Диссертация (786079), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Структура адгезионного тензора Миндлина Aijkmnl.Адгезионный тензор Миндлина обладает наиболее общей структурой,выявленной в предыдущем параграфе.22Aijkmnl=***δ nl* + δ mnδ li*δ *jk + δ ij*δ lm* δ nk* + δ mnδ ki* δ *jl ) += A122 (δ ij*δ km**δ ni* δ *jk + δ il*δ *jmδ nk* + δ mkδ ni* δ *jl ) ++ A222 (δ ik* δ *jmδ nl* + δ ml***) + A522 (δ im* δ kj* δ nl* + δ im* δ lj*δ nk* ) ++ A322δ ij*δ kl* δ mn+ A422 (δ ik* δ *jnδ ml+ δ il*δ *jnδ mk+ A622δ im* δ nj* δ kl* + A722δ in* δ lk* δ *jm +*δ nl* + nm nnδ li*δ *jk + ni n jδ lm* δ nk* + nm nnδ ki* δ *jl ) ++ A822 (ni n jδ km*δ *jl + nm n jδ li*δ nk* + ni nnδ lm* δ *jk + nm n jδ ki* δ nl* ) ++ A922 (ni nnδ km*+ A1022 (ni n jδ kl* δ mn+ nm nnδ lk* δ ij* ) ++ A1122 (ni nnδ lk* δ *jm + nm n jδ kl* δ ni* ) +**+ A1222 ni nm (δ kj* δ nl* + δ lj*δ nk* ) + A1322 ni nmδ nj* δ kl* + A1422 n j nn (δ ik* δ ml+ δ il*δ mk)++ A1522 n j nnδ im* δ kl* + A1622δ kl* ni n j nm nn29612219.7.2.
Структура адгезионных тензоров Aijkmnlи Aijkmnl.Тензоры адгезионного взаимодействия кривизн разных сортов обладаютдополнительными свойствами, обусловленных тем, что кривизна первогосорта симметрична при перестановке своего второго и третьего индексов.12должен обладать следующим свойством:Тензор Aijkmnl1212Aijkmnl= AikjmnlОтсюда следует:12Aijkmnl=*****δ nl* + δ mnδ li*δ *jk + δ ij*δ lm* δ nk* + δ mnδ ki* δ *jl + δ ik* δ *jmδ nl* + δ mnδ *jiδ kl* ) +δ li*δ *jk + δ ik* δ lm* δ nj* + δ mn= A112 (δ ij*δ km***δ ni* δ *jk + δ il*δ *jmδ nk* + δ mkδ ni* δ *jl + δ il*δ *jmδ nk* + δ mkδ ni* δ *jl + δ ik* δ *jmδ nl* + δ ml* δ ni* δ *jk ) ++ A212 (δ ik* δ *jmδ nl* + δ ml*+ A312 (δ ij*δ kl* + δ ik* δ *jl )δ mn+****)++ A412 (δ ik* δ *jnδ ml+ δ il*δ *jnδ mk+ δ ij*δ kn* δ ml+ δ il*δ kn* δ mj+ ( A512δ im* + A812 ni nm )(δ kj* δ nl* + δ lj*δ nk* + δ kj* δ nl* + δ lk* δ nj* ) ++ ( A612δ im* + A912 ni nm )(δ nj* δ kl* + δ nk* δ *jl ) +*)++ A712δ in* (δ lk* δ *jm + δ lj*δ km+ A812 (δ kl* n j + δ *jl nk )ni nm nn21должен обладать следующим свойством:Соответственно, тензор Aijkmnl2121Aijkmnl= AijkmlnОтсюда следует:21Aijkmnl=*****δ kl* ) +δ li*δ *jk + δ ij*δ kmδ nl* + δ mnδ ki* δ *jl + δ ij*δ lm* δ nk* + δ ml* δ ni* δ *jk + δ ij*δ kmδ nl* + δ ml* δ ki* δ nj* + δ ij*δ mn= A112 (δ mn***δ ni* δ *jl + δ il*δ *jmδ nk* + δ ml* δ ni* δ *jk + δ ik* δ *jmδ nl* ) +δ ni* δ *jk + δ ik* δ *jmδ nl* + δ mkδ ni* δ *jl + δ il*δ *jmδ nk* + δ mk+ A212 (δ ml*δ lk* + δ ml* δ nk* )δ ij* ++ A312 (δ mn****δ *jnδ ik* + δ mkδ *jnδ il* + δ mnδ lj*δ ik* + δ mkδ lj*δ in* ) ++ A412 (δ ml+ ( A512δ im* + A812 ni nm )(δ kj* δ nl* + δ lj*δ nk* + δ kj* δ nl* + δ lk* δ nj* ) ++ ( A612δ im* + A912 ni nm )(δ nj* δ kl* + δ nk* δ *jl ) +*(δ lk* δ ni* + δ kn* δ li* ) ++ A712δ mj+ A812 (δ kl* nn + δ nk* nl )ni nm n j2971221Таким образом, оба тензора Aijkmnlи Aijkmnlсодержат один и тот же набор издевяти модулей, однако их структура разная, так как этот набор модулейявляется множителями при разных базисных тензорах.119.7.3.
Структура адгезионного тензора Тупина Aijkmnl.Общий вид:11Aijkmnl=***δ nl* + δ mnδ li*δ *jk + δ ij*δ lm* δ nk* + δ mnδ ki* δ *jl ) += A111 (δ ij*δ km**δ ni* δ *jk + δ il*δ *jmδ nk* + δ mkδ ni* δ *jl ) ++ A211 (δ ik* δ *jmδ nl* + δ ml***) + A511 (δ im* δ kj* δ nl* + δ im* δ lj*δ nk* ) ++ A311δ ij*δ kl* δ mn+ A411 (δ ik* δ *jnδ ml+ δ il*δ *jnδ mk+ A611δ im* δ nj* δ kl* + A711δ in* δ lk* δ *jm +*δ nl* + nm nnδ li*δ *jk + ni n jδ lm* δ nk* + nm nnδ ki* δ *jl ) ++ A811 (ni n jδ km*δ *jl + nm n jδ li*δ nk* + ni nnδ lm* δ *jk + nm n jδ ki* δ nl* ) ++ A911 (ni nnδ km*+ A1011 (ni n jδ kl* δ mn+ nm nnδ lk* δ ij* ) ++ A1111 (ni nnδ lk* δ *jm + nm n jδ kl* δ ni* ) +**)++ A1211ni nm (δ kj* δ nl* + δ lj*δ nk* ) + A1311ni nmδ nj* δ kl* + A1411n j nn (δ ik* δ ml+ δ il*δ mk+ A1511n j nnδ im* δ kl* + A1611δ kl* ni n j nm nnУсловие симметрии по второму-третьему и по пятому-шестому индексам:11AijkmnlЭ jkp n p = 011AijkmnlЭnlq nq = 0(− A111 + A211 ) = 0 (− A111 + A411 ) = 0 (− A111 + A311 ) = 0 (− A211 + A411 ) = 0(− A211 + A711 ) = 0 (− A511 + A611 ) = 0 (− A811 + A1011 ) = 0 (− A911 + A1111 ) = 0(− A1211 + A1311 ) = 0В результате, перенумеровав модули, получим окончательную структуруадгезионного тензора Тупина:29811Aijkmnl=***δ ki* δ *jl +δ li*δ *jk + δ ij*δ lm* δ nk* + δ mnδ nl* + δ mn= A111 (δ ij*δ km** * *δ ni* δ *jl +δ niδ jk + δ il*δ *jmδ nk* + δ mk+ δ ik* δ *jmδ nl* + δ ml***+ δ il*δ *jnδ mk+ δ in* δ lk* δ *jm ) ++ δ ik* δ *jnδ ml+ δ ij*δ kl* δ mn+ A211δ im* (δ *jkδ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* ) ++ A311ni nm (δ *jkδ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* )9.8.Лемма о тройной дивергенции тензора пятого ранга (Tijkmnlϕ m ),nlk .Произвольный тензор второго ранга, построенный как тройная дивергенциятензора пятого ранга (Tijkmnlϕ m ),nlk , имеет структуру линейной комбинациичетырех дифференциальных операторов третьего порядка над векторнымполем ϕ m .
Причем два из них – интегрируемы в квадратурах, а два других –не интегрируемы.Tijkmnlϕ m ,nlk == [T1δ ijδ kmδ nl + T2δ ijδ knδ ml ++ T3δ ik δ jmδ nl + T4δ inδ jlδ km ++ T5δ ijδ klδ mn + T6δ ik δ jnδ ml + T7δ imδ jk δ nl + T8δ imδ jnδ kl ++ T9δ imδ jlδ nk + T10δ inδ mjδ kl + T11δ ilδ jnδ mk ++ T12δ mnδ liδ jk + T13δ mnδ ljδ ik ++ T14δ mlδ niδ jk + T15δ mjδ nk δ li ]ϕ m ,nlk == (T1 + T2 + T5 )δ ij ∆ϕ k ,k + (T3 + T10 + T15 )∆ϕ j ,i ++ (T7 + T8 + T9 )∆ϕi , j + (T4 + T6 + T11 + T12 + T13 + T14 )ϕ k ,ijk == X 1∆ϕi , j + X 2ϕ k ,ijk + X 3δ ij ∆ϕ k ,k + X 4 ∆ϕ j ,i == ( X 1∆ϕi + X 2ϕ k ,ik ), j + X 3δ ij ∆ϕ k ,k + X 4 ∆ϕ j ,iНе трудно убедиться в том, что первые два слагаемых интегрируемы вквадратурах, а два последних – не интегрируемы.299ГЛАВА 10 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ1.Cosserat E., Cosserat F., «Theorie des Cops Deformables», 1909, Paris,Hermann.2.Jaramillo T.J.
«A generalization of the energy function of elasticity theory»,Dissertation, Department of Mathematics, University of Chicago, 1929.3.Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. «Основные уравнения теории упругостисред с вращательным взаимодействием частиц», 1960, ФТТ, т. 2, вып. 7,1399-1409.4.Лурье С.А., Белов П.А. «Вариационная формулировка математическихмоделей сред с микроструктурами», Вестник Пермского национальногоисследовательского политехнического университета. Механика. 2006. № 14.С. 114-132.5.Mindlin R.D. «Micro-structure in linear elasticity», «Archive of RationalMechanics and Analysis», 1964, №1, p.
51-78.6.Toupin R.A. «Elastic materials with couple-stresses», 1962, Arch. Ration.Mech. And Analysis.7.Белов П.А., Лурье С.А. «Континуальная модель микрогетерогенныхсред», 2009, «Прикладная математика и механика»,Т. 73. № 5. стр. 599-608.8.Белов П.А. «Об определении компонентов вектора перемещений черезкомпоненты тензора девиатора деформаций», 1982, Тематический сборниктрудовМосковскогоавиационногоинститута«Расчеттонкостенныхэлементов конструкций на прочность устойчивость и живучесть».9.ПапковичП.Ф.«Теорияупругости»,1939,Государственноеиздательство оборонной промышленности, 643стр.10.De Wit R. «The Continual Theory of the Stationary Dislocations», SolidState Physics, New York, Academic Press Inc, 1960, V10, h. 249-.11.Лихачев В.А., Волков А.Е., Шудегов В.Е., «Континуальная теориядефектов», Л., Изд-во ЛГУ, 1986, 228стр.30012.Белов П.А., Лурье С.А.
«Общая теория дефектов сплошных сред»,2003, " Механика композиционных материалов и конструкций ", Т.9, №4, стр.471-485.13.Белов П.А., Лурье С.А. «К общей геометрической теории дефектныхсред», Физическая мезомеханика, 2007. Т. 10. № 6. С. 49-61.14.Бабешко В.А., Лурье С.А., Белов П.А., Яновский Ю.Г. «Масштабныеэффекты (multyscale-effects) в моделях механики сплошных сред», 2002,"Механика композиционных материалов и конструкций ", Т.8., №1, стp. 7182.15.Kadic A., Edelen D.G.B. «A Gauge Theory of Dislocations andDisclinations: Lect. Notes in Physics», Berlin-New York, Springer-Verlag, 1983,V.174, 290p.16.БеловП.А.«Обобщенныеразложениявзадачахмеханикидеформируемого твердого тела», Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04, М., 1998.17.Лурье С.А., Белов П.А., Криволуцкая И.И. «О некоторых классахмоделей тонких структур», 2000, "Конструкции из композиционныхматериалов", ВИМИ.
Вып.218.Лагранж Ж.Аналитическая механика, том 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.19.Лагранж Ж.Аналитическая механика, том 2. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.20.Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки.Под редакцией Полак Л. С., М.: Физматгиз, 1959.21.Образцов И.Ф., Елпатьевский А.Н., Белов П.А. «Об общем подходе кформулировке линейных моделей сред различной гладкости», 1988, ИзвестияАН СССР, т. 303, № 6.22.Ланцош К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
