Диссертация (786059), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Использование формул (5.4.8), (5.4.13), (3.8.27) и (5.4.19), (5.4.21)),(3.8.31) при учете (4.4.14), (4.4.19), (П.3.3), (П.3.7), (П.4.13), (П.4.19), (П.4.20),(П.4.28) и (П.4.29) приводит к следующим аналогичным (3.8.33), (3.8.34) и(4.7.14), (4.7.15) результатам:L un r , , s   unL 1  r , , s  H    r    unL 2  r , , s  H  r    ,LTn 24  r1 s, r1 s   un1  r , , s   sZ 2 n  rs  n  n  1 (5.7.13)s sY4 n  r1 s  Pun  r1 s, s  X 4 n  r1s  Sun  s, r1s  Zs,2n3 3rsrs11 n  n  1LTn 24  r1 s, r1 s   unZ 2 n  s  Z 2 n  rs  2  r , , s     3 2 r1 s1s 2 X 2 n  s  Y4 n  r1 s  Sun  r1 s, rs  X 4 n  r1s  Pen  r1s, rs    ;r1 s255L vn r , , s    vnL 1  r , , s  H    r    vnL 2  r , , s  H  r    ,LTn 24  r1s, r1s   vn1  r , , s    n  n  1 sZ 2 n  rs  X r sY  s   Y4 n  r1 s  Sun  r1s, s   4 n 1 Pen  r1s, s   4 n 3 2  ,r1 sr1 s Y  s Tn 24  r1s, r1s   vLn 2  r , , s   n  n  1 s  4 n 3 2Z 2 n  rs  rs1(5.7.14) X r s  Z 2 n  s   4 n 1 Pen  rs, r1s   Y4 n  r1s  Sun  r1s, rs   . r1 s Для вычисления оригиналов функций в (5.7.13) и (5.7.14) подобно (П.5.19) (П.5.30) и (4.7.16) преобразовываем соответствующие числители и, учитывая(5.5.1), получаем подобные (3.8.37) результаты:Lunk r , , s  L vnk r , , s   unk  rs, r1s, s 12r n 1n s 2 n 1 Lzn  r1s  vnk  rs, r1s, s 12r n 1n s 2 n 1 Lzn  r1s ,(5.7.15) k  1, 2  ,гдеn1 un1  x, y , z    n 0  x   1 M un1  y , z   2n  n  1 y 2 n 1 n 0  z  ,M un1  y , z    n 3  y  E11n  y , z   n  n  1  n 0  y  E10 n  z , y  , un2  x, y , z    1  n1  z  M un 2  x, y   2n  n  1 y 2 n 1 n 0  x   n 0  z  ,1nM un 2  x, y    n 3  y  E10 n  y , x   n  n  1  n 0  y  E00 n  y , x  ,n1 vn1  x, y , z   n  n  1  n 0  x   2 y 2 n 1 n 3  z    1 M vn  y , z M vn  y , z   n  n  1  n 0  y  E00 n  y , z    n 3  y  E10n  y , z  ,n1 vn2  x, y , z   n  n  1  2 y 2 n 1 n 0  x   n 3  z    1  n 0  z  M vn  y , x  .а функция Lzn  y  определяется формулой (5.5.1).Числители дробей в (5.7.15) методами компьютерной алгебры подобно (5.5.8)приводятся к явному виду (показатели экспонент, несмотря на одинаковые обозначения, могут отличаться):256  unj  rs, r1s, s    Punj j  rs, s  e11 j  r ,   s,j  j 2  vnj  rs, r1s, s    Pvnj1 rs, s  e1 j  2  r ,   s(5.7.16). j 2Подставляя теперь в (5.7.15) ряд (5.5.7), окончательно с учетом последних раLLвенств для функций unkи  vnkполучаем следующие равенства:Lunj r , , s   L vnj r , , s    1  Qunj  s en 1 n  2r 1ll 012r n 1n  1 j  r ,   s  j l   1 j  r ,   s, j  l  1  Ql 0 j ll j  lvnj s e(5.7.17),где l;   Punj  rs, s  3 lQunj  s   2 n 1 Bkn  r1s ,s Dn  r1s, r1s  k 1 l;   Pvnj  rs, s  3 l l Qvnj  s   2 n 1 Bkn  r1s .s Dn  r1s, r1s  k 1 l kkФункции в (5.7.15) являются отношениями экспоненциальных многочленоваргумента s , и их структура аналогична (5.5.3).

Подобный проведенному в § 5.5анализ показывает, что степени числителей и знаменателя этих функций таковы:deg M un1  s, s   3  n  1 , deg M un 2  s, s   deg M vn  s, s   3n  2,deg  unk  rs, r1s, s   4n  3, deg  vnk  rs, r1s, s   2  2n  1 ,11(5.7.18)deg  s 2 n 1Lzn  r1s   4n  3.Следовательно, оригиналы функций в (5.7.15) могут быть найдены точно спомощью соответствующих теорем операционного исчисления. Только необходимо учитывать, что функции unk  r , ,   могут содержать слагаемые 1Cunk r, 2r n 1n    0k  r ,    ,которые также находятся методами компьютерной алгебры.(5.7.19)257Отметим также, что при вычислении интегралов в (5.7.4) - (5.7.6) необходимознать, как ведут себя ядра в окрестности центра шара и точки   0 .

Соответствующие результаты вытекают из (3.8.16), (3.8.17), (5.2.22) и (5.7.12):ccGHvn 0,    GHvn1  0,    0,cccGHun r ,0   lim GHnc  , r   GHvn r ,0   lim GHvn2  r ,     0  n  1 , 0 01  r1 ,  1 c clim  GHur,limGr,,1 r 0  r H 1r 0 r6r131  r1 ,   c1 clim  GHvr,limGr,,1 r 0 r  Hv11r 0 r3r131 c clim  GHunr ,     lim  GHnr ,   r 0 r r 0  r(5.7.20)1 c c lim  GHvnr ,     lim  GHvn1  r ,    0  n  2  ;r 0 r r 0  rcHu1  r ,     cHu11  r ,    1  r1 ,  3r13,  cHv1r  r ,    21  r1 ,  3r13,cHun  0,     cHun1  0,     cHvnr  0,     cHvn1  0,    0  n  2  ,(5.7.21)cHun  r ,0    cHun 2  r ,0    cHvnr  r ,0    cHvn 2  r ,0   0  n  1 .Для примера полагаем, что физические характеристики материала шара иначальные параметры электрического поля такие же, как и в § 4.7, а r1  2 .На границе шара напряженность электрического поля имеет вид:e01   sin  ,что соответствует таким коэффициентам:e011   , e01n  0  n  2  .На рисунках 5.7.1, 5.7.3, 5.7.5, 5.7.7, 5.7.9, 5.7.11 соответственно представленыграфики коэффициентов радиальных и тангенциальных перемещений, напряжённости магнитного поля, радиальных и тангенциальных перемещений напряжённости электрического поля и плотности поверхностных зарядов в зависимости от r .При этом сплошная линия отвечает моменту   0,2 , штриховая -   0,3 ,штрихпунктирная -   0,4 .258На рисунках 5.7.2, 5.7.4, 5.7.6, 5.7.8, 5.7.10, 5.7.12 соответственно представлены графики коэффициентов радиальных и тангенциальных перемещений, напряжённости магнитного поля, радиальных и тангенциальных перемещений напряжённости электрического поля и плотности поверхностных зарядов в зависимостиот  .

При этом сплошная линия отвечает значению r  0,5 , штриховая - r  1 ,штрихпунктирная - r  1,5 .u1  r u1   Рис. 5.7.1259Рис. 5.7.2v1  r Рис. 5.7.3v1   260Рис. 5.7.4H1 (r ),1011Рис. 5.7.5261Рис. 5.7.6Er1  r Рис. 5.7.7Er1   262Рис.

5.7.8E1  r Рис. 5.7.9263E1   Рис. 5.7.101  r Рис. 5.7.111   264Рис. 5.7.12На рисунке 5.7.13 изображена сходимость по числу членов степенного ряда напримере функции u1  r ,0.3 Сплошная кривая отвечает - u1  r ,0.3  u11  r ,0.3  ,штрихованная кривая - u1  r ,0.3  u11  r ,0.3   u12  r ,0.3 2 , штрих-пунктирнаякривая - u1  r ,0.3  u11  r ,0.3   u12  r ,0.3 2  u13  r ,0.3 3 .265Рис. 5.7.13Приложение§ П.1. Оригиналы преобразований Лапласа и Фурье для некоторыхфункций266Здесь в виде таблиц приводятся оригиналы некоторых, не вошедших в широкоизвестные справочники [30,122,123,173], изображений преобразований Лапласа(таблица П.1.1), одномерного экспоненциального преобразования Фурье (таблицаП.1.2) и совместного преобразования Лапласа-Фурье (таблица П.1.3) [108,171].

Внеобходимых случаях они сопровождаются соответствующими выкладками.Основные обозначения следующие:- для преобразования Фурье верхний индекс F указывает на изображение покоординате x , q - соответствующий параметр, знак «  » указывает на соответствие между оригиналами и изображениями;- для преобразования Лапласа верхний индекс « L » соответствует изображению по времени t , s - соответствующий параметр, знак «  » указывает на соответствие между оригиналами и изображениями;- I   z  , K  z  - модифицированная функция Бесселя [1, 111];- H  t  - функция Хевисайда,   t  - дельта-функция Дирака, x  x H  x  ;- r  x2  z 2 .Таблица П.1.1№1f F (q)i z qe ,qf (x) ,1xarctgπzz0Таблица П.1.2№f L (s)f (t ) ( a  0 , ,   0 )26721  t 2   2  21 4 a b t 21K    s  a  s  b  , z 02 s  a  s  b  2K 0  s  s  a  t3K1  s  s  a  ss  a2 at 2 2e S  t ,1 H  t   aK 2  s  s  a  ss  a4 at 2  2et  2 C  t 2 ,1 2a2 S  t 2 ,1 H  t   a4  a  b 1 2e a b 2I 1 2 t  2  22 2 1 2eat 2C  t 2 ,12e  at 2    t    56e s  s  a f L  ss  a  es s  a ea 2I1 t  2  H  t    2 t 2  2  2a a t f       a 2 2 t   d   2 2 I1 22t  f  t     H  t    at 2Таблица П.1.3№123f LF (q, s)e z  0f ( x, t ) ( a  0 ,   0 ) z q 2  2 s  s  a 1 2e at 2 2t  2 r 2  C t 2 , r 2 q2  2 s  s  a e z q 2  2 s  s  a saiqes  a z q 2  2 s  s  a q2  2 s  s  a zr 2 2tC  t 2 , r 2 22 S  t , r  e at 2 H  t  r  t 2   2 r 22 x  at 2 2 2e S  t , r  H  t  r ar 2268Здесь использованы следующие обозначения:aaC  t , r   ch t   2 r  , S  t , r   sh t  2 r 221.

Характеристики

Список файлов диссертации