Диссертация (786079), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Базисныетензоры можно разбить на три группы. В первую будут входить толькотакие, которые содержат в качестве сомножителей два «плоских» тензораКронекера и один вектор единичной нормали, во вторую – такие, которыесодержат в качестве сомножителей один «плоский» тензор Кронекера и тривектора единичной нормали, в третью – произведение пяти векторовединичной нормали.Базисные тензоры первой группы (15штук):niδ *jmδ nl* * *niδ jnδ lm * *niδ jlδ mnn jδ im* δ nl* * *n jδ inδ lm * *n jδ ilδ mnnmδ *jiδ nl** *nmδ jnδ li* *nmδ jlδ innnδ *jmδ il* * *nnδ jiδ lm * *nnδ jlδ minlδ *jmδ ni* * *nlδ jnδ im * *nlδ jiδ mnБазисные тензоры второй группы (10штук):288δ ij*nm nn nl *δ im n j nn nl *δ in n j nm nl *δ il n j nm nn *δ jm ni nn nl *δ jn ni nm nlδ * n n n jl i m nδ * n n n mn i j lδ * n n n ml i j nδ nl* ni n j nmБазисные тензоры третьей группы (1штука):ni n j nm nn nlВ силу того, что плотность потенциальной энергии U F определена так, что вней отсутствуют нормальные производные дисторсий, структура всехabне должна содержать те базисные тензоры, которыетензоров модулей Aijmnlсодержат вектор единичной нормали с индексом l .

Таким образом,количествобазисныхтензоровсокращаетсясдвадцатишестидошестнадцати:niδ *jmδ nl* * *niδ jnδ lm * *niδ jlδ mnδ il*n j nm nnn jδ im* δ nl* * *n jδ inδ lm * *n jδ ilδ mnδ *jl ni nm nnnmδ *jiδ nl** *nmδ jnδ li* *nmδ jlδ inδ ml* ni n j nnnnδ *jmδ il* * *nnδ jiδ lm * *nnδ jlδ miδ nl* ni n j nmТензоры адгезионных модулей пятого ранга приобретают следующуюструктуру:ab=Aijmnl*= G1ab ni δ *jm δ nl* + G 2ab ni δ *jn δ lm* + G3ab ni δ *jl δ mn+*+ G 4ab n j δ im* δ nl* + G5ab n j δ in* δ lm* + G6ab n j δ il*δ mn++ G7ab n m δ *ji δ nl* + G8ab n m δ *jn δ li* + G9ab n m δ *jl δ in* +*+ G10ab n n δ *jm δ il* + G11ab n n δ *ji δ lm* + G12ab n n δ *jl δ mi+*+ G13ab δ il* n j n m n n + G14ab δ *jl ni n m n n + G15ab δ mlni n j n n + G16ab δ nl* ni n j n mТребованиесуществованияпотенциальнойэнергии.Требованиесуществования потенциальной энергии взаимодействия кривизн и дисторсийразных сортов на поверхности тела можно записать в виде следующихсвязей:289229.6.1.

Структура адгезионного тензора Aijmnl.22:Наиболее общей структурой обладает тензор Aijmnl22Aijmnl=*= G122 ni δ *jm δ nl* + G 222 ni δ *jn δ lm* + G322 ni δ *jl δ mn+*+ G 422 n j δ im* δ nl* + G522 n j δ in* δ lm* + G622 n j δ il*δ mn++ G722 n m δ *ji δ nl* + G822 n m δ *jn δ li* + G922 n m δ *jl δ in* +*+ G1022 n n δ *jm δ il* + G1122 n n δ *ji δ lm* + G1222 n n δ *jl δ mi+*+ G1322δ il* n j n m n n + G1422δ *jl ni n m n n + G1522δ mlni n j n n + G1622δ nl* ni n j n m12.9.6.2.

Структура адгезионного тензора Aijmnl12обладает дополнительными свойствами:Тензор Aijmnl12Aijmnlnj = 0pqприводят кЭти свойства, наряду с общими свойствами тензоров Aijmnl12следующей структуре тензора Aijmnl:12=Aijmnl*= G112 niδ *jmδ nl* + G212 niδ *jnδ lm* + G312 niδ *jlδ mn++ G712 nmδ *jiδ nl* + G812 nmδ *jnδ li* + G912 nmδ *jlδ in* +*+ G1012 nnδ *jmδ il* + G1112 nnδ *jiδ lm* + G1212 nnδ *jlδ mi++ G1412δ *jl ni nm nn219.6.3.

Структура адгезионного тензора Aijmnl.21обладает дополнительными свойствами:Тензор Aijmnl21Aijmnlnn = 0pqЭти свойства, наряду с общими свойствами тензоров Aijmnlприводят к29021следующей структуре тензора Aijmnl:21Aijmnl=*= G121niδ *jmδ nl* + G221niδ *jnδ lm* + G321niδ *jlδ mn+*+ G421n jδ im* δ nl* + G521n jδ in* δ lm* + G621n jδ il*δ mn++ G721nmδ *jiδ nl* + G821nmδ *jnδ li* + G921nmδ *jlδ in* ++ G1621δ nl* ni n j nm2121С учетом свойства симметрии кривизны первого сорта, Aijmnl= Aijmln .

Отсюда:G321 = G221 G621 = G521 G921 = G82121Тензор Aijmnlприобретает структуру, содержащую только семь модулей:21=Aijmnl**= G121niδ *jmδ nl* + G221ni (δ *jnδ ml+ δ *jlδ mn)+**+ G421n jδ im* δ nl* + G521n j (δ in* δ ml+ δ il*δ mn)++ G721nmδ *jiδ nl* + G821nm (δ *jnδ il* + δ *jlδ in* ) ++ G1621δ nl* ni n j nm1221приводит к связям между модулями Ga21 и Ga12 . ВСвойство Aijmnl= Amnijl2112и Aijmnlсодержат одинаковый набор изрезультате, тензоры модулей Aijmnlдесяти модулей Ga12 , но при разных базисных тензорах:21=Aijmnl*= G912 niδ *jmδ nl* + G812 niδ *jnδ lm* + G712 niδ *jlδ mn+*+ G1212 n jδ im* δ nl* + G1012 n jδ in* δ lm* + G1112 n jδ il*δ mn++ G312 nmδ *jiδ nl* + G212 nmδ *jnδ li* + G112 nmδ *jlδ in* ++ G1412δ nl* ni n j nm119.6.4.

Структура адгезионного тензора Aijmnl.11входит в выражение потенциальной энергии в свертке сТензор Aijmnl1тензором пятого ранга Dij1 Dmnl, который может быть представлен в видеRi , j Rm ,nl . Отсюда следует дополнительная симметрия при перестановке29111индексов внутри пары nl и тензор адгезионных модулей Aijmnlдолжен11обладать дополнительным свойством AijmnlЭnlr = 0 . С учетом этих свойствсимметрии, получим:11AijmnlЭnlr nr == (G211 − G111 )nm Эijr nr + (G211 − G311 )ni Э jmr nr + (G511 − G611 )n j Эimr nr = 011Тензор Aijmnlприобретает более простую структуру и, соответственно,количество модулей сокращается с восьми до пяти.11Aijmnl=*− nmδ *jiδ nl* ) += G111 (niδ *jmδ nl* − nmδ *jlδ in* + niδ *jnδ lm* − nmδ *jnδ li* + niδ *jlδ mn*)++ G411 (n jδ im* δ nl* − nnδ *jlδ mi*+ G511 (n jδ in* δ lm* − nnδ *jmδ il* + n jδ il*δ mn− nnδ *jiδ lm* ) +*ni n j nn ) ++ G1311 (δ il*n j nm nn − δ ml+ G1411 (δ *jl ni nm nn − δ nl* ni n j nm )9.7.Структура и свойства адгезионных тензоров шестого ранга.Тензоры адгезионных модулей шестого ранга строятся в виде разложения побазисным тензорам шестого ранга, которые являются произведениями троек«плоских» тензоров Кронекера δ ij* = (δ ij − ni n j ) и/или тензоров вида (ni n j ) совсеми возможными перестановками индексов.

Базисные тензоры можноразбить на четыре группы. В первую будут входить только такие, которыесодержат в качестве сомножителей «плоские» тензоры Кронекера, во вторую– такие, которые содержат в качестве сомножителей два «плоских» тензораКронекера и один вида (ni n j ) , в третью – те, которые содержат один«плоский» тензор Кронекера и два тензора вида (ni n j ) , и в четвертый – тритензора вида (ni n j ) .Базисные тензоры первой группы (15штук):292*δ ij*δ kmδ nl* * * *δ ijδ knδ ml * * *δ ijδ klδ mnδ ik* δ *jmδ nl* * * *δ ik δ jnδ ml * * *δ ik δ jlδ mnδ im* δ kj* δ nl* * * *δ imδ njδ kl * * *δ imδ ljδ nk*δ in* δ kmδ *jl * * *δ inδ mlδ jk * * *δ inδ lk δ jm*δ il*δ kmδ nj* * * *δ ilδ mnδ kj * * *δ ilδ nk δ mjБазисные тензоры второй группы (45штук):*ni n jδ kmδ nl** *ni n jδ knδ ml* *ni n jδ klδ mnni nk δ *jmδ nl** *ni nk δ jnδ ml* *ni nk δ jlδ mnni nmδ kj* δ nl** *ni nmδ njδ kl* *ni nmδ ljδ nkn j nk δ im* δ nl** *n j nk δ inδ ml* *n j nk δ ilδ mnn j nmδ ik* δ nl** *n j nmδ inδ kl* *n j nmδ ilδ kn*nk nnδ ij*δ ml* *nk nnδ imδ lj* *nk nnδ ilδ jmnm nlδ ij*δ kn** *nm nlδ ik δ nj* *nm nlδ inδ jk*n j nnδ ik* δ ml* *n j nnδ imδ kl* *n j nnδ ilδ km*nk nlδ ij*δ mn* *nk nlδ imδ nj* *nk nlδ inδ jmnk nmδ ij*δ nl** *nk nmδ inδ lj* *nk nmδ ilδ jnnm nnδ ij*δ kl** *nm nnδ ik δ lj* *nm nnδ ilδ jk*ni nnδ kmδ *jl**ni nnδ mlδ jk* *ni nnδ lk δ jm*ni nlδ kmδ nj***ni nlδ mnδ kj* *ni nlδ nk δ mj*n j nlδ ik* δ mn* *n j nlδ imδ kn* *n j nlδ inδ km*nn nlδ ij*δ km* *nn nlδ ik δ mj* *nn nlδ imδ jkБазисные тензоры третьей группы (15штук):δ ij*nk nm nn nl *δ ik n j nm nn nl *δ im n j nk nn nl *δ in n j nk nm nlδ *n n n n il j k m n *δ jk ni nm nn nl *δ jm ni nk nn nl *δ jn ni nk nm nlδ * n n n n jl i k m n *δ km ni n j nn nl *δ kn ni n j nm nlδ * n n n n kl i j m nδ * n n n n mn i j k lδ * n n n n ml i j k nδ nl* ni n j nk nmБазисные тензоры четвертой группы (1штука):ni n j nk nm nn nlТребование существования потенциальной энергии.

Все базисные тензорыдолжны удовлетворять условию существования потенциальной энергии,которое сводится к требованию симметрии всех тензоров модулей шестогорангаотносительноперестановкипервой и второй троек индексов:293abbaAijkmnl= AmnlijkЭтим требованиям удовлетворяют следующие линейные комбинацииисходных базисных тензоров.Итоговый лист базисных тензоров первой группы (11 штук):**(δ ij*δ kmδ nl* + δ mnδ li*δ *jk ) * * *** *(δ ij δ knδ ml + δ mnδ lj δ ik ) * * *** *(δ ik δ jmδ nl + δ ml δ niδ jk ) * * *** *(δ inδ kmδ jl + δ mj δ li δ nk )*δ ij*δ kl* δ mn * * *δ ik δ jnδ ml * * *δ imδ kj δ nl * * *δ imδ nj δ klδ im* δ lj*δ nk* * * *δ inδ lk δ jm * * *δ il δ kmδ njИтоговый лист базисных тензоров второй группы (27 штук):*(ni n j δ kmδ nl* + nm nnδ li*δ *jk )* ** *(ni n j δ knδ ml + nm nnδ lj δ ik )* ** *(ni n j δ kl δ mn + nm nnδ lk δ ij )*** *(ni nk δ jmδ nl + nm nl δ niδ jk )*** *(ni nk δ jnδ ml + nm nl δ nj δ ik )* ***(ni nk δ jl δ mn + nm nl δ nk δ ij )(n n δ * δ * + n n δ *δ * )m j li nk i n km jl(n n δ * δ * + n n δ * δ * )m j ik nl i n ml jk**(ni nnδ lk δ jm + nm n j δ kl* δ ni* )*(ni nl δ kmδ nj* + nm nk δ li*δ *jn )*** *(ni nl δ mnδ kj + nm nk δ ij δ nl )*** *(ni nl δ nk δ mj + nm nk δ jl δ in )****(n j nk δ imδ nl + nn nl δ miδ jk )* ***(n j nk δ inδ ml + nn nl δ mj δ ik )* ***(n j nk δ il δ mn + nn nl δ mk δ ij )(n n δ * δ * + n n δ * δ * )n k ml ij j l ik mn(n n δ * δ * + n n δ * δ * )n k mi lj j l im kn***(n j nl δ inδ km + nn nk δ mjδ li* )ni nmδ kj* δ nl** *ni nmδ nj δ kl* *ni nmδ lj δ nk* *n j nnδ ik δ ml**n j nnδ imδ kl* *n j nnδ il δ kmn n δ *δ * k l ij mnn n δ * δ * k l im njnk nl δ in* δ *jmИтоговый лист базисных тензоров третьей группы (9 штук):*(δ ij* nk nm nn nl + δ mnn k ni n j nl ) **(δ ik n j nm nn nl + δ ml n j ni nn nk ) **(δ in n j nk nm nl + δ mj nn nk ni nl )*(δ il* n j nk nm nn + δ mkn j nl ni n n ) **(δ jk ni nm nn nl + δ nl ni nm n j nk ) **(δ jl ni nk nm nn + δ nk ni nl nm n j )δ im* n j nk nn nl *δ jn ni nk nm nl *δ kl ni n j nm nnИтоговый лист базисных тензоров четвертой группы (1 штука):ni n j nk nm nn nlТаким образом, тензоры адгезионных модулей шестого ранга содержат всвоих составах по 48 модулей и имеют вид:294ab=Aijkmnl***δ nl* + δ mnδ li*δ *jk ) + A2ab (δ ij*δ kn* δ ml* + δ mnδ lj*δ ik* ) += A1ab (δ ij*δ km**δ ni* δ *jk ) + A4ab (δ in* δ kmδ *jl + δ mj* δ li*δ nk* ) ++ A3ab (δ ik* δ *jmδ nl* + δ ml**+ A5abδ ij*δ kl* δ mn+ A6abδ ik* δ *jnδ ml+ A7abδ im* δ kj* δ nl* + A8abδ im* δ nj* δ kl* +*δ nj* ++ A9abδ im* δ lj*δ nk* + A10abδ in* δ lk* δ *jm + A11abδ il*δ km**δ nl* + nm nnδ li*δ *jk ) + A13ab (ni n jδ kn* δ ml* + nm nnδ lj*δ ik* ) + A14ab (ni n jδ kl* δ mn+ A12ab (ni n jδ km+ nm nnδ lk* δ ij* ) +**+ A15ab (ni nk δ *jmδ nl* + nm nlδ ni* δ *jk ) + A16ab (ni nk δ *jnδ ml+ nm nlδ nj* δ ik* ) + A17ab (ni nk δ *jlδ mn+ nm nlδ nk* δ ij* ) +*δ *jl + nm n jδ li*δ nk* ) + A19ab (ni nnδ ml* δ *jk + nm n jδ ik* δ nl* ) + A20ab (ni nnδ lk* δ *jm + nm n jδ kl* δ ni* ) ++ A18ab (ni nnδ km**δ nj* + nm nk δ li*δ *jn ) + A22ab (ni nlδ mnδ kj* + nm nk δ ij*δ nl* ) + A23ab (ni nlδ nk* δ mj* + nm nk δ *jlδ in* ) ++ A21ab (ni nlδ km* ***δ jk ) + A25ab (n j nk δ in* δ ml* + nn nlδ mj* δ ik* ) + A26ab (n j nk δ il*δ mnδ ij* ) ++ A24ab (n j nk δ im* δ nl* + nn nlδ mi+ nn nlδ mk****δ ij* ) + A28ab (n j nlδ im* δ kn* + nn nk δ mi* δ lj* ) + A29ab (n j nlδ in* δ kmδ li* ) ++ A27ab (n j nlδ ik* δ mn+ nn nk δ ml+ nn nk δ mj+ A30ab ni nmδ kj* δ nl* + A31ab ni nmδ nj* δ kl* + A32ab ni nmδ lj*δ nk* +**+ A33ab n j nnδ ik* δ ml+ A34ab n j nnδ im* δ kl* + A35ab n j nnδ il*δ km+*+ A36ab nk nlδ ij*δ mn+ A37ab nk nlδ im* δ nj* + A38ab nk nlδ in* δ *jm +***+ A39ab (δ ij*nk nm nn nl + δ mnnk ni n j nl ) + A40ab (δ ik* n j nm nn nl + δ mln j ni nn nk ) + A41ab (δ in* n j nk nm nl + δ mjnn nk ni nl ) +*+ A42ab (δ il*n j nk nm nn + δ mkn j nl ni nn ) + A43ab (δ *jk ni nm nn nl + δ nl* ni nm n j nk ) + A44ab (δ *jl ni nk nm nn + δ nk* ni nl nm n j ) ++ A45abδ im* n j nk nn nl + A46abδ *jn ni nk nm nl + A47abδ kl* ni n j nm nn ++ A48ab ni n j nk nm nn nlababС учетом свойств Aijkmnlnl = 0 :nk = 0 и Aijkmnlab=Aijkmnl***= A1ab (δ ij*δ kmδ nl* + δ mnδ li*δ *jk ) + A2ab (δ ij*δ kn* δ ml* + δ mnδ lj*δ ik* ) +**+ A3ab (δ ik* δ *jmδ nl* + δ mlδ ni* δ *jk ) + A4ab (δ in* δ kmδ *jl + δ mj* δ li*δ nk* ) +**+ A5abδ ij*δ kl* δ mn+ A6abδ ik* δ *jnδ ml+ A7abδ im* δ kj* δ nl* + A8abδ im* δ nj* δ kl* +*+ A9abδ im* δ lj*δ nk* + A10abδ in* δ lk* δ *jm + A11abδ il*δ kmδ nj* +**+ A12ab (ni n jδ km+ nm nnδ lk* δ ij* ) +δ nl* + nm nnδ li*δ *jk ) + A13ab (ni n jδ kn* δ ml* + nm nnδ lj*δ ik* ) + A14ab (ni n jδ kl* δ mn*+ A15ab (ni nnδ kmδ *jl + nm n jδ li*δ nk* ) + A16ab (ni nnδ ml* δ *jk + nm n jδ ik* δ nl* ) + A17ab (ni nnδ lk* δ *jm + nm n jδ kl* δ ni* ) ++ A18ab ni nmδ kj* δ nl* + A19ab ni nmδ nj* δ kl* + A20ab ni nmδ lj*δ nk* +**+ A21ab n j nnδ ik* δ ml+ A22ab n j nnδ im* δ kl* + A23ab n j nnδ il*δ km++ A24abδ kl* ni n j nm nnЗдесь модули перенумерованы по нижнему индексу.Симметричная при перестановке третьего и шестого индексов часть этихтензоров [128]:295abAijkmnl=***δ ki* δ *jl ) +δ li*δ *jk + δ ij*δ lm* δ nk* + δ mnδ nl* + δ mn= A1ab (δ ij*δ km**δ ni* δ *jl ) +δ ni* δ *jk + δ il*δ *jmδ nk* + δ mk+ A2ab (δ ik* δ *jmδ nl* + δ ml***) + A5ab (δ im* δ kj* δ nl* + δ im* δ lj*δ nk* ) ++ A3abδ ij*δ kl* δ mn+ A4ab (δ ik* δ *jnδ ml+ δ il*δ *jnδ mk+ A6abδ im* δ nj* δ kl* + A7abδ in* δ lk* δ *jm +*δ nl* + nm nnδ li*δ *jk + ni n jδ lm* δ nk* + nm nnδ ki* δ *jl ) ++ A8ab (ni n jδ km*δ *jl + nm n jδ li*δ nk* + ni nnδ lm* δ *jk + nm n jδ ki* δ nl* ) ++ A9ab (ni nnδ km*+ nm nnδ lk* δ ij* ) ++ A10ab (ni n jδ kl* δ mn+ A11ab (ni nnδ lk* δ *jm + nm n jδ kl* δ ni* ) +**)++ δ il*δ mk+ A12ab ni nm (δ kj* δ nl* + δ lj*δ nk* ) + A13ab ni nmδ nj* δ kl* + A14ab n j nn (δ ik* δ ml+ A15ab n j nnδ im* δ kl* + A16abδ kl* ni n j nm nnЗдесь модули повторно перенумерованы по нижнему индексу.Требование симметрии тензоровabAijkmnlпо третьему-шестому индексамудовлетворяется.abAijkmnlЭklp n p = 0229.7.1.

Характеристики

Список файлов диссертации