Диссертация (786059), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

(4.8.6)Начальные условия к этой системе следуют из (4.1.13), (4.8.4), (4.8.5) и подобны (3.9.7), (3.9.8):u0  r ,    Guu 00  r ,    U 0    ,Er 0  r ,    e 0  r  Guu 00  r ,    U 0 s    ,0  r ,    e 0  r  uu 00  r ,    U 0 s     e 0  r  Guu 00  r ,    U 0 s    , (4.8.7)11  2 LL r Guu 00  r , s   .uu0 GuuL 0 k  r , s  , v   200  r , s  ssr r Явный вид ядра Guu 0  r , ,   в (4.8.2) указан в (3.6.16). Изображения его составляющих находим с использованием формул (4.5.2) (4.5.3), (П.5.22) и (3.9.12)записываем с использованием обозначений в (3.6.19):214GuuL 0  r , , s  Quu 0  s   11  1 r ,  s2 r ,  sQs e 10    Quu 0  s  e 20    ,2 2  uu 0  2r R01  rs  R01  s s3, Quu 0  s  2R01  rs  R01  r0 s  R01  s s 3 R01  r0 s ,(4.8.8)10  r ,      r , 20  r ,    r    2r0 , D0  x, y   R01  x  R03  y  .Оригинал этой функции находится достаточно просто с помощью соответствующих теорем операционного исчисления.Изображение ядра в (4.8.3) определяется соответствующим равенством в(4.7.14) и имеет вид (3.9.10), где в соответствии с (4.7.16), (4.7.17) и (4.8.8)R01  s  E100  r0 s, rs uL01  r , , s  2rsR01  r0 s uL02  r , , s   e   r0  sR00  rs  E110  s, r0 s 2rsR01  r0 s ,(4.8.9)e  r  r0  s.Эти функции с учетом (3.9.12) и (4.8.8) записываем так:1  110  r ,   s20  r ,   s 2,QseQseu01u012r11  , r s2 r ,  suL02  r , , s   Qu 02  s  e 10    Qu 02  s  e 20    ,2ruL01  r , , s  (4.8.10)гдеQu 01  s  1R01  s s, Qu 02  s  Qu 01  s   Qu 02  s   221R01  s s,R01  r0 s  R01  s sR01  r0 s .Последние функции являются неправильными дробями, что соответствует выводам, сделанным в § 4.7.

Выделяя в них целую часть11122 , Qu 02  s    , Qu 01  s   Qu 01 r  s   ,ss1   2  r0  s2Qu 01 r  s   ,s 1  r0 s Qu 01  s  1(4.8.11)ядро в (4.8.3) представляем в виде суммы регулярной и сингулярной частей(3.9.15), где215u 0 r  r , ,   12H      r   qu 01 r    20  r ,    H    20  r ,    ,2r qu 201 r      Qu 201 r  s u 0b  r , ,   sign    r        r       20  r ,    .2rL(4.8.12)Тогда формула (4.8.3) приобретает следующий вид: m    u 0 r  r , ,    e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,    d  r01 e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,     r , H    20  r ,    d  20 2r r0 (4.8.13)1 e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,     r H      r  d  2r r r1   e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,     r  H    r    d .2r r0Здесь так же, как и в § 3.9, необходимо дополнительно построить поверхностные функции влияния Guu 00  r ,   и uu 00  r ,   .

Сначала найдем первую из них. Какследует из (3.9.14) и (П.7.4), ограниченное решение уравнения в (4.1.14) записывается так:GuuL 00  r , s   A10  s  X10  rs  .(4.8.14)Определяя постоянную интегрирования из граничного условия, приходим кследующему результату:GuuL 00  r , s  X 10  rs .X 10  r0 s (4.8.15)Отсюда находим изображение функции uu 0 k  r ,   , используя ее определениев (4.8.7) и (П.4.3):Luu00  r , s  Z10  rs .X 10  r0 s (4.8.16)Явные выражения функций в (4.8.15) и (4.8.16) через элементарные функцииполучаем с помощью формул (П.3.13) и (П.3.14):216Luu 00Gr02 R01  rs   r r0 s Lr02 s r r sr,se,r,se  0 .  2uu 00 r R01  r0 s rR01  r0 s (4.8.17)В этих функциях с использованием (П.2.20) и (П.3.16) выделяем регулярные исингулярные составляющие:GuuL 00  r , s   GuuL 00 r  r , s  r  r  r0   r r0 sr0  r r0 s Le, Guu 00 r  r , s    20e,rr 1  r0 s r0  r r0 s Lr0LLuue, uu 00 r  r , s  ,00  r , s    uu 00 r  r , s  rr 1  r0 s (4.8.18)что в пространстве оригиналов эквивалентно таким равенствам:r0    r  r0  ,rruu 00  r ,    uu 00 r  r ,    0     r  r0  .rGuu 00  r ,    Guu 00 r  r ,   (4.8.19)Тогда начальные условия (4.8.7) преобразовываются так:r0U 0    r  r0  ,rrEr 0  r ,    e 0  r  Guu 00 r  r ,    U 0 s     0 U 0 s    r  r0   ,ru0  r ,    Guu 00 r  r ,    U 0    r0  r ,    e 0  r  uu 00 r  r ,    U 0 s     0 U 0 s    r  r0   rr e 0  r  Guu 00 r  r ,    U 0 s     0 U 0 s    r  r0   .r(4.8.20)По аналогичным высказанным в § 3.9 соображениям для расширения классаправых частей граничных условий (4.8.1) в качестве альтернативы построеннойвыше рекуррентной системе уравнений проведем подобные (3.9.30) преобразования соотношения (4.8.2):4  E0 Er , m 1  um  r ,     Guu 0  r , ,     E0 Er , m 1  d r0  E0    G1  r , ,    Er , m 1  ,   d ,r0где(4.8.21)217G  r , ,  4.G1  r , ,    Guu 0  r , ,    uu 0Это равенство вместе с (4.8.4) образует рекуррентную систему уравнений приm  1 .

Начальным условием для нее является первые два равенства в (4.8.20).Учитывая, что и в этом случае имеет место равенство (3.9.36), а также (3.9.15) и(4.8.12), преобразовываем рекуррентное соотношение (4.8.21) так:um  r ,     E0    G1r  r , ,    Er , m 1  ,   d  r01  E0    Er , m 1  ,    r , H    20  r ,    d  20 2r r0(4.8.22)1  E0    Er , m 1  ,    r H      r  d  2r r1  E0    Er , m 1  ,    r  H      r  d .2r rВ качестве примера рассмотрим пространство с полостью радиуса r0  1 с такими же, как и в § 3.9, физическими характеристиками, начальными значениямиэлектромагнитного поля (3.9.38) и возмущением на границе (3.9.30). Результатырасчетов в виде графиков зависимости перемещения от времени при r  1,5 иr  2 представлены на рис.

4.8.1 и 4.8.2 соответственно: сплошные кривые отвечают нулевому приближению, штриховые – двум членам ряда по малому параметру, штрих-пунктирные – трем членам. Добавление последующих членов рядаприводит к практическому совпадению последующих кривых со штрихпунктирной.218uРис.

4.8.1uРис. 4.8.2219Глава 5Нестационарные волны в электромагнитоупругом шаре§ 5.1. Электромагнитоупругий шар под действием нестационарных поверхностных возмущенийЗдесь аналогично главам 3 и 4 рассматриваем осесимметричное движениеэлектромагнитоупругого шара радиуса r1 . При этом остаются в силе предположения (3.1.1), (3.1.2), (3.1.8) и начальные условия (3.1.3). Граничные условия (3.1.4)преобразуются так:u r r  U1  ,  , v r r  V1  ,   , E r r  e01  ,   .11(5.1.1)1К ним добавляются условия ограниченности компонентов напряженнодеформированного состояния и электромагнитного поля.Решение этой задачи опять представляем в виде рядов (3.1.6) и (3.1.7).

Для коэффициентов рядов остаются в силе все соотношения (3.1.9) - (3.1.18). Граничныеусловия (5.1.1) с использованием разложений (3.1.19) их правых частей переходятв следующие равенства относительно коэффициентов рядов:1   rH n  e2 h0 V1n    , e01     n  1 ,r  r1r r r  r(5.1.2)1vnr  r1 V1n    ,unr  r1 U1n     n  0  .Дополнительным условием является ограниченность этих коэффициентов.В пространстве преобразований Лапласа по времени  остаются в силе все соотношения (3.1.23) - (3.1.27), а вместо граничных условий (3.1.28) имеют местоследующие равенства:1   rH n V s,r rLLn r r1vunLr  r1L1n e2 h0L V1nL  s  , e01L n  s  r  r1 n  1 ,r  r1 U1Ln  s   n  0  .К ним опять же добавляются условия ограниченности изображений.(5.1.3)220Для решения поставленной задачи так же, как и в главе 3, используются разложения (3.2.1) искомых функций в степенные ряды по малому параметру  .

Дляих коэффициентов остаются справедливыми (3.2.2) – (3.2.10).Соответствующие граничные условия принимают следующий вид:unL1Lunmr r1r r1 U1Ln  s   n  0  , vnL1L vnm1   rH n 0 r rr r1L1   rH nm rrr r1 V1nL  s L 0  n  0, m  1 , vnmr r1 e2 h0L V1nL  s  , e01L n  s   n  1 ;(5.1.4) 0  n  1, m  1 ;r  r1(5.1.5) n  1 ;(5.1.6)r  r1L 0  n  1, m  1 .(5.1.7)r  r1Так же остаётся в силе требование ограниченности всех искомых функций.Далее по аналогичным сформулированным в § 3.2 соображениям полагаем,чтоU1  ,    0, V1  ,    0 .(5.1.8)При этом задача (3.2.2), (3.2.6), (4.1.7) становится однородной, и, следовательно, ее решение тривиальное, т.е. выполняются равенства (3.2.22).Решение же задачи (3.2.3), (3.2.7), (5.1.3) аналогично (3.2.23), (3.2.24) записываем в интегральном виде ( m  1):- при n  0r1L0mu r , s    GuuL 0  r , , s  fuL0,m1  , s  d  ;(5.1.9)0- при n  1r1uLnm r , s    G  r , , s  fLuunr1Lun ,m 1L , s  d    Guvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,00r1r100LLLvnm r , s    Gvun r , , s  funL,m1  , s  d    Gvvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,(5.1.10)221LLLLЗдесь так же, как и ранее, Guun, Gvunи Gvun, Gvvn- объемные функции влияния,т.е.

функции Грина, соответствующие уравнениям (3.2.3), (3.2.6) и граничнымусловиям (5.1.5), а именно ограниченные решения следующих задач:- при n  0s 2GuuL 0  l110  GuuL 0     r    , GuuL 0r r1 0;(5.1.11)- при n  1LLs 2Guun l11n  Guun  l12n GvunL     r    ,LLs 22Gvun l21n  Guun  l22n GvunL  ,LGuunr  r1L Gvunr  r1(5.1.12) 0.LLs 2Guvn l11n  Guvn  l12n GvvnL  ,LLs 22Gvvn l21n  Guvn  l22n GvvnL     r    ,LGuvnr  r1L Gvvnr  r1(5.1.13) 0.Также в интегральном виде при n  1 и m  0 записывается решение задачи(3.2.8), (5.1.7):r1HLnm r , s    s  GHnL  r , , s  lH unmL  , s  , vnmL  , s  d .2e(5.1.14)0LЗдесь GHn- соответствующая объемная функция Грина, а именно ограничен-ное решение следующей краевой задачи: nG  s  GLHn2e2eLHnL1   rGHn    r  ,rr 0.(5.1.15)r  r1Решение задачи (3.2.8) при m  0 , (5.1.6) записываем подобно (3.2.30):LLH nL0  r , s   e2  s    GHn1  r , s  e01n  s  ,(5.1.16)LFгде GHn1 - поверхностная функция Грина, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации