Диссертация (786059), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

В расчете принято r  3 .Результаты расчетов приведены для тех же механических и геометрическиххарактеристик, которые приняты в предыдущем параграфе, приведены на рис.4.6.1 и 4.6.2 [70]. На первом из них представлены графики распределения функций u1  r ,   и v1  r ,   по радиусу: сплошная и пунктирная кривые соответствуютперемещениямu1  r ,3иv1  r ,3соответственно, а штрихпунктирная иштрихпунктирная с двумя точками - u1  r ,5 и v1  r ,5 соответственно.203Зависимость функций u1  r ,   и v1  r ,   от времени иллюстрирует рисунок4.6.2: сплошная и пунктирная кривые соответствуют перемещениям u1  2,   иv1  2,   соответственно, а штрихпунктирная и штрихпунктирная с двумя точками u1  5,   и v1  5,   соответственно.Рис.

4.6.1.Рис. 4.6.2§ 4.7. Распространение осесимметричных нестационарных поверхностныхвозмущений в электромагнитоупругом пространстве со сферической полостьюПостановка этой задачи приведена в § 4.1. Ее решение представлено в видерядов (3.1.6) по углу  и (3.2.1) по малому параметру  . Как показано в §§ 4.2 –4.6, коэффициенты этих рядов при каждом n определяются независимыми рекуррентными системами интегральных соотношений. Аналогично § 3.8 доказывается,что для нулевых коэффициентов рядов (3.1.6) ( n  0 ) при условиях (4.1.17) выполняются равенства (3.8.2).При n  1 аналогично § 3.8 получаем следующую рекуррентную ( m  1) систему уравнений (отличие от соотношений (3.8.4), (3.8.9), (3.8.12), (3.8.13),(3.8.18), (3.8.20) – (3.8.22) и (3.8.43) в пределах интегрирования и количествезаданных на границе функций):204r0r0r0r0unm  r ,     Guun  r , ,    fun, m 1  ,   d    Guvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ,(4.7.1)vnm  r ,     Gvun  r , ,    fun, m 1  ,   d    Gvvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ;r0r0r0r0unm  r ,      uun  r , ,    fun, m 1  ,   d     uvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ,(4.7.2)vnm  r ,      vun  r , ,    fun, m 1  , s  d     vvn  r , ,    f vn, m 1  , s  d ;nm  r ,     un  r , ,    fun, m 1  ,   d     vn  r , ,    f vn, m 1  ,   d  ,r0(4.7.3)r0fun,m1  ,    e 0    Ern,m1  ,    E0    n,m1  ,   ,гдеf vn,m1  ,    e 0    En,m1  ,    E0    H n,m1  ,   ;ccH nm  r ,      e 0    GHun r ,   unm  ,    GHvn r ,   vnm  ,   d  ;2e(4.7.4)r0Ernm  r ,    n  n  1r  e 0    GcHun r ,   unms  ,    GcHvn r ,   vnms  ,   d ;(4.7.5)r0Enm  r ,     e 0    cHun  r ,   unms  ,     cHvnr  r ,   vnms  ,   d  r0(4.7.6) e 0  r  vnms  r ,   ;nm  r ,    e0  r  unms  r ,    e0nms  r ,   ,(4.7.7)unms  r ,    unm  r ,    e   unm  r ,   ,vnms  r ,    vnm  r ,    e   vnm  r ,   , nms  r ,     nm  r ,    e    nm  r ,   .Начальными условиями для нее являются подобные (3.8.3) равенства:(4.7.8)205un 0  r ,    0, vn 0  r ,    0 (n  0),cH n 0  r ,    e2GHn0 r   e00 n     e00 n     ,Ern 0  r ,    n  n  1G  r  e00 n    , n 0  r ,    0,rEn 0  r ,     cHn 0  r  e00 n     n  1 ,cHn 0(4.7.9)ccгде функции GHn0  r  и  Hn 0  r  определяются формулами (4.2.24) и (4.3.4).Естественно, по отношению к § 3.8 изменяются ядра в соотношениях (4.7.1) (4.7.6).

А именно, функции Guun  r , ,   , Guvn  r , ,   , Gvun  r , ,   , Gvvn  r , ,   опреcделяются формулами (3.6.15) и указанным в § 4.5 алгоритмом, а GHn0 r  иcHn 0  r  - равенствами (4.2.24) и (4.3.4). Функции uun  r , ,   , uvn  r, ,   , vun  r , ,   и  vvn  r , ,   задаются равенствами (3.8.45), а изображения их составляющих имеет вид (3.8.46) и являются суммами произведений рациональныхфункций на экспоненты.

В соответствии с проведенным в § 4.5 анализом степенейчислителей и знаменателей функции uun  r , ,   и  vvn  r , ,   могут содержатьподобные (3.8.48) слагаемые (времена запаздывания указаны в (4.5.8)) 1n 4Auun r, 22 n 1r n  2 n  2    04  r ,    , 1n 4Avvn r,  22 n 1r n  2 n  2    04  r ,   , (4.7.10)которые должны быть учтены в свертках в (4.7.2) в соответствии со свойствами дельта-функции.Ядра интегралов в (4.7.4) - (4.7.6) задаются формулами (3.8.15), которые получаются аналогично (3.8.16) и (3.8.17) с помощью интегрирования по частям в(4.3.7) - (4.3.9).

При этом полагается, что начальная плотность поверхностныхзарядов удовлетворяет условиюlim e0  r   0 ,r (4.7.11)а также совместно с граничными условиями (4.1.8) учитываются вытекающиеиз формул (4.2.21) и (3.4.5), (4.3.4) равенства:206clim GHn r ,    lim 2GHnc  r ,    n  r0 , r 1 при n  1,n  2n  1 r n 1 0 при n  1; n  1  n  r , r0  1 при n  1,lim cHn  r ,    lim 1cHn  r ,     2n  1 r n  2 0 при n  2.(4.7.12)Явный вид этих ядер совпадает с формулами (3.8.16) и (3.8.17). При этом коэффициентыcHun1  r ,   ,cHun 2  r ,   ,cGHvn1  r,  ,cGHvn2  r,  ,cHvn1  r ,  иcHvn 2  r ,   перед функциями Хевисайда в соответствии с (3.8.15), (4.2.21) и (4.3.4)определяются так:n  r0 ,   n  1  n  r , r0  c,r,,Hun2 2n  1 n r n  2 2n  1 n r n  2n  r0 , r  n  1  n  r0 ,  ccGHvnr,,Gr,,1 2n  1 r n 1n 1 Hvn 2 2n  1 r n 1n 1n  n  1  n  r , r0  cn  n  1  n  r0 ,   cHvn1  r ,    ,  Hvn 2  r ,   .n2 n 2n  1 r  2n  1 r n  2 n cHun1  r ,    (4.7.13)Изображения ядер в (4.7.3) определяются равенствами (3.8.23) и (3.8.28), в которых постоянные интегрирования должны быть взяты из (4.4.10), (4.4.13),(4.4.23) и (4.4.24).

Использование формул (4.4.10), (4.4.13), (3.8.27) и (4.4.23),(4.4.24), (3.8.31) при учете (4.4.14), (4.4.19), (П.3.3), (П.3.7), (П.4.13), (П.4.19),(П.4.20), (П.4.28) и (П.4.29) приводит к следующим аналогичным (3.8.33) и(3.8.34) результатам:L un r , , s   unL 1  r , , s  H    r   unL 2  r , , s  H  r    ,LTn13  r0 s, r0 s   un1  r , , s  n  n  1 r03 s 2Z1n  rs  Z1n  s  X  r0 s 2 s 2 X 1n  s  Y3n  r0 s  Sun  r0 s, rs   3nPen  r0 s, rs   ,r0 s n  n  1LTn13  r0 s, r0 s   unZ1n  s  2  r , , s   Z1n  rs  3 2rs 0 X  r0 s s 2 Y3n  r0 s  Pun  s, r0 s   3nSun  s, r0 s    ;r0 s (4.7.14)207L vn r, , s    vnL 1  r, , s  H    r    vnL 2  r, , s  H  r    , LTn13  r0 s, r0 s   vn1  r , , s   n  n  1   3 Z1n  rs  Y3n  s   r0 s 1 sZ1n  s  Y3n  r0 s  Sun  r0 s, rs  X 3n  r0 s  Pen  r0 s, rs   ,r0 s (4.7.15) LTn13  r0 s, r0 s   vnr,,snn1Zrs 3 Y3n  s  21n r0 s 1 s Y3n  r0 s  Sun  r0 s, s  X 3n  r0 s  Pen  r0 s, s   ;r0 s Для вычисления оригиналов функций в (4.7.14) и (4.7.15) аналогично (П.5.19) (П.5.30) преобразовываем соответствующие числители и, учитывая (4.5.1), получаем подобные (3.8.37) результаты:Lunk r , , s   L vnk r , , s    unk  rs, r0 s, s 02rn 1 n 2 n 1sDn  r0 s, r0 s  vnk  rs, r0 s, s 02rn 1 n 2 n 1sDn  r0 s, r0 s e r0 s ,(4.7.16)e r0 s  k  1, 2  .Здесь un1  x, y, z   2n  n  1 y 2 n 1 Rn 0  x  Rn 0  z  e  x z 0  1 Rn1  z  M un1  x, y  e y  z ,nM un1  x, y   n  n  1 Rn 0  y  E00 n  y, x   Rn 3  y  E10 n  y , x  , un2  x, y, z  0 Rn 0  x  e  x  2n  n  1 y 2 n 1 Rn 0  z  e z   1 M un 2  y, z  e y  ,M un 2  y, z   Rn 3  y  E11n  z , y   n  n  1 Rn 0  y  E10 n  z , y  ,n vn1  x, y, z   n  n  1 0  2n  2 y 2 n 1 Rn 0  x  Rn 3  z  e  x z   1 Rn 0  z  M vn  y, x  e y  z  ,n vn2  x, y, z   n  n  1 Rn 0  x  e  x 0n  2 y 2 n 1 Rn 3  z  e z   1 M vn  y, z  e y  ,M vn  y, z   n  n  1 Rn 0  y  E00 n  y, z   Rn 3  y  E10 n  y , z  .(4.7.17)208Функции в (4.7.16) являются отношениями экспоненциальных многочленоваргумента s , и их структура аналогична (4.5.3).

Подобный проведенному в § 4.5анализ показывает, что степени числителей и знаменателя этих функций таковы:deg M un1  s, s   3n  2, deg M un 2  s, s   3n  3,deg M vn  s, s   3n  2,deg  unk  rs, r0 s, s   4n  3, deg  vnk  rs, r0 s, s   4n  2,00(4.7.18)deg  s 2 n 1 Dn  r0 s, r0 s    4n  3Числители дробей в (4.7.16) методами компьютерной алгебры подобно (4.5.8)приводятся к явному виду (показатели экспонент, несмотря на одинаковые обозначения, могут отличаться): k unk  rs, r0 s, s    Punk rs, s  e00 k  r ,   s,k vnk  rs, r0 s, s    Pvnk 0 k 2  rs, s  e0 k  2  r ,   s(4.7.19).k 2Следовательно, оригиналы функций в (4.7.16) могут быть найдены точно спомощью соответствующих теорем операционного исчисления. Только необходимо учитывать, что функции unk  r , ,   могут содержать слагаемые 1Cunk r, 2r n 1n    0k  r ,    ,(4.7.20)которые также находятся методами компьютерной алгебры.Для примера полагаем, что механические и электрические характеристики материала пространства такие же, как и в § 4.5 и втором примере § 3.9 (алюминий  2,04; e  0,111  104 ;   5,06;   0,0806 , E  100в м ), радиус полости единичный: r0  1 , а начальные параметры электрического поля следующие:E0  1, 0e  2 r .На границе полости напряженность электрического поля имеет вид:e00   sin  ,что соответствует таким коэффициентам:e001   , e00 n  0  n  2  .209Интегралы в рекуррентных соотношениях находились численно.

Распределение по радиусу нетривиальных коэффициентов рядов (3.1.5) при n  1 для перемещений и компонентов электромагнитного поля представлены на рис. 4.7.1 –4.7.8: сплошные кривые соответствуют   1 , штриховые -   3 , а штрихпунктирные   5 . Расчеты проводились с учетом первых трех членов рядов (3.2.1). Учетпоследующего члена практически не приводит к изменению результатов.Рис. 4.7.1.Рис. 4.7.2.210Рис. 4.7.3.Рис. 4.7.4.211Рис. 4.7.5.Рис.4.7.6.212Рис.4.7.7.Рис. 4.7.8.213§ 4.8. Распространение радиальных нестационарных поверхностных возмущений в пространстве со сферической полостьюАналогично § 3.9 рассматриваем вариант задания на границе только перемещения [59]:u r r  U 0    .(4.8.1)0Рекуррентная система уравнений относительно изображений при m  1 вытекает из (4.7.1) - (4.7.8) и имеет аналогичный (3.9.2) - (3.9.6) вид (здесь также индекс n  0 у искомых функций опущен):um  r ,     Guu 0  r , ,    e 0    Er ,m1  ,    E0    m1  ,    d  ; (4.8.2)r0m   u 0  r , ,    e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,    d  ;(4.8.3)r0Erm  r ,    e0  r  ums  r ,   ;m  r ,    e0  r  ums  r,    e0ms  r,   ;(4.8.4)(4.8.5)ums  r ,    um  r ,    e  um  r ,   , ms  r ,    m  r ,    e  m  r ,   .

Характеристики

Список файлов диссертации