Диссертация (786059), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Симметрия функций Грина в сферической системе координатСначала докажем утверждение, соответствующее функциям Грина (3.2.25) и(3.2.29).Утверждение П.6.1. Пусть U  u  r  u : , где u  r - дважды непре-рывно дифференцируемые функции на интервале  r0 , r1  , имеющие производныена концах этого интервала и удовлетворяющие на них условиям ak u  bk u r rk 0, ak , bk  , ak2  bk2  0  k  0,1 .(П.6.1)Тогда оператор ( ,  )L  u   r 2  r 2u       ,(П.6.2)является самосопряженным относительно скалярного произведенияr1 u, v    r 2u  r  v  r  dr(П.6.3)r0При r1   к элементам множества U добавляется требование существованияинтеграла в (П.6.3).Доказательство. Пусть u, v U .

Тогда имеют место равенстваr1r1 L  u  , v    r L  u  vdr    r u    r     u  vdr 2r02r02r1 r u v    r 2u v   r 2     uv  dr r02r1r0r1 r u v    r     uvdr  r vu2r1r02r02r1r0r1   r 2 v  udr r0 r12 D1  r02 D0   L  v  , u  , Dk  u   rk  v  rk   v   rk  u  rk  .Но согласно (П.6.1) для функций u  r  и v  r  на границах отрезка  r0 , r1  имеют место следующие равенства. Если ak  0 , то u  rk   ck u  rk  и v  rk   ck v  rk  ,где ck   bk ak . Если же bk  0 , то u  rk   dk u  rk  и v  rk   dk v  rk  , где298dk   ak bk .

И в обоих случаях D0  D1  0 . Следовательно,  L  u  , v    L  v  , u  ,что и завершает доказательство.Следствие П.6.1. Функция Грина G  r ,   краевой задачиL  G     r    ,  ak u  bk u   r r  0, ak , bk  , ak2  bk2  0  k  0,1 , (П.6.4)kгде L - оператор в (П.6.2) при  , обладает следующей симметрией:G  r,   2G  r,  , G  r,   G  , r  .(П.6.5)Доказательство.

Сначала положим, что  ,и в дополнение к G  r ,   рассмотрим функцию Грина G  r,   . Принимая во внимание утверждение П.6.1 исвойства дельта-функции Дирака, приходим к следующему результату: 0  G  r,   , L  G  r,     L G  r ,    , G  r ,     G  r,   ,   r         r    , G  r,     2G  ,     2G  ,   ,что, очевидно, эквивалентно свойству (П.6.5).Если   , то достаточно рассмотреть аналитическое продолжение функцииГрина по параметру  на всю комплексную плоскость.Следствие П.6.2.

Функция Грина задачи (П.6.4) имеет следующий вид:G  r,   2 G  r,  H    r   G  , r  H  r    .(П.6.6)Доказательство. Эту функцию всегда можно представить так:G  r,   2 G  r,  H    r   G1  r,   H  r    .Учитывая (П.6.5), получаем соотношениеG  r,  H    r   G1  r,  H  r    G1  , r  H    r   G  , r  H  r    ,из которого вытекает равенство G1  r,   G  , r  , что и завершает доказательство.Перед построением аналогичных утверждений для функций Грина в (3.2.25) –(3.2.27) сначала найдем выражение скалярного произведения определенных и299интегрируемых с квадратом на множестве r0  r  r1 векторов (обозначения см. §1.5)u  u  r,   ur er  ue , v  v  r ,   vr er  ve(П.6.7)через коэффициенты их разложений в ряды (3.1.6)ur   urn Pn  cos   , u  sin  un Cn321  cos  n 0(П.6.8)n 1В сферической системе координат это скалярное произведение имеет следующий вид:r1  u, v     u, v  dx  2  r 2  ur vr  uv  sin drd ,3r0 0(П.6.9)4r 2  urn vrn  mun vn  dr , m  n  n  1 .n  0 2n  1 r0r1Здесь учтена ортогональность многочленов и следующие равенства [1]:12 P  cos  sin d    P  x  dx  2n  1 ,2n2n1022m323Ccossind.n12n  10Утверждение П.6.2.

Пусть матрицаLL Guunr , , s  Guvn r , , s  G n  r , , s    LLGr,,sGr,,svunvvn(П.6.10)есть решение краевой задачи ( s  )Ln s 2 E  G n  E  r     0, G nr  r0 , r1 0, Ln   lijn 22,(П.6.11)где lijn - определенные в (3.1.14) операторы, E - единичная матрица.Тогда ее элементы обладают следующей симметрией:2Guun  , , s    2Guun  , , s  , 2Gvvn  , , s    2Gvvn  , , s  , Guvn  , , s   m Gvun  , , s  .22Доказательство. Сначала положим, что s (П.6.12). И в дополнение к матрицеG n  r , , s  рассмотрим матрицу Gn  r, , s  , являющуюся решением задачи300(П.6.11) при    . Их первые столбцы - решения краевых задач теории упругостисоответственно с объемными силамиFr    r     s 2Guun  r , , s   Pn  cos   , F   s 2Gvun  r , , s  sin Cn321  cos   ,Fr1    r     s 2Guun  r , , s   Pn  cos   , F1   s 2Gvun  r , , s  sin Cn321  cos   .К этим двум состоянием с учетом (П.6.9) применяем теорему взаимности длялинейно упругих тел:r1 r   r     s G  r , , s  G  r , , s   ms G  r , , s  G  r , , s  dr 222uunuunvunvunr0r1  r 2   r     s 2Guun  r , , s   Guun  r , , s   ms 2Gvun  r , , s  Gvun  r , , s  dr.r0Отсюда с использованием свойств дельта-функции приходим к первому равенству в (П.6.12).Доказательство соответствующего равенства для элементов вторых столбцовматриц G n  r , , s  и Gn  r, , s  проводится аналогичным образом с помощьюрассмотрения следующих систем объемных сил соответственно:Fr   s 2Guvn  r, , s  , F    r     s 2Gvvn  r, , s  sin Cn321  cos   ,Fr1   s 2Guvn  r, , s  Pn  cos   , F1    r     s 2Gvvn  r, , s  sin Cn321  cos   .Для обоснования третьего равенства в (П.6.12) рассматриваем следующие системы сил:Fr     r     s 2Guun  r, , s  Pn  cos   , F   s 2Gvun  r, , s  sin Cn321  cos   ,Fr1   s 2Guvn  r, , s  Pn  cos   , F1    r     s 2Gvvn  r, , s  sin Cn321  cos   .К двум соответствующим этим силам состояниям опять применяем теоремувзаимности:r1 r   r     s G  r , , s  G  r , , s   ms G  r , , s  G  r , , s  dr 222uunuvnvunvvnr0r1  r 2  s 2Guvn  r , , s  Guun  r , , s   m   r     s 2Gvvn  r , , s   Gvun  r , , s  dr ,r0откуда и вытекает требуемое соотношение.301Если s  , то достаточно рассмотреть аналитические продолжения элементовматрицы G n  r , , s  по параметру s на всю комплексную плоскость.Следствие П.6.3.

Элементы матрицы (П.6.10) при n  0 имеют следующийвид:LLLGuun r , , s   2 Guun r , , s  H    r   Guun , r , s  H  r    ,LvvnG r , , s   2GLvvn r , , s  H    r   G  , r , s  H  r    ;LvvnLLLGvun r , , s   2 Gvun r , , s  H    r   Guvn , r , s  H  r    ,LLLGuvn r , , s   2 m Guvn r , , s  H    r   Gvun , r , s  H  r    .(П.6.13)(П.6.14)Доказательство равенств (П.6.13) проводится аналогично доказательствуследствия П.6.2.Для обоснования формул (П.6.14) представляем входящие в них функции так:LLLGvun r , , s   2 Gvun r , , s  H    r   Gvun1  r , , s  H  r     ,LLG  r , , s    m Guvn r , , s  H    r   Guvn1  r , , s  H  r     .Luvn2(П.6.15)Учитывая последнее равенство в (П.6.12), получаем соотношениеLL2 r 2 m Guvn , r , s  H  r     Guvn1  , r , s  H    r   LL mr 2 2 Gvun r , , s  H    r   Gvun1  r , , s  H  r     ,из которого вытекают равенстваLLLLGvun1  r , , s   Guvn  , r , s  , Guvn1  , r , s   Gvun  r , , s  .Подставляя их в (П.6.15), получаем искомые равенства (П.6.14).§ П.7.

Асимптотические свойства фундаментальных решений в сферической системе координатА. Асимптотические представления при r   .Асимптотические представления при z   функций, входящих в фундаментальную систему решений (П.2.2), получаем из (П.3.13) с учетом (П.2.20) и(П.3.16):Rn0  z z n , Rn1  z z n 1 , Rn3  z z n 1 ;(П.7.1)302e zzZ1n  z , Z2n  z 2ezz 2.(П.7.2)Отсюда с учетом (П.3.4) вытекают такие асимптотические представленияфункции Pen  x, y  в (П.3.3):eyPen  x, y y 2Pen  x, y eZ1n  x  , y  ,xx 2.(П.7.3)Z1n  y  , x  .Далее, используя (П.7.1), (П.3.14) и (П.3.15), построим асимптотические представления при z   для других функций, входящих в фундаментальные системы решений:X 1n  z Y3n  z e zze zz, X 2n  z 2, Y4 n  z 2ezz 2ezz 2.;(П.7.4)(П.7.5)Учитывая их, из (П.3.5) и (П.3.7) с использованием (П.7.3) и (П.3.6) получаемследующие представления при z   :Qen  x, y Qen  x, y Sen  x, y Sen  x, y eyy 2exx 2Y3n  x  , y  ,(П.7.6)Y3n  y  , x  ;exZ1n  y  , x  x 2eyY3n  x  , y  .y 2(П.7.7)Аналогичные асимптотические равенства для функций Pun  x, y  и Sun  x, y  в(П.4.13) находим аналогично (П.7.3), (П.7.6) и (П.7.7) с использованием (П.7.4):303Pun  x, y Pun  x, y exexX 1n  y  , Sun  x, y  Z1n  y  , x  ,x 2x 2eyeyX 1n  x  , Sun  x, y X 1n  x  , y  .y 2y 2(П.7.8)Далее в дополнение к (П.7.4) и (П.7.5) с использованием (П.7.2), (П.2.17),(П.2.18) и (П.4.2) - (П.4.4) строим асимптотические соотношения при z   дляостальных функций, входящих в фундаментальную матрицу Xn  r , s  (П.4.1):e zn  n  1 2zX 3n  z Y1n  z   X 1n  z Y2n  z X 3n  z e zzz,(П.7.9)e, Y2 n  z    2;2z 2, X 2n  z 2z 2 2z 2 2zez2ezn  n  1 e z, X 4n  z 2, Y3n  z n  n  1e zz2ezz 2e zz2, Y1n  z e zz, Y4n  z 2, X 4n  z 2n  n  1,2ezz 2ezz22,(П.7.10).Кроме того, находим асимптотические представления функций, входящих в(П.3.20) и (П.5.22):E00 n  x, y  1 y n Rn 0  x  e y  x , E10n  x, y   1 y n Rn1  x  e y  x ,n 1nE11n  x, y   1 y n 1 Rn1  x  e y  x , E30 n  x, y   1 y n Rn 3  x  e y  x ,n 1E33n  x, y   1 y n 1 Rn3  x  e y  x , y    Re y  Re x  0  ;nE10n  x, y  , E30n  x, y Dn  y, y Dn  y,  y n 1 y2 n 1n 1n(П.7.11)x n 1 Rn 0  y  e x  y , x    Re x  Re y  0  ; (П.7.12), Dn   y,  y n 1 y2 n 1, 1 n 1 y 2 n 1 , Dn   y, y   1 n 1 y 2 n 1 , y  ,2 n 1  y  xLzn  x, y   Dn  x, x  n 1 y   e   , y    Re y  Re x  0  .n 1n 1(П.7.13)304Б.

Характеристики

Список файлов диссертации