Диссертация (786079), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Зависимость эффективного модуля композита откогезионного модуля волокна C D такова, что когезионный модуль жесткойфазы практически не оказывает влияние на решение. Этот выводсоответствует выводу, полученному в работе [54]: «жесткое включениевыталкивает межфазный слой в матрицу». Зависимость эффективногомодуля от когезионного модуля матрицы C M при этом существенна.На рис.

7.3 показана тенденция графика при изменении когезионногомодуля матрицы. Когезионный модуль матрицы изменялся от 0,0001ГПа/нм2до 0,0343ГПа/нм2, при этом с увеличением значения модуля, решениестановилось все ближе и ближе к адгезионной модели. Адгезионныепараметры были зафиксированы на значениях g g =inf, e g = 19208Е - Эффективный модульЮнга композита, ГПаРешения,учитывающиекогезию иадгезию приизменениикогезионногомодуляот 0,00012ГПа/нмдоот 0,03432ГПа/нм12Осреднениепо ФойгтуEv=10.964ГПа10ДанныеОдегарди др.8Осреднениепо ФойгтуEv=5.2507ГПа64Решениебез учетакогезиии адгезии20050100250200150300350450400Осреднениепо РейссуEr=0.9091ГПаl - длина волокна, нмРис.

7.3. Зависимость эффективного модуля Юнга от длиныволокна при фиксированных адгезионных параметрах с учетомкогезионных взаимодействий при изменении С M от 0,0001 ГПа/нм2до 0,0343ГПа/нм2На рис.7.3 видно, что существуют такие значения когезионногомодуля, при которых решение будет близким к данным из [57].На рис. 7.4 приведены решения красными точками для двухкомпозиционныхматериаловсe g = 19 ГПа ⋅ нм ,e g = 14,7 ГПа ⋅ нмразнымиадгезионнымипараметрами(функционализированныеинефункционализированные нанотрубки).

Остальные параметры композитов одинаковые: С M = 0.0088 ГПа/нм2, g g =inf, E D = 435,97 ГПа . Также на графикечерными точками представлены решения для этих композитов, полученные вработе [57]:209Осреднениепо ФойгтуEv=10.964ГПаЕ - Эффективный модульЮнга композита, ГПаОсреднениепо ФойгтуEv=9.671ГПаДанныеОдегарди др.адгезия1,адгезия21210Решение сучетомкогезии иадгезииСм=0,00888ГПа/нм2eg=19ГПа*нмg=infСм=0,00886ГПа/нм2eg=14.7ГПа*нмg=inf4Осреднениепо ФойгтуEv=5.2507ГПа2Осреднениепо РейссуEr=0.9091ГПа0Решениебез учетакогезиииадгезии050100150200250300350400450l - длина волокна, нмРис.

7.4. Зависимость эффективного модуля Юнга отдлины волокна с учетом когезионных взаимодействий приС M = 0,0088 ГПа/нм и различных значениях e g2Анализируя полученные решения, можно сделать вывод, что модельпоказывает хорошее согласование с данными численного эксперимента дляволокон любых длин и может быть рекомендована для практическихрасчетов свойств таких композитов.

Получено приближенное аналитическоерешение, построенное методом В.З. Власова. При анализе результатов сделанвывод о том, что модель позволяет описать эффект усиления композита,описанный в работе [57].В модели нанокомпозита адгезионные силы поверхностного натяженияна границе контакта волокна и матрицы влияют на повышение границыФойгта, а когезионные взаимодействия (преимущественно в матрице) влияютна усиление композита в области коротких волокон в рамках вилки ФойгтаРейсса.

Адгезионные параметры g g и e g могут играть роль параметровкачества технологии изготовления композитов. .2107.3.К теории тонких пленок.7.3.1. Растяжение тонких пленок.Рассмотриммодельклассическойсредысидеальнойадгезией,рассмотренной в разделе 6.1. В приложении к тонким пленкам, областьсреды представляет собой пластину, толщиной h , с идеальной адгезиейлицевых поверхностей. Идеальной адгезией торцевых поверхностей будемпренебрегать в виду малости площади торцевой поверхности по сравнению сплощадью лицевых поверхностей.L = A−11Сijmn Ri , j Rm, n dV − ∫∫ Aijmn Ri , j Rm, n dF∫∫∫22(7.31)Предполагается справедливость классических гипотез для пластин:1.

Прогибы отсутствуют Ri Z i = 0 .2.ПеремещениявплоскостипластиныпостоянныпотолщинеR j ,k Z k (δ ij − Z i Z j ) = 0 .Здесь Z i - орт оси OZ, расположенной по нормали к серединной плоскостипластины. Так как орт Z i совпадает с ортом нормали к лицевой поверхности(плоскости) пленки, будем в дальнейшем употреблять для тензора (δ ij − Z i Z j )введенное ранее обозначение δ ij* .В соответствии с принятыми гипотезами, объемная плотность потенциальнойэнергии в (7.31) становится постоянной по координате z = xk Z k , и можнопровести внутреннее интегрирование по толщине.11Cijmn Ri , j Rm , n dV − ∫∫ Aijmn Ri , j Rm , n dF =∫∫∫2211= A − ∫∫ Cijmn Ri , j Rm , n hdxdy − ∫∫ Aijmn Ri , j Rm , n dxdy221= A − ∫∫ Eijmn Ri , j Rm , n dxdy2L = A−211z =+h / 2z =−h / 2−1Aijmn Ri , j Rm , n hds =2∫Здесь введен тензор эффективных жесткостей Eijmn пленки с идеальнойадгезией лицевых поверхностей:Eijmn = (Cijmn h + Aijmn )для пленок сТаким образом, тензор эффективных жесткостейEijmnадгезионнымиявляетсясвойствамилицевыхповерхностейлинейнойфункцией толщины.*Eijmn = (λh + λF )δ ij*δ mn+ ( µh + µ F )(δ im* δ *jn + δ in* δ *jm )Этот эффект является масштабным.λ∗h = λh + λFµ ∗h = µh + µ F(7.32)Следствия.1.

При стремлении к нулю толщины пленки ее жесткость стремится не кнулю, а к соответствующему адгезионному модулю. Из этого следует, чтожесткостьнанотрубокинанопластинвосновномопределяетсяадгезионными свойствами, а не упругими.2. Не трудно показать, что (7.32) можно трактовать с точки зренияклассической теории упругости как эффективные жесткости трехслойнойпластины Eeff h и Geff h . С учетом того, что E = 2µ + λ и G = µ получим:Eeff h = Eh + E F = E (h − 2ha ) + ( E F + E 2ha ) = E (h − 2ha ) + 2 Ea haGeff h = Gh + G F = G (h − 2ha ) + (G F + G 2ha ) = G ( h − 2ha ) + 2Ga haСредняя пластина имеет те же модули, что и классическая среда без адгезии,и имеет толщину (h − 2ha ) .Две обкладки имеют толщину поhaи модулиEa = E + E F /( 2ha )иGa = G + G F /( 2ha ) .

Такая трактовка для сред с адгезионными свойствамиповерхности эквивалентна гипотезе существования «адгезионного слоя» спараметрами ha , Ea , Ga в классической теории упругости.3.Развиваемая здесь теория тонких пленок допускает две эквивалентныеинтерпретации адгезионных аналогов коэффициентов Ламе, вошедших ввыражениежесткостипленоксадгезионными212свойствамилицевыхповерхностей (7.32).Первая трактовка использует определение характерных длин адгезионныхвзаимодействий:hG = G F / GhE = E F / E(7.33)Вторая трактовка использует определение толщины ha «адгезионного слоя»:E F = ( Ea − E )2haG F = (Ga − G )2ha(7.34)Эквивалентность трактовок следует из определений (7.33)-(7.34) - толщинаадгезионного слоя и характерные длины адгезионных взаимодействийсвязаны соотношениями:hE = 2ha( Ea − E )EhG = 2ha(Ga − G )G4. Рассуждения, приводящие к понятию «адгезионного слоя» вполнеаналогичны рассуждениям, приводящим к понятию «межфазного слоя» втеории мелкодисперсных композитов, исследованному в разделе 7.1.

В немструктура межфазного слоя была представлена четырьмя прослойками столщинами,определяемымисоответственноклассическимикраевымиэффектами и когезионными multiscale-эффектами в матрице и во включении.С учетом полученных результатов, можно утверждать, что структурамежфазного слоя получает дальнейшую детализацию, благодаря появлениюдвух дополнительных прослоек с толщинами, определяемыми адгезионнымисвойствами матрицы и включения.7.3.2. Изгиб тонких пленок.Так как уравнения равновесия те же, что и в классической теории, гипотезыКирхгоффа применимы и к теории сред с идеальными адгезионнымисвойствами поверхностей.

Для перемещений в соответствии с гипотезаминеизменной нормали:213U ( x, y , z ) = −∂W ( x, y )z∂xV ( x, y , z ) = −∂W ( x, y )z∂yW ( x, y , z ) = W ( x, y )Для напряжений в соответствии с гипотезой ненадавливаемостиσ xx = −E  ∂ 2W∂ 2W E ∂∇ 2W z 2E ∂ 2W0+υz()zσ1υσσ=−−=+xy1 − υ 2  ∂x 2∂y 2 (1 − υ 2 ) ∂x∂y xz xz (1 − υ 2 ) ∂x 2()σ yx = −(1 − υ )σ zx = σ xz0 +σ zy = σ yz0 +σ zzE ∂ 2Wz1 − υ 2 ∂x∂y(σ yy = −(1 − υ ))E ∂ 2WE ∂∇ 2W z 20zσσ=+yzyz1 − υ 2 ∂y 21 − υ 2 ∂y 2()()E ∂∇ 2W z 21 − υ 2 ∂x 2()E ∂∇ 2W z 21 − υ 2 ∂y 2() ∂σ xz0 ∂σ yz0= −+ ∂x∂y3 z − E ∇ 2 ∇ 2W z61−υ 2()Удовлетворим граничным условиям относительно касательных напряженийна лицевых поверхностях:∂W∂x∂W= PyF − 2 µ F + λ F ∇ 2∂yσ xz = PxF − (2µ F + λ F )∇ 2σ yz()h2h2Соответствующие компоненты напряжений приобретают вид:σ xz E= P −2 1−υFx(E2 1−υσ yz = PyF − σ zz() h2 z 2 h  ∂W −  + 2 µ F + λ F ∇ 2∂x2 2 8) h2 z 2 h  ∂W −  + 2 µ F + λ F ∇ 2∂y2 2 8 ∂PxF ∂PyF= −+ ∂x∂y((  Ez + 2  1−υ())) zh 2 z 3 zh  2 2−  + 2 µ F + λ F∇ ∇ W62 8()Удовлетворим граничному условию на лицевых поверхностях относительнонормальных напряжений:σ zz = PzF + δ F ∇ 2WВ результате получен аналог уравнения Софи Жермен для пластин садгезионными свойствами лицевых поверхностей:D *∇ 2 ∇ 2W − δ F ∇ 2W = q214ЗдесьD* =E *h 3Eh 3( 2 µ F + λF ) 2=+h12(1 − v 2 ) 12(1 − v 2 )2эффективнаяцилиндрическаяжесткость пластины, причем первое слагаемое соответствует вкладуупругости,автороеслагаемое–вкладуидеальнойадгезии; ∂P F ∂PyF h внешняя приведенная поперечная нагрузка.q = 2 PzF +  x + ∂xy∂Запишемполученноедифференциальныхуравнениеоператоровввиде,безразмерномвводяотносительнонормированныепрогибыW = W / h и нормированные операторы ∇ 2 = h 2∇ 2 :E*∇ 2 ∇ 2W − (δ F / h) ∇ 2W = q12(1 − v 2 )E * = E[1 + 6(1 − v 2 )(2 µ F + λF )hk] = E[1 + 6(1 − v 2 ) E ] = E (1 + )EhhhЗдесь в соответствии с (7.33) введена характерная длина адгезионноговзаимодействия hE = (2µ F + λF ) / E и параметр k = 6(1 − v 2 )hE .Так же, как и для растяжения пластин, для чистого изгиба при снижениитолщиныпластиныстановитсясущественнымвклададгезионнойсоставляющей в эффективную цилиндрическую жесткость.

Характеристики

Список файлов диссертации