Диссертация (786059), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Они в соответствии с (П.3.1), (П.4.1), (П.4.2)и (П.4.3) вычисляются так:M 1212  r , s   sW  X 1n    , X 2 n     1,r s3 31,r s2M 1223  r , s    4 3 ,r sd  rs 2M 1224  r , s    n 3 , d n     bn     2 ,r s1M 1234  r , s   4 3 ;r sM 1214  r , s   4 3M 3434  r , s   sW Y3n    , Y4 n      M 3424  r , s   n  n  1M 3423  r , s  d n  rs 2n  n  13 s 3 r 4r 3 s;,bn  rs r 2 s(П.4.6),(П.4.7)28414M 34 r, s  n  n  13 s 3 r 413M 34 r, s   M1234 r, s  ;n  n  13 r 3 s 3n 2  n  13 r 4 s 3(П.4.8),2.Отсюда для искомого вронскиана получаем следующую формулу:WU 1.r 4 s 2(П.4.9)Вронскиан системы функций X10    , X 20    в (П.2.15) получаем из (П.4.6):W  X 10    , X 20     sb0   s 2 .2(П.4.10)Далее, используя (П.4.3) – (П.4.8), при n  1 вычисляем дополнительные миноры к элементам второй и четвертой строки матрицы X n в (П.4.1):1X 2 n  rs  ,r 2 s11413M 22  X 1n    M 3434  Y1n    M 34 sY1n    M 34  2 X 1n  rs  ,r sM 23  X 4 n    M 1234  Y4 n    M 1214  sY4n    M 1213   3 2 Z 2 n  rs  ,r sM 24  X 3n    M 1234  Y3n    M 1214  sY3n     sY3n    M 1213 1413M 21  X 2 n    M 3434  Y2 n    M 34 sY2n    M 34(П.4.11)Z1n  rs  .r s3 21312M 41  X 2 n    M 3423  sX 2n    M 34 Y2 n    M 341312M 42  X 1n    M 3423  sX 1n    M 34 Y1n    M 34n  n  13 r 3 s 2Z 2 n  rs  ,n  n  1Z1n  rs  ,3 r 3 s 21M 43  X 4 n    M 1223  sX 4n    M 1213  Y4 n    M 1212   2 Y4 n  rs  ,r s1M 44  X 3n    M 1223  sX 3n    M 1213  Y3n    M 1212   2 Y3n  rs  .r sАналогично (П.3.3) и (П.3.7) введем еще два обозначения:(П.4.12)285Pun  x, y  X 1n  x  X 2 n  x X  x  X 2n  x , Sun  x, y   1n.X 1n  y  X 2 n  y Z1n  y  Z 2 n  y (П.4.13)Первая из этих функций обладает очевидным свойством:Pun  x, y    Pun  y, x  .(П.4.14)Для второй в соответствии с (П.2.17) и (П.3.1) имеет место соотношение:Sun  x, x   1.x2(П.4.15)Как следует из (П.2.17), (П.4.3) и (П.4.14), эти функции связаны следующимиравенствами:Sun  x, y y Pun  x, y  ,Sun  x, y 2 bn  x  Pen  x, y   Sun  x, y  ,xxPun  x, y 2 bn  x  Sun  y, x   Pun  x, y  ,xxPun  x, y P  y, x 2  un bn  y  Sun  x, y   Pun  x, y yyy(П.4.16)Далее, используя (П.2.18), (П.3.5) - (П.3.7) и (П.4.4), построим аналогичныеформулы для производных от введенных в предыдущем параграфе функций:Y   x  Y4n  x 1Sen  x, y    3n cn  x  Pen  x, y   Sun  x, y  ;Z1n  y  Z 2 n  y xx(П.4.17)Y   x  Y4n  x Qen  x, y   3nY3n  y  Y4 n  y x1 11 cn  x   Pen  x, y   Sun  y, x     Pun  x, y   Sun  x, y   ,yy xQen  x, y    Qen  y, x  yy1 1 1 cn  y   Sun  x, y   Pen  y , x     Sun  y , x   Pun  x, y   ;x yy(П.4.18)286Введенные ранее функции Sen  x, y  и Qen  x, y  , как следует из (П.3.5), (П.3.7)и (П.2.18), связаны с функциями в (П.4.13) так:Sen  x, y   Sun  x, y  1Pen  x, y .x111Pen  x, y   Sun  x, y   Sun  y , x  xyyx11 Pun  x, y   Sun  x, y   Sen  y, x  .yx(П.4.19)Qen  x, y   Pun  x, y  (П.4.20)Кроме того, справедливы равенства, аналогичные (П.3.10)  k  1, 2  :Sun  y, x  X kn  z   Pun  z, y  Z kn  x   Sun  z, x  X kn  y  ;(П.4.21)Sun  x, y  Zkn  z   Pen  y, z  X kn  x   Sun  x, z  Z kn  y  ;(П.4.22)Sen  y, x  Yk  2,n  z   Qen  y, z  Z kn  x   Sen  z, x Yk  2,n  y  ;(П.4.23)Sun  x, y  Zkn  z   Sun  x, z  Z kn  y   X kn  x  Pen  z, y  ;(П.4.24)Pen  x, y  Z kn  z   Pen  z, y  Z kn  x   Z kn  y  Pen  x, z  .(П.4.25)Также справедливы такие равенства:Pun  x1 , y1  Pun  x2 , y2   Pun  y2 , y1  Pun  x2 , x1   Pun  x2 , y1  Pun  x1 , y2  ; (П.4.26)Pun  x1 , y1  Sun  x2 , y2   Pun  x1 , x2  Sun  y1 , y2   Pun  x2 , y1  Sun  x1 , y2  .

(П.4.27)Дополнительно, учитывая (П.2.17), (П.2.18), (П.4.3), (П.4.4) и (П.4.16) получаем, что через функции Pun  x, y  , Sun  x, y  в (П.4.13) и Pen  x, y  в (П.3.3) выражаются следующие определители второго порядка, связанные с фундаментальнойматрицей X n в (П.4.1):287X 1n  x  X 2n  x X 1n  y  X 2 n  y Pun  x, y x2 bn  x  Sun  y, x   Pun  x, y  ,xX 1n  x  X 2 n  x Y1n  y 1  Sun  x, y  ,Y2 n  y yY1n  x  Y2 n  x Y1n  y  Y2 n  y X 1n  x  X 2n  x Y1n  y Y2 n  y Y1n  x Y2n  x Y1n  x Y2 n  x X 1n  y  X 2 n  y Z1n  y Z1n  y Z2n  y X 3n  x X 4n  x X 3n  y  X 4 n  y X 3n  x  X 4 n  x Y4 n  y X 3n  x  X 4n  x Z1n  y Z2n  y Y3n  x Y4n  x Z1n  y (П.4.28)1 Sun  x, y 12  bn  x  Pen  x, y   Pun  x, y   ,yxyx111Sy,xPx,y Sun  y, x   xPun  x, y   ;ununx2xx2 Y  x  Y2 n  x  11  Pen  x, y  , 1n P  x, y  ,Z 2n  y Y1n  y  Y2 n  y  xy enxX 3n  x  X 4 n  x Y3n  y 1Pen  x, y  ,xyn  n  1xn 2  n  1xyPen  x, y  ,2Pen  x, y  ,n  n  1  n  n  11 Sun  y, x   Pen  x, y   Sen  y, x  ,x yxn  n  1 1Sun  x, y   Pen  x, y   ,x x1 cn  x  Pen  x, y   Sun  x, y  .Z 2n  y x(П.4.29)Рассмотрим также связанную с системой уравнений (3.5.14) матрицу X 1n  x1 Y x Z n   1n 1 X 1n  x2  Y1n  x2 X 2 n  x1 X 3n  y1 X 2 n  x2 X 3 n  y2 Y2 n  x1 Y2 n  x2 Y3n  y1 Y3n  y2 X 4 n  y1  Y4 n  y1  .X 4 n  y2  Y4 n  y2  (П.4.30)Ее дополнительные миноры N 3 j и N 4 j выражаются через миноры второго поijijрядка N12 и N 34 так:2881412N 31  X 2 n  x1  N 3424  Y2 n  x1  N 34 Y2 n  x2  N 34,1412N 32  X 1n  x1  N 3424  Y1n  x1  N 34 Y1n  x2  N 34,N 33  X 4 n  y1  N1224  Y4 n  y1  N1214  Y4 n  y2  N1212 ,N 34  X 3n  y1  N1224  Y3n  y1  N1214  Y3n  y2  N1212 ,1312N 41  X 2 n  x1  N 3423  Y2 n  x1  N 34 X 2 n  x2  N 34,(П.4.31)1312N 42  X 1n  x1  N 3423  Y1n  x1  N34 X 1n  x2  N34,N 43  X 4 n  y1  N1223  Y4 n  y1  N1213  X 4 n  y2  N1212 ,N 44  X 3n  y1  N1223  Y3n  y1  N1213  X 3n  y2  N1212 .Теперь, используя (П.4.28), (П.4.13), (П.4.15), (П.4.6) и (П.4.8), находим входящие в (П.4.31) миноры:N1212  M 1213N1223  x1111314,NPx,x,NSun  x1 , x2  ,12un1 212x13x211Sun  x2 , x1  , N1224 Pen  x1 , x2  ,x1x1 x2n  n  1 13 n 2  n  1, N 34 Pen  y1 , y2  ,y13y1 y221213N 34 M 3414N 34 y1(П.4.32)n  n  1n  n  1Sen  y2 , y1  , N 3423  Sen  y1 , y2  , N 3424  Qen  y1 , y2  .y1y2Подставляя (П.4.32) в (П.4.31), приходим к следующему результату:N 31  X 2 n  x1  Qen  y1 , y2  n  n  1 1Y2 n  x1  Sen  y2 , y1   2 Y2 n  x2   ,y1 y1N 32  X 1n  x1  Qen  y1 , y2  n  n  1 1Y1n  x1  Sen  y2 , y1   2 Y1n  x2   ,y1 y1N 33 111X 4 n  y1  Pen  x1 , x2   Y4 n  y1  Sun  x1 , x2   3 Y4 n  y2  ,x1 x2x2x1N 34 111X 3n  y1  Pen  x1 , x2   Y3n  y1  Sun  x1 , x2   3 Y3n  y2  ,x1 x2x2x1(П.4.33)289n  n  11N 41  n  n  1  X 2 n  x1  Sen  y1 , y2  Y2 n  x1  Pen  y1 , y2  y1 y2 y21Xx2n2 ,y13n  n  11N 42  n  n  1  X 1n  x1  Sen  y1 , y2  Y1n  x1  Pen  y1 , y2  yyy1 2 21Xx1n2 ,y13N 43 11X 4 n  y1  Sun  x2 , x1   Y4 n  y1  Pun  x1 , x2   3 X 4 n  y2  ,x1x1N 44 11X 3n  y1  Sun  x2 , x1   Y3n  y1  Pun  x1 , x2   3 X 3n  y2  .x1x1(П.4.34)Далее находим определитель матрицы Z n :Zn  X1n  x2  N31  X 2n  x2  N32  X 3n  y2  N33  X 4n  y2  N34  1  Pun  x1 , x2  Qen  y1 , y2   n  n  1 Sun  x2 , x1  Sen  y2 , y1  xy 1 1n  n  1111Sun  x1 , x2  Sen  y1 , y2   3 3  3 3 Pen  x1 , x2  Pen  y1 , y2   .x2 y2y1 x2 x1 y2 x1 x2 y1 y2(П.4.35)В качестве проверки положим в (П.4.35) x1  x2  x и y1  y2  y .

Тогда с учетом (П.3.4), (П.3.6), (П.4.15) и (П.4.19) приходим к результату, соответствующемусовпадению первой и третьей, а также второй и четвертой строк матрицы в(П.4.30): 112 Z n  n  n  1  3 3  3 3  3 3   0.x yx y x yДалее, используя (П.2.19) и (П.2.20), в продолжение равенств (П.3.13) (П.3.20) выражаем введенные уже в этом параграфе функции через экспоненциальные многочлены (П.3.20). С этой целью подставляем равенства в (П.3.13) и(П.3.14) в (П.4.13):Pun  x, y   1n2 x n2 y n2E11n  x, y  ;(П.4.36)290Sun  x, y   1n 12 x n2 y n1E10 n  x, y .(П.4.37)Из формул (П.4.36) и (П.4.37) подобно (П.3.21) и (П.3.22) вытекает аналог равенств (П.4.26) и (П.4.27) для экспоненциальных многочленов (П.3.20):E11n  x1, y1  E11n  x2 , y2   E11n  y2 , y1  E11n  x2 , x1   E11n  x1, y2  E11n  x2 , y1  .

Характеристики

Список файлов диссертации