтензоровсуществуетдополнительное278условие,обусловленное тем, что кривизна первого сорта Dijk1 = Ri , jk = Ri ,kj симметрична21долженпо последним двум индексам. Поэтому тензор модулей Cijkmnlобладать следующими свойствами:2121CijkmnlDijk2 Rm ,nl = CijkmnlDijk2 Rm ,ln21212⇒ (Cijkmnl− Cijkmln ) Dijk Rm , nl = 01В силу того, что в произвольной точке среды Dijk2 Dmnl≠ 0 , необходимо, чтобы:21212121(Cijkmnl− Cijkm⇒ Cijkmnl= Cijkmln ) = 0ln21Это требование приводит к следующей структуре тензора Cijkmnl:21=Сijkmnl= С1212δ ijδ kmδ nl + С1412δ ik δ jmδ nl + С712δ imδ jk δ nl ++ (С512 + С1312 )δ ij (δ knδ ml + δ klδ mn ) / 2 + (С212 + С612 )δ ik (δ jnδ ml + δ jlδ mn ) / 2 ++ (С812 + С912 )δ im (δ jlδ nk + δ jnδ lk ) / 2 + (С1112 + С1512 )δ km (δ inδ jl + δ ilδ jn ) / 2 ++ (С412 + С1012 )δ jm (δ inδ kl + δ ilδ kn ) / 2 + (С112 + С312 )(δ mlδ ni + δ mnδ li )δ jk / 22112= CmnlijkСледовательно, тензоры Cijkmnlв обратимой модели имеют девятьобщих компонент.На основании теоремы «О единой природе когезионных и адгезионных21также должен обладать симметрией привзаимодействий», тензор Cijkmnl2121.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
