Диссертация (786059), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

С этой целью, используя (4.4.14),(П.3.5), (П.4.15), (П.4.28) и (П.4.29), получаем следующие вспомогательные равенства:n  n  1n  n  111Tn12  x, x    Sun  x, x   3 , Tn34  x, x  Sun  x, x   ; (4.4.19)xxxx3X 1n  x  Tn 23  y, y   X 2 n  x  Tn13  y , y   Y3n  y  Pun  x, y   y 1 X 3n  y  Sun  x, y  ,X 3n  x  Tn14  y, y   X 4 n  x  Tn13  y , y   n  n  1 1 x 1  X 1n  y  Sen  y, x   n  n  1 1 y 1Y1n  y  Pen  x, y   ,Y1n  x  Tn 23  y, y   Y2 n  x  Tn13  y , y  (4.4.20) x 1 Y3n  y  Sun  y, x   y 1 X 3n  y  Pen  x, y   ,Y3n  x  Tn14  y, y   Y4 n  x  Tn13  y, y   X 1n  y  Qen  x, y   n  n  1 1 y 1Y1n  y  Sen  x, y  .Учитывая теперь последние две группы формул, приходим к следующим равенствам для функций K nij  x, y  :195K n11  x, y   Y3n  y  Pun  x, y   y 1 X 3n  y  Sun  x, y   y 3 X 3n  x  ,K n12  x, y   n  n  1 K n12  x, y  , K n12  x, y   1 2 y 3 X 1n  x   x 1  X 1n  y  Sen  y, x   n  n  1 1 y 1Y1n  y  Pen  x, y   ,K n 21  x, y  (4.4.21) x 1 Y3n  y  Sun  y, x   y 1 X 3n  y  Pen  x, y    y 3Y3n  x  ,K n 22  x, y   X 1n  y  Qen  x, y   n  n  1 1 y 1 Y1n  y  Sen  x, y   2 y 2Y1n  x   .LLДля определения функций Guvnи Gvvn n  1 аналогично § 3.5 сводим системууравнений в (4.1.22) к системе первого порядка.

Ее общее решение имеет вид(3.5.17), где частное решение определяется равенством (3.5.18).При определении постоянных интегрирования выводы (П.7.8) - (4.4.16) фактически повторяются с заменой столбца Dun из (3.5.11) столбцом Dvn из (3.5.19).При этом асимптотические равенства (4.4.9) для функций влияния изменяютсятак:LG vn r , , s 1r s2 2 22(4.4.22) 2 ers  A2vn  n  n  1 Z1n  s   x n 2  ers  B2vn  3 2 sY3n  s   x n 4 .Тогда условия ограниченности решения приводят к следующим равенствам:A2vn  n  n  1 Z1n  s  , B2vn  32 sY3n  s  .(4.4.23)Далее аналогично (4.4.13) находим остальные две постоянные:Yn 0  r0 , s   A2vn  A1vn B   B .Trs,rs 1vn  2vn n1300(4.4.24)Подставляя теперь (4.4.23) и (4.4.24) в (3.5.17), для искомых функций получаем следующее равенство:LL Guvn r , , s     Guvn  r , , s  L  L H  r    Gvvn  r , , s    Gvvn  r , , s    n  n  1 Z1n  s  Yn 0  r0 , s   X13 X13.n13  r , s n 24  r , s  3sYsTrs,rs3nn13 00(4.4.25)196В развернутом виде оно аналогично (4.4.16) записывается так:LLLGuvn r , , s   n  n  1 2Guvn r , , s   Guvn  r , , s  H  r    ,(4.4.26)LLLGvvn r , , s   2Gvvn r , , s   Gvvn  r , , s  H  r    ,Здесь 2LGuvn Sen  s, rs   ,  r , , s     Sun  rs, s  rn  n  1 3LGvvnPen  rs, s   .  r , , s      sQen  rs, s  rsLuvnGLGvvn1 Z1n  s  K n11  rs, r0 s   3 sY3n  s  K n12  rs, r0 s Tn13  r0 s, r0 s ,n  n  1 1 Z1n  s  K n 21  rs, r0 s   3 sY3n  s  K n 22  rs, r0 s Tn13  r0 s, r0 s (4.4.27)(4.4.28).Окончательно в соответствии со следствием П.6.3 формулы (4.4.16) и (4.4.26)LLLLдля функций Guun, Gvun, Guvnи Gvvnзаписываем в виде (3.5.24) и (3.5.25), гдеLLLLфункции Guun, Gvun, Guvnи Gvvnопределяются равенствами (4.4.18) и (4.4.28).Для проверки рассмотрим частный случай при n  0 .

Используя формулы(3.5.26), (4.4.14) и (4.4.21) получаем следующие равенства:T013  x, y   X10  x  Y30  y  , K011  x, y   Y30  y  Pu 0  x, y  , K 012  x, y   0 . (4.4.29)Подставляя их в (4.4.18), убеждаемся в том, что формула (4.4.23) переходит в(4.4.6).С целью дополнительной проверки формул (4.4.18) и (4.4.31) перейдем к пределу при r1   в аналогичных формулах (3.5.16) и (3.5.23) для толстостеннойсферы. Во-первых, подставляя асимптотики (П.7.3), (П.7.6), (П.7.7) и (П.7.8) в(П.5.5), (П.5.17) и (П.5.18), с учетом (П.2.17), (П.2.18) и (4.4.14) приходим к следующему соотношению при r1   :Zn  s e  1Tn13  r0 s, r0 s  .2r12 s 21 r s(4.4.30)Далее аналогичным образом из (3.5.12) получаем такие асимптотические равенства при x   :197Ruun  x, y Rvun  x, y ye xx 2ye xX 1n  y  n  n  1 exZ1n  y  ,x 2exX 1n  y  Z1n  y  .2x 2x22(4.4.31)Кроме того, также, используя (П.2.17), (П.2.18), (П.5.17), (П.5.18) и (4.4.21),строим такие асимптотические равенства при z   :Run1  x, y, z Run 2  x, y, z Rvn1  x, y, z Rvn 2  x, y, z n  n  1 e zz 2 2ezz 2K n12  x, y  ezz 2 2ezz 2K n12  x, y  z 2 ezezz 2 K n11  x, y  ,(4.4.32)K n11  x, y  ;2 z 2 2K n 22  x, y  K n 22  x, y  ezK n 21  x, y  ,mez2 z 2 2(4.4.33)K n 21  x, y  .Переходя теперь в равенствах (3.5.16) к пределу при r1   с учетом соотношений (4.4.30), (4.4.32) и (4.4.33) приходим к формулам (4.4.18).Далее аналогично формулам (4.4.31) получаем следующие соотношения приx :Ruvn  x, y Rvvn  x, y y exexY3n  y  Z1n  y  ,x x 2x 2n  n  1 e x2 yexY3n  y  Z1n  y  .xx 2x 2(4.4.34)Переход к пределу при r1   в равенствах (3.5.23) с учетом соотношений(4.4.32) - (4.4.34) приводит к формулам (4.4.28).§ 4.5.

Оригиналы объемных функций влияния для упругого пространствасо сферической полостьюДля вычисления оригиналов функций влияния в (4.4.16) и (4.4.26) аналогично(3.6.3) выразим функции в (4.4.18) и (4.4.28) через экспоненциальные многочленыEkln  x, y  (см. (П.3.20)). Для этого сначала, используя (П.2.18), (П.3.13) - (П.3.19)198и (П.4.36), (П.4.37), проделаем эту процедуру для определителя Tn13  y, y  , задаваемого формулой (4.4.14), а также для функций, входящих в (4.4.21):Tn13  y, y   n22y2 n  2 Dn  y, y  e  y ;Ln11  x, y Ln12  x, y ,Kx,y,n122 2n  2 x n  2 y 2 n  22 22 n  2 x n  2 y 2 n  2 K n11  x, y  Ln 21  x, y Ln 22  x, y K n 21  x, y  ,Kx,y,n222 2n  2 x n  2 y 2 n  22 22 n  2 x n  2 y 2 n  2 (4.5.1)(4.5.2)гдеLn11  x, y    1  Rn 3  y  E11n  x, y   n  n  1 Rn 0  y  E10 n  x, y   e y  2n  n  1 y 2 n 1 Rn 0  x  e x ,nLn12  x, y    1  Rn1  y  E30 n  y, x   n  n  1 Rn 0  y  E00 n  x, y   e  y  22 n 1 y 2 n 1 Rn1  x  e  x ,nLn 21  x, y    1 Rn 3  y  E10 n  y, x   n  n  1 Rn 0  y  E00 n  x, y   e y  2 y 2 n 1 Rn 3  x  ex ,n 1Ln 22  x, y    1  n  n  1 Rn 0  y  E30 n  x, y   Rn1  y  E33n  x, y   e  y  2n  n  1 2 n 1 y 2 n 1 Rn 0  x  e  x ,nа функция Dn  x, y  и величина  определены равенствами в (П.5.22).Подставляя теперь (4.5.1) и (4.5.2) в (4.4.18) и (4.4.28), с учетом (П.2.18),(П.3.13) - (П.3.15) приходим к аналогичным (3.6.3) равенствам:Luun Fuuns1, r , , s   2n 1 n  2 n  2 2 n 32 r  s Dn  r0 s, r0 s Lvun Fvuns1, r , , s   2n 1 n  2 n  2 2 n 32 r  s Dn  r0 s, r0 s 0G0GLGuvn r , , s  1r 2 n 1 n  2 n  22Fuvn  s  0s2n 3Dn  r0 s, r0 s  Fvvns1G  r , , s   2 n 1 n  2 n  2 2 n  3,2 r  s Dn  r0 s, r0 s 0Lvvnгде(4.5.3)199 Fuun s   e r0 s 2 n 1 Rn1  s  Ln11  rs, r0 s  es  n  n  1 Rn0  s  Ln12  rs, r0 s  e s  ,0 Fvun s   e r0 s 2 n 1 Rn1  s  Ln 21  rs, r0 s  es  Rn0  s  Ln 22  rs, r0 s  es  ,0 Fuvn s   e r0 s 2 n 1 Rn 0  s  Ln11  rs, r0 s  es  Rn3  s  Ln12  rs, r0 s  es  ,0 Fvvn s   e r0 s n  n  1 2n 1 Rn0  s  Ln 21  rs, r0 s  e s  Rn3  s  Ln 22  rs, r0 s  e s  .0Для дополнительной проверки в формулах (3.6.3) переходим к пределу приr1   .

С этой целью с помощью (П.7.11) и (П.7.12) сначала строим асимптотические формулы для функций в (3.6.1), (П.5.20) и (П.5.21):Luun  x, y  1 2n 1 y n 1 Rn1  x  e y  x ,n 1Lvun  x, y   1 2 n 1 y n 1 Rn 0  x  e y  x ,n 1 yxLvvn  x, y   1 n 3 y n 1 Rn3  x  e   , y    Re y  Re x  0  ;n 1Luun  x, y  1 2 n1 x n1 Rn1  y  e x  y ,n x yLvvn  x, y   1 n  3 x n 1 Rn3  y  e   ,n x yLvun  x, y   1 n 1 x n 1 Rn 0  y  e   , x    Re x  Re y  0  ;(4.5.4)nLun1  x, y, z n 1 z n 1ez Ln11  x, y  , Lun 2  x, y, z Lvn1  x, y, z n 1 z n 1ez Ln 21  x, y  , z  ;Lun1  x, y, z (4.5.5) z n 1e z Ln12  x, y  ,(4.5.6) x n 1e x Ln 22  z, y  , x   .(4.5.7)Переходя теперь к пределу при r1   в (3.6.3) с использованием (4.5.4) (4.5.7) и (П.7.13), приходим к равенствам (4.5.3).Числители в равенствах (4.5.3) согласно (4.5.2) имеют аналогичный (3.6.4) видэкспоненциальных многочленов  1Fuun s    Puun rs, s  e0 1  r ,   sFuvn  s    Puvn0 3  r ,   s01 0 3  rs, s  e3 , Fvun s    Pvun 2   rs, s  e0 2  r ,   s, Fvvn  s    Pvvn0 4  r ,   s0,2 0 4  rs, s  e(4.5.8),4которые могут быть найдены методами компьютерной алгебры.

ПосколькузнаменательDn  r0 s, r0 s в (4.5.3) является многочленом, тоLGuun r, , s  ,LLLGvun r, , s  , Guvn r, , s  и Gvvn r, , s  - суммы произведений рациональных функ-200ций аргумента s на экспоненты. Покажем, что все эти рациональные функцииявляются правильными дробями.Действительно,учитывая,чтосогласно(П.5.22)и(3.6.10)deg Dn  r0 s, r0 s   2  n  1 , получаем, что знаменатели в (4.5.3) имеют степени4n  5 . Степени экспоненциальных многочленов в (4.5.2) и (4.5.3) находим, дополнительно учитывая (3.6.11):deg Ln11  s, s   deg Ln 22  s, s   3  n  1 ,deg Ln12  s, s   deg Ln 21  s, s   3n  2;(4.5.9)deg Rn 0  z   n, deg Rn1  z   deg Rn3  z   n  1 deg Fuun s   deg Fvvn   s   4  n  1 ,00deg Fvun  s   deg Fuvn  s   4n  3. 00(4.5.10)Следовательно, оригиналы функций в (4.5.3) могут быть найдены точно с помощью соответствующих теорем операционного исчисления.Оригиналы искомых функций влияния при n  1 вычисляются так же, как и в §3.6 по формулам (3.6.15).Функцию влияния Guu 0  r , ,   можно находить, используя первое равенство в(3.6.15) при n  0.В качестве примера рассмотрим полость радиуса r0  1 , материал среды такойже, как и в предыдущих главах (алюминий,   2,04 ).

Результаты расчетов приведены на рис. 4.5.1 и 4.5.2 [70]. На первом из них приведены графики распределения функций влияния Guu1 , Gvu1 , Guv1 и Gvv1 по радиусу r при   1,5 ,   2 :сплошная кривая соответствует функции Guu1 , штриховая Guv1 , штрихпунктирная- Gvu1 , штрихпунктирная с двумя точками - Gvv1 .Рис. 4.5.2 иллюстрирует зависимость функции Guun от времени при r  2 ,  1,5 и различных значениях n : сплошная кривая соответствует n  0 , штриховая- n  1 , штрихпунктирная - n  2 , штрихпунктирная с двумя точками - n  3 .201Рис.

4.5.1.Рис. 4.5.2.§ 4.6. Нестационарное движение упругого пространства со сферическойполостью под действием объемных силАналогично § 3.7 рассмотрим вспомогательную задачу об осесимметричномдвижении упругого полупространства со сферической полостью под действиемобъемных сил с радиальной Fr  r , ,   и тангенциальной компонентами F  r , ,  [70,72,134].Так же, как и ранее, полагаем, что начальные условия имеют вид (3.7.1), а граничные условия подобны (3.7.2):u r r  v r r  0 .0(4.6.1)0Тогда с использованием (4.1.18) и (4.1.19) получаем следующие интегральныепредставления для изображений коэффициентов рядов для перемещений:- при n  0L0u r , s    GuuL 0  r , , s  FrL0  , s  d  ;r0- при n  1(4.6.2)202uLnL r , s    G  r , , s  F  , s  d    Guvn r , , s  FLn  , s  d ,LuunLrnr0r0r0r0(4.6.3)LLvnL  r , s    Gvun r , , s  FrnL  , s  d    Gvvn r , , s  FLn  , s  d .В пространстве оригиналов эти формулы преобразовываются так:- при n  0u0  r ,     Guu 0  r , ,    Fr 0  ,   d  ;(4.6.4)r0- при n  1r0r0r0r0un  r ,     Guun  r , ,    Frn  ,   d    Guvn  r , ,    Fn  ,   d ,(4.6.5)vn  r ,     Gvun  r , ,    Frn  ,   d    Gvvn  r , ,    Fn  ,   d .Ядра этих представлений определяются формулами (3.6.15).В качестве примера движения среды рассмотрим действие объемной силыследующего вида:Fr  r , ,   H      r  r  cos , F  r , ,     H      r  r  sin  ,что соответствует следующим коэффициентам рядов [134]:Fr1  r ,      r  r  H    , F1  r ,      r  r  H    ,Fr 0  r ,    Frn  r ,    Fn  r ,    0, n  2.,При этом в соответствии с (8) имеет место поступательное движение:u  r , ,   u1  r ,  cos , v  r , ,    v1  r ,   sin  .

Характеристики

Список файлов диссертации