Диссертация (786079), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Можно трактовать их произведения с∂Riкак работу∂x jповреждения соответственно в 3D и в 2D, т.е. как работу дополнительныхвнешних силовых факторов. В то же время слагаемые правой части (7.53)можно трактовать как потенциальную энергию деформации идеальной (бездислокаций) среды, с учетом её поверхностных и «рёберных» свойств.Поэтому соотношению (7.53) можно придать вид теоремы Клапейрона - «Всостоянии равновесия работа внешних (по отношению к идеальной среде)сил A R равна удвоенной потенциальной энергии U R идеальной среды»:A R = 2U R(7.54)A R = A + AΞ12ΞAΞ = ∫∫∫ Сijnmd nmUR =∂Ri∂Ri12Ξ+ A13dV + ∫∫ [ Aijnmd nmdFpq (Ξ pk nk ) Эijq ]∂x j∂x j11111 ∂Rn ∂Ri11 ∂Rn ∂RidF + ∑СijnmdV + ∫∫ Aijnm∫∫∫∂xm ∂x j∂xm ∂x j222∫( Bij11 sn sm )∂Ri ∂R jds∂xn ∂xm7.4.3.2. Вторая энергетическая теорема.Пусть Ri и d ijΞ удовлетворяют краевой задаче теории в форме (7.52).Умножим уравнения равновесия моментов на тензор свободной дисторсии ипроинтегрируем по объёму среды.236∫∫∫(∂minЭnmj + σ ijΞ )d ijΞ dV = 0∂xmПреобразуем это выражение с учетом того, что Ri и d ijΞ - равновесноекинематическое состояние, аналогично тому, как это было сделано придоказательстве первой теоремы.
В результате получим:∫∫∫12ΞСijnmd nm∂Ri∂Ri12ΞdV + ∫∫ [ Aijnmd nm+ A13dF =pq (Ξ pk nk ) Эijq ]∂x j∂x j22Ξ33= ∫∫∫ {Cijnmd nmd ijΞ + CijnmΞ ij Ξ nm }dV +(7.55)22ΞΞ+ ∫∫ { Aijnmd nmd ijΞ − Aij23 Э pqj d pq(Ξ ik nk ) + Ain33 (Ξ ij n j )(Ξ nm nm )}dFОбратим внимание на то, что в левой части полученного соотношениястоит выражение, совпадающее с AΞ . Однако, толкование этого выражения всоотношении (7.55) иное, чем в (7.53). Действительно, рассмотрим среду ссохраняющимися дислокациями как мелкодисперсный композит, в которойроль матрицы играет идеальная среда, а роль включений играют дислокации– среда дефектов. Тогда в (7.53) AΞ отражает воздействие среды дефектов на12ΞΞ12в 3D, Aijnmиидеальную среду посредством силовых факторов Сijnmd nmd nmΞотражает воздействие идеальнойA13pq (Ξ pk nk ) Эijq в 2D.
В то же время в (7.55) A12среды на среду дефектов посредством силовых факторов Сijnm12Aijnmна∂Ri∂x jв 3D,∂Ri∂Rи A13pq i Эijq в 2D. Равенство работ перечисленных силовых факторов∂x j∂x jсоответствующихобобщенныхперемещенияхопределяетсясправедливостью третьего закона Ньютона в формулировке: «Работа силдействия равна работе сил противодействия».Поэтому соотношению (7.55) можно так же придать вид теоремы Клапейрона- «В состоянии равновесия работа всех внешних (по отношению к средедефектов) сил AΞ равна удвоенной потенциальной энергии U Ξ средыдефектов»:AΞ = 2U Ξ(7.56)237UΞ =+122Ξ33{Cijnmd nmd ijΞ + CijnmΞ ij Ξ nm }dV +∫∫∫2122ΞΞ{ Aijnmd nmd ijΞ − Aij23Э pqj d pq(Ξ ik nk ) + Ain33 (Ξ ij n j )(Ξ nm nm )}dF∫∫27.4.3.3. Теорема Клапейрона для дефектной среды.Трактовка дефектной среды как мелкодисперсного композита, в которомроль матрицы играет идеальная среда, а роль включений играет средадефектов – полей трех типов дислокаций, позволила дать определенияпотенциальных энергий U R , U Ξ для каждой фазы такого композита.Одновременно билинейные слагаемые AΞ трактуются как работа силовыхфакторов одной среды на обобщенных перемещениях другой среды.Билинейные слагаемые AΞ можно также трактовать и как удвоеннуюпотенциальную энергию взаимодействия фаз такого композита AΞ = 2U RΞ .Согласно такой трактовке в соответствии с (7.51) потенциальная энергиядефектной среды приобретает тогда следующую структуру:U = U R − 2U RΞ + U Ξ ,а сумма доказанных утверждений первой и второй теорем приводит кдоказательству теоремы Клапейрона для дефектной среды в целом:A = 2U(7.57)Таким образом, доказана теорема Клапейрона для дефектной среды.7.4.3.4.
Варианты обобщения критерия Гриффитса.Утверждение, связывающее потенциальную энергию деформации среды иэнергию образования новой поверхности в равновесном состоянии,постулировано Гриффитсом [] в виде критерия начала движения трещины.Обобщениемутверждения,критерияГриффитсабудемназыватьсвязывающего потенциальные238доказательствоэнергиифаздефектной среды в равновесном состоянии:A = 2(U R − U Ξ )(7.58)Утверждение (7.58) является разностью утверждений первой (7.54) и второй(7.56) доказанных выше теорем, что приводит к обобщению критерияГриффитса для дефектной среды.Согласно представлениям механики хрупкого разрушения [], величинаUR −1A=Э2(7.59)является источником высвобождающейся потенциальной энергии (с учетомработыраскрытиятрещины).ВеличинаUΞявляетсястокомэтойпотенциальной энергии. Обычно, в соответствии с гипотезой Гриффитса, еесвязывают только с образованием новой поверхности, постулируя U Ξ = γ 2 D Σ ,где γ 2 D - физическая постоянная поверхности дефектной среды, равная 2Dплотностипотенциальнойэнергииобразованияединицы«новой»поверхности, Σ - площадь «новой» поверхности.
В данном случае имеетсявозможность естественного определения «новой геометрии» в соответствии с(7.56):U Ξ = γ 3D Ω + γ 2 D Σ(7.60)1 23 −33 23Ξd ijΞ +Aab Abc Acd Эija Эnmd )d nm42γ11Ξ)(Ξ nm nm − Anl−33 Alf23 Эrsf d rsΞ )}dF+ Ain33 (Ξ ij n j − Aik−33 Akj23 Э pqj d pq22(7.61)Σ=Ω=12D12γ3D∫∫22{( Aijnm−∫∫∫ {C22ijnmΞ33Ξ ij Ξ nm }dVd nmd ijΞ + Cijnm(7.62)где γ 3D - физическая постоянная дефектной среды, равная 3D-плотностипотенциальной энергии образования единицы «нового» объёма, Ω - «новый»~142222объём. Так как размерности γ 2 D и Aijnm− Aab23 Abc−33 Acd23 Эija Эnmd ) одинаковые,= ( Aijnmбез ущерба для общности можно положить:~~2222Aijnmγ 2 D = Aijnm22То же самое можно сделать и для:γ 3D и Cijnm239(7.63)2222γ 3D = CijnmCijnm(7.64)Таким образом, утверждение (7.58), доказанное с помощью первой и второйтеорем, с учетом определений (7.59)-(7.64) по существу является обобщениемкритерия Гриффитса для дефектной среды:~ 22 ~ 222222Э = Ω CijnmCijnm+ Σ AijnmAijnm«Высвобождающаяся при повреждении идеальной среды потенциальнаяэнергия деформации Э расходуется на образование новой геометрии: новогообъема Ω и новой поверхности Σ ».Конечно же, обобщение критерия Гриффитса будет иметь иное содержаниепри ином определении или толковании слагаемых потенциальной энергиисреды с сохраняющимися дислокациями.
В частности, излагаемая здесьтеория допускает и такую формулировку:133CijnmΞ ij Ξ nm dV ] +∫∫∫2111Ξ)(Ξ nm nm − Anl−33 Alf23 Эrsf d rsΞ )dF ]+ ∫∫ Ain33 (Ξ ij n j − Aik−33 Akj23 Э pqj d pq2222222Э = [Ω CijnmCijnm+~ 22 ~ 22Aijnm+ [Σ AijnmΩ=Σ=12γ3D12γ2D∫∫∫ C∫∫22ijnmΞd nmd ijΞ dV~ 22 Ξ ΞAijnmd nm d ij dF«Высвобождающаяся при повреждении идеальной среды потенциальнаяэнергия деформации Э расходуется не только на образование новойгеометрии: нового объема Ω и новой поверхности Σ , но и на увеличениепотенциальных энергий дислокаций в объеме и на поверхности».Здесь хотелось лишь показать, что тот или иной вариант обобщения критерияГриффитсаоткрываетвозможностьипоказываетперспективностьобъединения механики сплошной среды и механики хрупкого разрушения врамках механики дефектной среды.2407.5.Модель изменения механических свойств материалов при большихградиентах деформаций.Еще одним направлением «экспансии» развиваемой здесь механикидефектных сред является моделирование изменения механических свойствматериала при больших градиентах деформаций [51], [68-75].
В качествеисходноймоделииспользована«простейшая»теориясредссохраняющимися дислокациями, в рамках которой исследуется эволюцияполей дефектов при нагружении среды.Вместо тензора свободной дисторсии в качестве основной кинематическойпеременной вводится тензор относительной поврежденности второго ранга.С помощью такой замены в рамках «простейшей» теории сред ссохраняющимися дислокациями удается сформулировать и доказать теорему,устанавливающуюэквивалентностьградиентныхмоделейимоделиклассической неоднородной среды. Тензор модулей такой классическойнеоднородной среды представлен в виде явной функции компонентовтензора относительной поврежденности и компонентов тензоров модулей,отражающих дислокационные свойства среды. Показано, что области, вкоторых тензор модулей поврежденной среды существенно зависит откоординат, локализуются вокруг поверхностей, линий и точек возмущения, иэкспоненциально затухает по мере удаления от них.
Предложен алгоритмреализации модели изменения механических свойств. Он основан нарешении связанной задачи механики сред с сохраняющимися дислокациямис искомыми полями перемещений и свободных дисторсий, и последующейоценкой влияния поврежденности на эффективные свойства.7.5.1. Теорема эквивалентности.Формулировка теоремы: «Модель «простейшей»241средыссохраняющимися дислокациями может быть представлена как классическаямодель неоднородной среды» [41].Рассмотрим лагранжиан L «простейшей» модели сред с сохраняющимисядислокациями:L = A−1BL221112ΞΞd ijΞ d nmRi , j Rn , m + 2CijnmRi , j d nm{Cijnm+ CijnmΞ nm Ξ ij }dV+ Cijnm∫∫∫2(7.6.1.1)Здесь Ri - вектор перемещений, Ri , j - тензор стесненной дисторсии, d ijΞ тензор свободной дисторсии, Ξ ij = dinΞ,m Эnmj - тензор дислокаций Де Вита, Эnmj pqтензор Леви-Чивиты, Cijnm- тензоры модулей дефектной среды.pq=Cijnm= (2 µ pq / 3 + λ pq )δ ijδ nm ++ 2 µ pq (δ inδ jm / 2 + δ imδ jn / 2 − δ ijδ nm / 3) ++ χ pq (δ inδ jm − δ imδ jn )==============================(2 µpq/3+ λ ) = Kpqpq=C(7.6.1.2)δ δ nm / 9pqijnm ijpqµ pq = Cijnm(δ inδ jm / 2 + δ imδ jn / 2 − δ ijδ nm / 3) / 10pqχ pq = Cijnm(δ inδ jm − δ imδ jn ) / 12pqE pq = (2 µ pq + λ pq ) = Cijnm[δ inδ jm + δ imδ jn − δ ijδ nm ] / 15В отличие от «простейшей» модели сред с сохраняющимися дислокациями, вкоторойосновныминеизвестнымиявляютсякомпонентывектораперемещений Ri и тензора свободной дисторсии d ijΞ , будет удобно вместотензора свободной дисторсии ввести другую кинематическую переменную тензор относительной поврежденности tij .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
