Диссертация (786079), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Отсюда следует:= Cijlmnkперестановке третьего и шестого индексов Cijkmnl27921CijkmnlЭkla == C121δ ij Эmna + C221δ jm Эina + C321δ im Э jna ++ C421δ ij Эnma + C521 (δ jn Эima + δ mn Эija ) + C621δ im Эnja ++ C721 (δ in Эmja + δ jn Эmia ) + C821δ mj Эnia + C921 (δ mn Э jia + δ ni Э jma ) == (C121 − C421 )δ ij Эmna ++ (C221 − C821 )δ jm Эina ++ (C321 − C621 )δ im Э jna ++ (C521 − C721 )δ jn Эima ++ (C521 − C921 )δ mn Эija ++ (C721 − C921 )δ in Эmja = 0C421 21C6 21C7 21C8C 21 9= C121= C321= C521= C221= C5212112С учетом этой теоремы тензоры Cijkmnlи Cijkmnlобладают четырьмя общимимодулями:21Cijkmnl== C121δ ij (δ klδ mn + δ kmδ nl + δ knδ ml ) ++ C221δ jm (δ klδ in + δ kiδ nl + δ knδ il ) ++ C321δ im (δ klδ jn + δ kjδ nl + δ knδ jl ) ++ C521 (δ ik δ jnδ ml + δ ik δ jlδ mn + δ kmδ inδ jl + δ kmδ ilδ jn + δ jk δ mnδ li + δ jk δ mlδ ni )12Cijkmnl== C121δ mn (δ lk δ ij + δ liδ jk + δ ljδ ik ) ++ C221δ ni (δ lk δ mj + δ lmδ jk + δ ljδ mk ) ++ C321δ mi (δ lk δ nj + δ lnδ jk + δ ljδ nk ) ++ C521 (δ mlδ njδ ik + δ mlδ nkδ ij + δ liδ mjδ nk + δ liδ mkδ nj + δ nlδ ijδ km + δ nlδ ik δ jm )119.3.6.

Структура тензора Тупина Cijkmnl.11существует аналогичное условие, обусловленное тем, чтоДля тензора Cijkmnl2801кривизны первого сорта Dijk1 = Ri , jk = Ri ,kj и Dmnl= Rm ,nl = Rm ,ln симметричны попоследним двум индексам.11Cijkmnl== C111 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + C211 (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ C311 (δ ikδ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) + C411 (δ inδ jlδ km + δ mjδ nkδ li ) ++ C511δ ijδ klδ mn + C611δ ikδ jnδ ml + C711δ imδ jkδ nl + C811δ imδ jnδ kl ++ C911δ imδ jlδ nk + C1011δ inδ mjδ kl + C1111δ ilδ jnδ mk11CijkmnlЭ jka == (C111 − C311 )δ nl Эima + (C211 − C611 )δ ml Эina + (C211 − C511 )δ mn Эlia ++ (C411 − C1011 )δ in Эlma + (C411 − C1111 )δ li Эmna ++ (C811 − C911 )δ im ЭnlaC311 11C5C 11 6 11C9C 11 10C1111= C111= C211= C211= C811= C411= C41111Cijkmnl== C111 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) ++ C211 (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik + δ ijδ klδ mn + δ ik δ jnδ ml ) ++ C411 (δ inδ jlδ km + δ mjδ nkδ li + δ inδ mjδ kl + δ ilδ jnδ mk ) ++ C711δ imδ jk δ nl ++ C811 (δ imδ jnδ kl + δ imδ jlδ nk )11в обратимой модели имеет пять компонент.Следовательно, тензор CijkmnlНа основании теоремы «О единой природе когезионных и адгезионных11также должен обладать симметрией привзаимодействий», тензор Cijkmnl1111.

Отсюда следует:= Cijlmnkперестановке третьего и шестого индексов Cijkmnl28111Эkla =Cijkmnl= (C111 − C211 )(δ ij Эmna + δ mn Э jia ) ++ (C111 − C411 )(δ jm Эina + δ ni Э jma ) ++ (C211 − C411 )δ jn Эima ++ (C711 − C811 )δ im Э jnaC211 = C111 1111C4 = C1 1111C8 = C711=Cijkmnl= C111 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ++ δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik + δ ijδ klδ mn + δ ik δ jnδ ml ++ δ inδ jlδ km + δ mjδ nk δ li + δ inδ mjδ kl + δ ilδ jnδ mk ) ++ C711 (δ imδ jk δ nl + δ imδ jnδ kl + δ imδ jlδ nk )TCijkmnl== C1T (δ ij δ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ik δ jmδ nl + δ ml δ niδ jk ++ δ ij δ knδ ml + δ mnδ lj δ ik + δ ij δ kl δ mn + δ ik δ jnδ ml ++ δ inδ jl δ km + δ mj δ nk δ li + δ inδ mj δ kl + δ il δ jnδ mk ) ++ C 2T (δ imδ jnδ kl + δ imδ jl δ nk + δ imδ jk δ nl )Таким образом, тензор Тупина обладает всего двумя существеннымимодулями.Итогом изучения структуры и свойств тензоров модулей шестого рангаявляется следующее:22- тензор Миндлина Cijkmnlобладает семью независимыми модулями,1221- тензоры Cijkmnlи Cijkmnlобладает четырьмя общими модулями,11обладает двумя независимыми модулями.- тензор Тупина CijkmnlВсего общая теория обладает тринадцатью независимыми модулями, что нена много превышает количество «когезионных» модулей классическойтеории Миндлина (одиннадцать модулей).2829.4.Гипотеза ортогональности типов дислокаций.Рассмотрим случай разложения потенциальной энергии кривизн по типам:∫∫∫ CabijkmnlbabbDijka DmnldV = ∫∫∫ CijkmnlDija,k Dmn,l dV =11abb= ∫∫∫ Cijkmnl[γ ija + θ aδ ij − ω pa Эijp ],k [γ mn+ θ bδ mn − ωqb Эmnq ],l dV =3311 babbb= ∫∫∫ Cijkmnl[γ ija,k + θ ,akδ ij − ω pa ,k Эijp ][γ mn,l + θ ,l δ mn − ω q ,l Эmnq ]dV =331 ababbbabab= ∫∫∫ [Cijkmnlγ ija,k γ mnCijkmnlδ ijθ ,ak γ mn,l +,l − Cijkmnl Эijpω p , k γ mn ,l +31 ab1 ab1 ab+ Cijkmnlδ mnγ ija,kθ ,bl + Cijkmnlδ mnδ ijθ ,akθ ,bl − Cijkmnlδ mn Эijpω pa ,kθ ,bl −3931 ababab− CijkmnlЭmnqγ ija,kωqb,l − Cijkmnlδ ij Эmnqθ ,akωqb,l + CijkmnlЭmnq Эijpω pa ,kωqb,l ]dV =31 ababbab= ∫∫∫ [Cijkmnlγ ija,k γ mnCijkmnlδ mnδ ijθ ,akθ ,bl + CijkmnlЭmnq Эijpω pa ,kωqb,l +,l +91 ab1 abbababbaabba+ (Cijkmnl+ Cmnlijk)δ ijθ ,ak γ mn(Cijkmnl + Cmnlijk)δ mn Эijpω pa ,kθ ,bl ]dV =,l − (Cijkmnl + Cmnlijk ) Эijpω p , k γ mn ,l −331 ababbab= ∫∫∫ [Cijkmnlγ ija,k γ mnCijkmnlδ mnδ ijθ ,akθ ,bl + CijkmnlЭmnq Эijpω pa ,kωqb,l +,l +92 ab2 abbabab+ Cijkmnlδ ijθ ,ak γ mnCijkmnlδ mn Эijpω pa ,kθ ,bl ]dV =,l − 2Cijkmnl Эijpω p , k γ mn ,l −33=abab(Cmnlkδ ij =)θγ = Cijkmnl= (3C ab + 2C ab + C ab + C ab )(δ δ + δ δ − 2 δ δ )1367km nlkn mlmn kl3 ab γωab(Cmnlkp ) = CijkmnlЭijp == (C3ab − C6ab )(δ ml Эnkp + δ km Эnlp ) ++ (C3ab − C7ab )(δ nl Эkmp + δ nk Эlmp ) ab ωθab(Clkp ) = Cijkmnlδ mn Эijp ≡ 02833 ab abC3 = − 4 C13⇒ C6ab = − C1ab43 ab abC7 = − 4 C12222γθCkmnlδ ij == Cijkmnl111= (3C122 + 3C222 + 2C322 + 2C422 + C622 + C722 + C922 + C1122 )( δ kmδ nl + δ knδ ml − δ mnδ kl ) =322111= (3C122 + 3C122 + 2C322 + 2C322 + C622 + C722 + C722 + C622 )( δ kmδ nl + δ knδ ml − δ mnδ kl ) =322111= 2(3C122 + 2C322 + C622 + C722 )( δ kmδ nl + δ knδ ml − δ mnδ kl ) =322=====================================111= 2(3C122 + 2C322 + 2C622 )( δ kmδ nl + δ knδ ml − δ mnδ kl )32222θω22C pkl= CijkmnlЭijpδ mn == (−3C122 + 3C222 + C622 − C722 + C922 − C1122 )Э pkl == (−3C122 + 3C122 + C622 − C722 + C722 − C622 )Э pkl ≡ 022ωγ22= CijkmnlCijkqlЭmnq =111111= (C622 − C722 )( δ jk Эiql + δ ik Э jql − δ ij Эkql ) + ( −C922 + C1122 )( δ jl Эkiq + δ il Эkjq − δ ij Эklq ) =223223111111= (C622 − C722 )( δ jk Эiql + δ ik Э jql − δ ij Эkql ) + (−C722 + C622 )( δ jl Эkiq + δ il Эkjq − δ ij Эklq ) =2232231= − (C622 − C722 )(δ jk Эilq + δ ik Э jlq + δ jl Эikq + δ il Э jkq )2Ортогональность θ - и ω - дислокаций дает возможность выдвинутьпредположение о том, что все типы дислокаций ортогональны.

Этопредположение требует, чтобы:C622 − C722 = 0для ортогональности γ - и ω - дислокаций и3C122 + 2C322 + C622 + C722 = 0для ортогональности γ - и θ - дислокаций.Таким образом, «гипотеза ортогональности типов дислокаций» сводится ктребованию равенства нулю всего двух линейных комбинаций «моментных»модулей и приводит к сокращению их количества с семи до пяти:C7ab = C6ab = −(3C1ab + 2C3ab ) / 2284abCijkmnl=3= C1ab [δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik − (δ ik δ jnδ ml + δ ilδ jnδ mk + δ imδ jk δ nl + δ imδ jlδ nk )] +2ab+ C3 [δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ inδ jlδ km + δ jmδ nk δ li − δ ik δ jnδ ml − δ ilδ jnδ mk − δ imδ jk δ nl − δ imδ jlδ nk ] ++ [C5abδ ijδ mn + C8abδ imδ jn + C10abδ inδ jm ]δ kl9.5.Структура и свойства адгезионных тензоров четвертого ранга.Тензоры адгезионных модулей четвертого ранга строятся в виде разложенияпо базисным тензорам четвертого ранга, которые являются произведениями«плоских» тензоров Кронекера δ ij* = (δ ij − ni n j ) и/или тензоров вида (ni n j ) совсеми возможными перестановками индексов.

Базисные тензоры можноразбить на три группы. В первую будут входить только такие, которыесодержат в качестве сомножителей «плоские» тензоры Кронекера, во вторую– такие, которые содержат в качестве сомножителей «плоский» тензорКронекера и один вида (ni n j ) , в третью – те, которые содержат два тензоравида (ni n j ) .Базисные тензоры первой группы (3штуки):*δ ij*δ mn * *δ imδ jn * *δ inδ mjБазисные тензоры второй группы (6штук):δ ij*nm nn *δ im n j nn *δ in nm n j *δ jm ni nn *δ jn ni nmδ * n n mn i jБазисные тензоры третьей группы (1штука):ni n j nm nnТаким образом, тензоры адгезионных модулей четвертого ранга имеютобщий вид:285pqAijmn=**= a1pqδ ij*δ mn+ a2pqδ im* δ *jn + a3pqδ in* δ mj+*+ a4pqδ ij*nm nn + a5pqδ im* n j nn + a6pqδ in* nm n j + a7pqδ *jm ni nn + a8pqδ *jn ni nm + a9pqδ mnni n j ++ a10pq ni n j nm nnpqдолжныТребование существования потенциальной энергии.

Тензоры Aijmnудовлетворять условию существования потенциальной энергии, котороесводится к требованию симметрии относительно перестановки первой ивторой пары индексов:pqqpAijmn= AmnijИз условия существования потенциальной энергии следует:pqAijmn=**= a1pqδ ij*δ mn+ a2pqδ im* δ *jn + a3pqδ in* δ mj+*ni n j ++ a4pqδ ij*nm nn + a5pqδ im* n j nn + a6pqδ in* nm n j + a7pqδ *jm ni nn + a8pqδ *jn ni nm + a9pqδ mn+ a10pq ni n j nm nnqpAmnij=*= a1qpδ mnδ ij* + a2qpδ mi* δ nj* + a3qpδ mj* δ in* +***ni nn + a7qpδ ni* nm n j + a8qpδ nj* nm ni + a9qpδ ij*nm nn +nn n j + a6qpδ mjni n j + a5qpδ mi+ a4qpδ mn+ a10qp nm nn ni n j−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−a1qp = a1pqa2qp = a2pqa3qp = a3pqa4qp = a9pqa5qp = a5pqa6qp = a7pqa7qp = a6pqa8qp = a8pqa9qp = a4pqa10qp = a10pq22,При p = q = 2 , для тензора адгезионных модулей четвертого ранга Amnijусловия существования потенциальной энергии проводят к сокращениюколичества модулей с десяти до восьми:a722 = a622a922 = a42222Соответсвенно, тензор адгезионных модулей четвертого ранга Amnij, кактензор наиболее общего вида, содержит в своем составе 8 модулей и имеетструктуру:28622*Aijmn= λ22 F δ ij*δ mn+ ( µ 22 F + χ 22 F )δ im* δ *jn + ( µ 22 F − χ 22 F )δ in* δ *jm +*+ α 22 (ni nnδ *jm + nm n jδ in* ) + β 22 (ni n jδ mn+ nm nnδ ij* ) + δ 22 F ni nmδ *jn + B 22 n j nnδ im* ++ A22 ni n j nm nn1221При p ≠ q , для тензоров адгезионных модулей четвертого ранга Amnijи Amnij,условия существования потенциальной энергии приводят к тому, что обатензора содержат один и тот же набор модулей.a121 = a112a221 = a122a321 = a312a421 = a912a521 = a512a621 = a712a721 = a612a821 = a812a921 = a12412a1021 = a101221и Aijmnстоят в нихПри этом так как общие модули тензоров Aijmnмножителями при разных базисных тензорах, структура тензоров остаетсяразной:12=Aijmn** *12 * *= a112δ ij*δ mn+ a122 δ imδ jn + a3 δ inδ mj +*12 *12 *12 *12 *12 *+ a124 δ ij nm nn + a5 δ im n j nn + a6 δ in nm n j + a7 δ jm ni nn + a8 δ jn ni nm + a9 δ mn ni n j +12+ a10ni n j nm nn21=Aijmn** *12 * *= a112δ ij*δ mn+ a122 δ imδ jn + a3 δ inδ mj +*+ a912δ ij*nm nn + a512δ im* n j nn + a712δ in* nm n j + a612δ *jm ni nn + a812δ *jn ni nm + a124 δ mn ni n j +12+ a10ni n j nm nn1221и Aijmnдолжны обладать следующими дополнительнымиТензоры Aijmnсвойствами:12Aijmnnj = 021Aijmnnn = 0Отсюда следует, что эти тензоры имеют следующую, более простую,22:структуру, чем тензор Aijmn12 *12 *12 *12** *12 * *= a112δ ij*δ mn+ a12Aijmn2 δ imδ jn + a3 δ inδ mj + a4 δ ij nm nn + a7 δ jm ni nn + a8 δ jn ni nm21** *12 * *12 *12 *12 *= a112δ ij*δ mn+ a12Aijmn2 δ imδ jn + a3 δ inδ mj + a7 δ in nm n j + a8 δ jn ni nm + a4 δ mn ni n j−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−12=0a512 = 0 a612 = 0 a912 = 0 a10Приp = q = 1,длятензораадгезионных287модулейчетвертого11ранга Amnij, условия существования потенциальной энергии проводят ксокращению количества модулей с десяти до восьми:a711 = a611a911 = a114Тензор11Aijmnдолжен обладать также следующими дополнительнымисвойствами:11Aijmnnj = 011Aijmnnn = 022,что приводит его структуру к еще более простому виду, чем у тензоров Aijmn2112и Aijmn:Aijmn11** *11 * *11 *Aijmn= a111δ ij*δ mn+ a112 δ imδ jn + a3 δ inδ mj + a8 δ jn ni nm9.6.Структура и свойства адгезионных тензоров пятого ранга.Тензоры адгезионных модулей пятого ранга строятся в виде разложения побазисным тензорам пятого ранга, которые являются произведениями«плоских» тензоров Кронекера δ ij* = (δ ij − ni n j ) и/или векторов единичнойнормали ni со всеми возможными перестановками индексов.

Характеристики

Список файлов диссертации