Диссертация (786059), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Составляющиепервой и вторую функции находим, используя (4.2.21), (4.2.24) и (3.4.8):c1Hnn  1  n  r , r0  cn  r0 ,  r0n2c,   r,  ,   r   n 2 . r,   r 2n  1 n1r n2 2 Hn 2n  1 n1r n2 Hn0(4.3.4)Эти равенства вытекают из (3.4.6) и (3.4.7) при r1   .Теперь, подставляя (4.3.2) и (4.3.3) в формулы (3.2.9), приходим к аналогичным (3.4.9) и (3.4.10) равенствам:n  n  1  scE  r, s   GHn r ,   lH unL  , s  , vnL  , s  d  r s   r0Lrn LsscGHne 0  r0  vnL  r0 , s    e 0  r  unL ;0  r   e00 n  s  s s  (4.3.5)sE  r, s   cHn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  s   r0Lnss  cHn 0  r  e00L n  s  e 0  r0  vnL  r0 , s   e 0  r  vnL  n  1 .s s(4.3.6)Оригиналы формул (4.3.2), (4.3.5) и (4.3.6) находятся так же, как и равенства(3.4.11) - (3.4.13):cH n  r ,      GHn r ,   lH un  ,   , vn  ,   d  2e(4.3.7)r0c e2GHn0 r   e00 n     e00 n     e 0  r0  vn  r0 ,    ;Ern  r ,    n  n  1r G  r ,   L lcHnsHun  ,   , vn  ,    d  r0cGHn0  r  e00 n     e 0  r0  Ls vn  r0 ,    e 0  r  Ls un  r ,    ;(4.3.8)187En  r ,      cHn  r ,   Ls lH un  ,   , vn  ,    d  r0(4.3.9) cHn 0  r  e00 n     e 0  r0  Ls vn  r0 ,     e 0  r  Ls vn  r ,     n  1 .Оригиналы коэффициентов разложения поверхностных зарядов и координатывектора тока, по-прежнему, определяются равенствами (3.4.15) и (3.4.16).Далее аналогично § 3.4 и 4.3 рассмотрим три примера закона движения пространства с полостью.1.

Пространство со сферической полостью неподвижно (имеют место равенства (3.4.18)) и на границе полости задана напряженность электрического поляпервым равенством в (3.4.21).В этом случае компоненты электромагнитного поля, очевидно, определяютсяформулами (3.4.25), в которых выражения для функций GHc 10 и cH 10 вытекают из(4.2.24) и (4.3.4):cH 10Gr03 cr03 r    2 ,  H 10  r   3 .rr(4.3.10)2. Напряженность электрического поля на границе полости отсутствует(имеет место первое равенство в (3.4.29)), а перемещения являются радиальнымии определяются равенствами (3.4.30).Как следует из примера 2 § 3.4, полученные для толстостенной сферы формулы (3.4.34) для компонент электромагнитного поля не зависят от геометрии тела.Поэтому они будут справедливы и в этом случае.3. Напряженность электрического поля на границе полости отсутствует(см.

первое равенство в (3.4.29)), плотность зарядов в начальном состоянии имеет вид (3.4.35) и пространство движется поступательно с перемещениями(3.4.36).При этом остаются в силе равенства (3.4.37) и (3.4.38), а формулы (3.4.39) спомощью (4.3.7) - (4.3.10) и (3.4.15) модифицируются так:188e2 3 2H1  r ,     2  r0  r J1  r   H    ,re 1 3 3 2 r  r0  r J1  r   H    ,Er1  r ,   r 3 e   1 3 3 3 r0  r  r J 2  r   H    ,r 3   r  1  r ,    e 0 e  1 H    ,E1  r ,   (4.3.11)Er 0  r ,    0  r ,    H n  r ,    Ern  r ,    En  r ,    n  r ,    0  n  2  ,гдеJ1  r    GcH1 r ,   e0    d , J 2  r    cH 1  r ,   e0    d  .r0(4.3.12)r0Ядра последних интегралов в соответствии с (3.4.5), (4.2.21) и (4.3.4) имеютследующий вид:GHc 1  r ,    2 GHc 1  r ,   H    r   GHc 1  , r  H  r     ,2r03  r 3G  r,   .32 r 2cH1(4.3.13)cH 1  r ,    1cH 1  r ,   H    r    c2 H 1  , r , s  H  r    ,c1H 1r 3  r03 c2r03  3. r ,    2 3 , 2 H 1  r ,   3r3r 3(4.3.14)Подставляя (3.4.35), (4.3.13) и (4.3.14) в (4.3.12), вычисляем интегралы J1  r  иJ2 r  :J1  r   r02  r 2r 2  r02,Jr.2 2r 22r 3(4.3.15)Естественно эти равенства являются частным случаем формул (3.4.43) приr1   .Окончательные формулы для компонент электромагнитного поля сохраняютвид (3.4.46), где следует положитьr 2  r02r02AH  r    AE  r  , AEr  r   2 .2r 2r(4.3.16)1894.

Напряженность электрического поля на границе полости отсутствует(см. первое равенство в (3.4.29)), плотность зарядов в начальном состоянии имеет видe0  r   2ar 3 2(4.3.17)и пространство движется равноускоренно с перемещениямиu1 21w cos , v   w2 sin  ,22(4.3.18)что согласно (3.1.6) и (3.4.17) соответствует следующим коэффициентам рядов:11u1  w2 , v1   w2 , u0  un  vn  0  n  2  .22(4.3.19)При этом для операторов в (3.1.14), (3.1.17) и (3.4.14) имеют место равенства:w  1  e   H    ,2 wLs  u1    Ls  v1   1  e   H    ,wln  u1 , v1   lH  u1 , v1   e 0  r  2 , lH  u1 , v1    we 0  r   ,2wLs l1  u1 , v1     Ls lH  u1 , v1    2 e 0  r     1  e   H    ,Ls  u1    Ls  v1  (4.3.20)l0  u0 , v0   Ls  u0   Ls lH  u0 , v0    Ls l1  u0 , v0    0,lH  un , vn   ln  un , vn   Ls un  r ,     Ls vn  r ,     Ls lH  un , vn    Ls l1  un , vn    Ls lH  un , vn    0  n  2  .Подставляя их в (4.3.7) - (4.3.9), приходим к следующим результатам:H1  r ,    e2 w  I1  r   GHc 10  r  e 0  r0   ,w  2c1eIrrGrr H    , (4.3.21)1e00H10e02rwE1  r ,     2    1  e    I 2  r    cHn 0  r  e 0  r0   e 0  r   H    ,Er1  r ,   где190I1  r    GcH1 r,  e0   d , I 2  r    cH 1  r,   e0    d  .r0r0Вычисляя с учетом (4.3.13), (4.3.14) и (4.3.17) эти интегралы2r 3 2  r03 2r 3 2  r03 2,I1  r   2a, I 2  r   2a3r 23r 3(4.3.22)формулы (4.3.21) преобразовываются так:r 3 2  r03 2H1  r,    4 wa ,3r 22 waEr1  r,    3 2  r 3 2  4r03 2    1  e    H    ,3r 2eE1  r,    4aw    1  e (4.3.23)r 3 2  r03 2 3 2 r 3 H    .Соответствующие коэффициенты для поверхностных зарядов находятся поформулам (3.4.15):1  r,    3aw  1  e  H    .2 52 r(4.3.24)Окончательно для всех компонент электромагнитного поля аналогично(3.4.46) получаем следующие формулы:r 3 2  r03 2H  r, ,    4 wa  sin ,3r 22 waEr  r, ,    3 2  r 3 2  4r03 2    1  e    H    cos ,3r 2eE  r, ,    4aw    1  e r 3 2  r03 2 3 2 r 3 H    ,3awe  r, ,     2 5 2    1  e    H    cos , r2 wajr  2 3  r 3 2  4r03 2    1  e     3r 3 2   H    cos ,3 r2 waj   2 3  2  r 3 2  r03 2    1  e     3r 3 2   H    sin .3 r(4.3.25)191§ 4.4.

Объемные функции Грина для упругого пространства со сферической полостьюLLСначала аналогично § 3.5 построим функции Guunи Gvun, которые являютсярешениями краевых задач (4.1.20) - (4.1.22) [70,72,75].Начнем с первой из этих задач. Общее решение соответствующего уравненияимеет вид (3.5.1), где частное решение по-прежнему определяется формулой(3.5.4).Для удовлетворения условиям ограниченности, подставляя (П.7.4) в (3.5.1) сучетом (3.5.4), приходим к следующему результату для функции влияния приr :Luu 0G r, , s ers A20  s    sX 10  s .rs 22(4.4.1)Отсюда вследствие неограниченности последнего множителя следует равенствоA20  s   2 sX 10  s  .(4.4.2)Для второй постоянной из граничного условия (4.1.20) получаем следующееуравнение:A10  s  X 10  r0 s   A20  s  X 20  r0 s   0 ,(4.4.3)откуда следует, чтоA10  s   2 sX 20  r0 s X 10  s  .X 10  r0 s (4.4.4)Подставляя теперь (3.5.4), (4.4.2) и (4.4.4) в (3.5.1), с учетом (П.4.13) приходимк такому результату: P  rs, r0 s GuuL 0  r, , s   2 s  u 0X 10  s   Pu 0  rs, s  H  r    . X 10  r0 s (4.4.5)Окончательно с использованием следствия П.6.2 эту функцию записываем так:GuuL 0  r, , s   2 GuuL 0  r, , s  H    r   GuuL 0  , r, s  H  r    ,Luu 0GsP  rs, r0 s  X 10  s . r, , s   u 0X 10  r0 s (4.4.6)192С целью проверки перейдем к пределу при r1   в аналогичной формуле(3.5.8) для толстостенной сферы.

Учитывая (П.7.8), приходим к равенствуPu 0  r1s, s r1se r1s X 10  s X 10  s ,lim  limrsr1 P  r s, r s r1 r se 1 X  r s Xrsu0011100100(4.4.7)из которого при использовании (П.3.4) вытекает, что этот предельный переходприводит к полученному выше результату (4.4.6).LLДля определения функций Guunи Gvunпри n  1 аналогично § 3.5 сводим си-стему уравнений в (4.1.21) к системе первого порядка и используем представление ее общего решения в виде (3.5.9), где частное решение по-прежнему определяется формулами (3.5.12).Из формул (П.7.9) и (П.7.10) вытекает следующее представление при r  для фундаментальной матрицы Xn  r , s  (здесь и далее знак эквивалентности дляматриц понимается поэлементно):Xn  r , s 1r s2 2 2 0, e2rs2 x n 2 , 0, ers x n 4  ,x n 2   rs, rs 2 , 1,  s  , x n 4   n  n  1 , n  n  1 s, rs, 2 rsT2 T(4.4.8).А уже из него при дополнительном учете (3.5.11) получаем соответствующиеасимптотические равенства для функций влияния:LG un r , , s 12 r 2 s 2 2  e  A2un   sX 1n  s   x n 2  e2 rs2rs(4.4.9) B2un   Z1n  s   x n 4 .2Таким образом, функции влияния будут ограниченными только при выполнении следующих равенств:A2un  2 sX1n  s  , B2un  2 Z1n  s  .(4.4.10)Отметим, что первое из них является частным случаем формулы (4.4.2).Подставляя теперь (3.5.13) в граничные условия в (4.1.22), получаем системулинейных алгебраических уравнений относительно A1un и B1un :193 A1un  A2un X13 X13  0,n13  r0 , s  n 24  r0 , s  BB 1un  2un 121312X13n13  r0 , s   Z n13 , X n 24  r0 , s   Z n 24 ,(4.4.11)где Xijnkl  r , s  и Zijnkl - матрицы, стоящие из элементов, расположенных в строках с номерами i, j и столбцах с номерами k , l матриц Xn  r , s  в (П.4.1) и Z n в(3.5.14) соответственно.Ее решение имеет вид:1 A1un  A2un 1313 B     Xn13  r0 , s  Xn 24  r0 , s   B  . 1un  2un (4.4.12)Отсюда после соответствующих преобразований получаем следующий результат:Yn 0  r0 , s   A2un  A1un B  B ,Trs,rs1un 2un n1300 T  rs, rs  Tn34  rs, rs  Yn 0  r , s    n 23.Tn14  rs, rs   Tn12  rs, rs (4.4.13)Здесь использованы обозначенияTnkl  x, y  X kn  x Ykn  x X ln  y  k , l  1, 2,3, 4  .Yln  y (4.4.14)Подставляя теперь (4.4.10) и (4.4.13) в (3.5.9) и принимая во внимание (3.5.11),для искомых функций получаем следующее равенство:L Guun r , , s      X13 r , s Yn 0  r0 , s   X13 r , s   sX1n  s     2 L n13  n 24 Gr,,sTrs,rsn1300 vun   Z1n  s  L Guun r , , s   H r   . L  Gr,,s vun(4.4.15)В развернутом виде оно записывается так:LLLGuun r , , s   2Guun r , , s   Guun  r , , s  H  r    ,LvunGЗдесь r , , s    G  r , , s   G2LvunLvun r , , s  H  r    .(4.4.16)194L2Guun  r , , s    sPun  s, rs   LvunGLuunGn  n  1rsPen  rs, s  ,(4.4.17)2 r , , s    Sun  s, rs   2 Sen  rs, s  ;r r , , s  LGvun r , , s  sX 1n  s  K n11  rs, r0 s   2 1Z1n  s  K n12  rs, r0 s Tn13  r0 s, r0 s sX 1n  s  K n 21  rs, r0 s   2 1Z1n  s  K n 22  rs, r0 s Tn13  r0 s, r0 s ,(4.4.18),гдеK n11  x, y   X 1n  x  Tn 23  y, y   X 3n  x  Tn12  y , y   X 2 n  x  Tn13  y , y  ,K n12  x, y    X 1n  x  Tn 34  y, y   X 3n  x  Tn14  y , y   X 4 n  x  Tn13  y , y  ,K n 21  x, y   Y1n  x  Tn 23  y, y   Y3n  x  Tn12  y, y   Y2 n  x  Tn13  y , y  ,K n 22  x, y   Y1n  x  Tn 34  y, y   Y3n  x  Tn14  y, y   Y4 n  x  Tn13  y , y  .Последние равенства можно упростить.

Характеристики

Список файлов диссертации