Диссертация (786059), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Объемные функции Грина для упругого шараLLСначала аналогично §§ 3.5 и 4.4 построим функции Guunи Gvun, которые яв-ляются решениями краевых задач (5.1.11) - (5.1.13) [65,69].Общее решение соответствующего задаче (5.1.11) уравнения имеет вид (3.5.1),где частное решение по-прежнему определяется формулой (3.5.4).Поскольку в силу (3.5.4) GuuL 0  r , , s   0 при r  0 , то из (3.5.1) при учете(П.7.17) вытекает, что функция GuuL 0  r , , s  будет ограниченной только, еслиположитьA10  0 .(5.4.1)230Следовательно, искомая функция влияния имеет такой вид:GuuL 0  r , , s   A20  s  X 20  rs   GuuL 0  r , , s  .(5.4.2)Для второй постоянной из граничного условия (5.1.11) получаем следующееуравнение:A20  s  X 20  r1s   GuuL 0  r1 , , s   0 ,(5.4.3)откуда с учетом (3.5.4) находимA20  s   2 sPu 0  r1s, s X 20  r1s .(5.4.4)Подставляя теперь (3.5.4) и (5.4.4) в (5.4.2) приходим к такому результату: P  r s, s GuuL 0  r , , s   2 s  u 0 1X 20  rs   Pu 0  rs, s  H  r     . X 20  r1s (5.4.5)Окончательно с использованием следствия П.6.2 эту функцию записываем так:GuuL 0  r , , s   2 GuuL 0  r , , s  H    r   GuuL 0  , r , s  H  r     ,Luu 0G r , , s  sPu 0  r1s, s  X 20  rs X 20  r1s (5.4.6).С целью проверки перейдем к пределу при r0  0 в аналогичной формуле(3.5.8) для толстостенной сферы.

Учитывая (П.7.21), приходим к равенствуlimr0 0Pu 0  r0 s, rs Pu 0  r0 s, r1s  limr02 s 2 X 20  rs r s X 20  r1s r0 0 2 20X 20  rs X 20  r1s ,(5.4.7)из которого при использовании (3.5.8) вытекает, что этот предельный переходприводит к полученному выше результату (5.4.6).LLДля определения функций Guunи Gvunпри n  1 аналогично §§ 3.5 и 4.4 сво-дим систему уравнений в (5.1.12) к системе первого порядка и используем представление ее общего решения в виде (3.5.9), где частное решение по-прежнемуопределяется формулами (3.5.12).LПоскольку в силу в силу (3.5.12) Gun  r , , s   0 при r  0 , то из (3.5.9) приLLучете (П.7.17) и (П.7.22) вытекает, что функции Guunи Gvunпри n  1 будут огра-ниченными только, если положить231A1un  B1un  0 .(5.4.8)Следовательно, искомые функции влияния имеют такой вид:LL Guun r , , s    X13 r , s  A2un    Guun  r , , s  L H  r    .

(5.4.9)B n 24LGr,,sGr,,s2unvunvunЗдесь использованы обозначения, примененные в формуле (4.4.11).Подставляя теперь (5.4.9) в граничные условия в (5.1.12), с учетом получаемсистему линейных алгебраических уравнений относительно A2un и B2un :13n 24XL A2un   Guun r , , s    0. r1 , s      L  1BGr,,s 2un   vun 1(5.4.10)Учитывая теперь, что согласно (3.5.11) и (3.5.12) имеет место равенствоL Guun 2 sX 2 n  s   2 sX 1n  s    r , , s 1313 L   Xn13  r , s   2  Xn 24  r , s   2 (5.4.11)Gr,,sZsZs2n1n vunсистему уравнений (5.4.10) преобразовываем так:13n 24X A2un   2 sX 1n  s    2 sX 2 n  s  13 r1 , s      2   Xn13  r1 , s   2. B2un    Z1n  s     Z 2 n  s  Ее решение имеет вид: 2 sX 2 n  s    2 sX 1n  s  1 A2un 1313 2. B    Xn 24  r1 , s   Xn13  r1 , s   2ZsZs 2un 2n1n (5.4.12)Отсюда после соответствующих преобразований получаем следующий результат:Yn1  r1 , s   2 sX 2 n  s    2 sX 1n  s   A2un  2 2,B   2un  Tn 24  r1 s, r1s    Z 2 n  s     Z1n  s   T  rs, rs  Tn34  rs, rs  Yn1  r , s    n14. Tn12  rs, rs  Tn 23  rs, rs  (5.4.13)Здесь использованы обозначения (4.4.14).Подставляя теперь (5.4.13) в (5.4.9), для искомых функций получаем следующее равенство:232LL Guun r , , s     Guun  r , , s  L  L H  r   Gr,,sGr,,svunvun  X13n 24 Yn1  r1 , s   2 sX 2 n  s    2 sX 1n  s    r, s   2 2 .ZsZsTrs,rs n 24 12n1n1  (5.4.14)Но, согласно следствию П.6.3, искомые функции имеют такой вид:LLLGuun r , , s   2 Guun r , , s  H    r   Guun , r , s  H  r    ,LLLGvun r , , s   2 Gvun r , , s  H    r   Guvn , r , s  H  r    .(5.4.15)Учитывая теперь в (5.4.14) равенство (5.4.11) и сравнивая результат с последними формулами, приходим к следующим представлениям для составляющихискомых функций:LuunG r , , s  LGuvn r , , s  sX 2 n  rs  K n11  s, r1s   r 12 Z 2 n  rs  K n12  s, r1s Tn 24  r1s, r1s sX 2 n  rs  K n 21  s, r1s   r 12 Z 2 n  rs  K n 22  s, r1s Tn 24  r1s, r1s ,(5.4.16),где (использованы аналогичные § 4.4 обозначения, хотя смысл их другой)K n11  x, y   X 2 n  x  Tn14  y, y   X 4 n  x  Tn12  y, y   Tn 24  y , y  X 1n  x  ,K n12  x, y   X 2 n  x  Tn 34  y, y   X 4 n  x  Tn 23  y, y   Tn 24  y , y  X 3n  x  ,K n 21  x, y   Y2 n  x  Tn14  y, y   Y4 n  x  Tn12  y , y   Tn 24  y , y  Y1n  x  ,K n 22  x, y   Y2 n  x  Tn 34  y, y   Y4 n  x  Tn 23  y, y   Tn 24  y , y  Y3n  x  .Последние равенства так же, как и ранее, можно упростить.

С этой целью, используя (4.4.14), (4.4.19), (П.3.5), (П.4.15), (П.4.28) и (П.4.29), получаем вспомогательные соотношения:233X 2 n  x  Tn14  y, y   Tn 24  y, y  X 1n  x   Y4 n  y  Pun  x, y   y 1 X 4 n  y  Sun  x, y  ,X 4 n  x  Tn 23  y, y   Tn 24  y, y  X 3n  x   n  n  1 1 x 1    X 2 n  y  Sen  y, x   n  n  1 1 y 1Y2 n  y  Pen  x, y   ,Y2 n  x  Tn14  y, y   Tn 24  y, y  Y1n  x  (5.4.17) x 1   Sun  y, x  Y4 n  y   y 1 X 4 n  y  Pen  x, y   ,Y4 n  x  Tn 23  y, y   Tn 24  y, y  Y3n  x     X 2 n  y  Qen  x, y   Y2 n  y  n  n  1 1 y 1Sen  x, y   .Учитывая эти формулы, приходим к следующим равенствам для функцийK nij  x, y  :K n11  x, y   Y4 n  y  Pun  x, y   y 1  y 2 X 4 n  x   X 4 n  y  Sun  x, y   ,K n12  x, y   n  n  1 K n12  x, y  , K n12  x, y   3 y 3 X 2 n  x  1 x 1   X 2 n  y  Sen  y, x   n  n  1 1 y 1Y2 n  y  Pen  x, y   ,K n 21  x, y   y 1Y4 n  x  Sun  y, y  (5.4.18) x 1  y 1 X 4 n  y  Pen  x, y   Y4 n  y  Sun  y , x   ,K n 22  x, y    X 2 n  y  Qen  x, y   n  n  1 1 y 1 2 y 2Y2 n  x   Y2 n  y  Sen  x, y   .LLДля определения функций Guvnи Gvvn n  1аналогично §§ 3.5, 4.4 сводимсистему уравнений в (5.1.13) к системе первого порядка.

Ее общее решение, как иранее, имеет вид (3.5.17), где частное решение задается равенством (3.5.18).При определении постоянных интегрирования выводы (5.4.8) - (5.4.14) фактически повторяются с заменой столбца Dun из (3.5.11) столбцом Dvn из (3.5.19).При этом имеют место равенства вида (5.4.8), (5.4.11), (5.4.13) и (5.4.14):A1vn  B1vn  0 ;(5.4.19)234L Guvn  r , , s   LGr,,svvn n  n  1 Z 2 n  s   n  n  1 Z1n    13 X13r,sXr,s;n13n 243 23 2sYssY4n3n(5.4.20)Yn1  r1 , s   n  n  1 Z 2 n  s    n  n  1 Z1n  s   A2vn  ; (5.4.21)B 3 23 2 2vn  Tn 24  r1s, r1s     sY4 n  s      sY3n    LL Guvn r, , s    Guvn  r , , s  13 L L H  r     X n 24  r, s   Gvvn  r, , s    Gvvn  r, , s   Yn1  r1 , s   n  n  1 Z 2 n  s    n  n  1 Z1n  s    .3 23 2 Tn 24  r1s, r1s     sY4 n  s      sY3n     (5.4.22)Но, согласно следствию П.6.3, искомые функции имеют такой вид:LLLGuvn r , , s   2 n  n  1 Guvn r , , s  H    r   Gvun , r , s  H  r    ,LLG  r , , s    Gvvn r , , s  H    r   Gvvn , r , s  H  r    .Lvvn2(5.4.23)Учитывая теперь в (5.4.22) равенство (5.4.20) и сравнивая результат с последними формулами, приходим к следующим представлениям для составляющихискомых функций:LvunG3 sY4 n  rs  K n12  s, r1s   r 1Z 2 n  rs  K n11  s, r1s , r, , s  Tn 24  r1s, r1s LGvvn r, , s  (5.4.24)3 sY4 n  rs  K n 22  s, r1s   n  n  1 r 1Z 2 n  rs  K n 21  s, r1s .Tn 24  r1s, r1s Для проверки рассмотрим частный случай при n  0 .

Используя формулы(3.5.26), (4.4.14) и (5.4.18) получаем следующие равенства:T024  x, y   X 20  x  Y40  y  , K011  x, y   Y40  y  Pu 0  x, y  , K 012  x, y   0 . (5.4.25)Подставляя их в (5.4.16), убеждаемся в том, что эта формула с учетом (П.4.14)переходит в (5.4.6).С целью дополнительной проверки формул (5.4.16) и (5.4.24) переходим кпределу при r0  0 в аналогичных формулах (3.5.16) и (3.5.23) для толстостенной235сферы.

Характеристики

Список файлов диссертации