Диссертация (786059), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Результаты расчетов приведены на рис. 5.5.1 – 5.5.8.На рис. 5.5.1 представлены зависимости функции Guun  r , ,   от времени при  1.5 , r  1.2 . Сплошная кривая соответствует n  0 , штриховая - n  1 ,242штрихпунктирная - n  2 . Аналогичные графики для функций Guvn  r , ,   ,Gvun  r , ,   и Gvvn  r , ,   представлены на рис.

5.5.2 – 5.5.4. Здесь сплошные кривые соответствуют n  1 , а штриховые - n  2 .GuunРис. 5.5.1GuvnРис. 5.5.2243GvunРис.5.5.3GvvnРис. 5.5.4.244Распределение функции Guun  r , ,   по координате r в момент времени   1 ипри   1.5 представлено на рис.

5.5.5. Здесь, как и ранее, сплошная кривая соответствует n  0 , штриховая - n  1 , штрихпунктирная - n  2 . Аналогичные распределения для функций Guvn  r , ,   , Gvun  r , ,   и Gvvn  r , ,   изображены на рис.5.5.6 – 5.5.8, где сплошные кривые соответствуют n  1 , а штриховые - n  2 .GuunrРис. 5.5.5GuvnrРис. 5.5.6245GvunrРис. 5.5.7GvvnrРис. 5.5.8246§ 5.6.

Нестационарное движение упругого шара под действием объемныхсилАналогично §§ 3.7, 4.6 рассмотрим вспомогательную задачу об осесимметричном движении шара под действием объемных сил с радиальной Fr  r , ,   итангенциальной компонентами F  r , ,   [65].Так же, как и ранее, полагаем, что в начальные условия имеют вид (3.7.1), аграничные условия подобны (3.7.2):u r r  v r r  0 .1(5.6.1)1Тогда с использованием (5.1.9) и (5.1.10) получаем следующие интегральныепредставления для изображений коэффициентов рядов для перемещений:- при n  0r1L0u r , s    GuuL 0  r , , s  FrL0  , s  d  ;(5.6.2)0- при n  1r1uLnr1L r , s    G  r , , s  F  , s  d    Guvn r , , s  FLn  , s  d ,LuunLrn00r1r100(5.6.3)LLvnL  r , s    Gvun r , , s  FrnL  , s  d    Gvvn r , , s  FLn  , s  d .В пространстве оригиналов эти формулы преобразовываются так:- при n  0r1u0  r ,     Guu 0  r , ,    Fr 0  ,   d  ;(5.6.4)0- при n  1r1r100r1r100un  r ,     Guun  r , ,    Frn  ,   d    Guvn  r , ,    Fn  ,   d ,(5.6.5)vn  r ,     Gvun  r , ,    Frn  ,   d    Gvvn  r , ,    Fn  ,   d .Ядра этих представлений определяются формулами (3.6.15), а их предельныезначения – равенствами (5.5.19) – (5.5.21).247В качестве примеров применения интегральных представлений (5.6.4) и (5.6.5)рассмотрим шар с такими же характеристиками, что и в предыдущем параграфе,при трех вариантах задания объемных сил.а).

Сосредоточенная на сфере r  r ( r0  r  r1 ) радиальная сила:Fr  r , ,      r  r  H    , F  r , ,    0 ,что соответствует следующим коэффициентам рядов по полиномам Лежандраи Гегенбауэра: Fr 0  r,      r  r  H   , Frn  r ,    Fn  r ,    0, n  1 . При этомu  r , ,    u0  r ,   , v  r , ,    0 . Графики функции u0  r ,   при r  1.5 представлены на рис. 5.6.1 и 5.6.2. Первый из них иллюстрирует распределение u0  r ,   покоординате r . Сплошная кривая соответствует моменту времени   0.5 , штриховая -   1 , а штрихпунктирная -   1.5 . На рис. 9 изображены зависимости этойже функции от времени в точках с различными значениями координаты r :сплошная кривая соответствует r  0.5 , штриховая -r  1 , штрихпунктирная -r  1.5 .u0rРис.

5.6.1248u0Рис. 5.6.2б) Равномерно распределенная по радиусу радиальная сила: Fr  r , ,    H    ,F  r , ,    0 .Этосоответствуетследующимкоэффициентамрядов:Fr 0  r ,    H    , Frn  r ,   Fn  r ,    0, n  1 . При этом так же, как и в предыдущем варианте, u  r , ,    u0  r ,   , v  r , ,    0 .

Аналогичные предыдущему пунктуграфики функции u0  r ,   представлены на рис. 5.6.3 и 5.6.4.u0rРис. 5.6.3249u0Рис. 5.6.4в) Объемная сила направлена по оси   0 и равна H    . Тогда ненулевые координаты вектора объемной силы в сферической системе координат определяются так: Fr  r , ,    H    cos  , F  r , ,     H    sin  , что соответствует следующимкоэффициентамрядов:Fr1  r ,    H    ,F1  r ,     H    ,Fr 0  r ,   Frn  r ,    Fn r ,    0, n  2 .Приэтомимеетместопоступательноедвижениешара:u  r , ,   u1  r ,  cos , v  r, ,   v1  r,   sin  . На рис. 5.6.5 представлено распределение функции u1  r ,   по координате r .

Сплошная кривая соответствует моменту времени   0.5 , штриховая -   1 , а штрихпунктирная -   1.5 . Зависимость u1  r ,   от времени показана на рис. 5.6.6. Здесь сплошная кривая соответствует r  0.5 , штриховая - r  1 , а штрихпунктирная - r  1.5 . Аналогичные графики для функции v1  r ,   представлены на рис. 5.6.7 и 5.6.8.250u1rРис.

5.6.5u1Рис. 5.6.6251rv1Рис. 5.6.7v1Рис. 5.6.8252§ 5.7. Распространение осесимметричных нестационарных поверхностныхвозмущений в электромагнитоупругом шареПостановка этой задачи приведена в § 5.1. Ее решение представлено в видерядов (3.1.6) по углу  и (3.2.1) по малому параметру  . Как показано в §§ 5.2 –5.6, коэффициенты этих рядов при каждом n определяются независимыми рекуррентными системами интегральных соотношений. Аналогично § 3.8 доказывается,что для нулевых коэффициентов рядов (3.1.6) ( n  0 ) при условиях (5.1.8) выполняются равенства (3.8.2).При n  1 подобно §§ 3.8 и 4.7 получаем следующую рекуррентную( m  1)систему уравнений (отличие от предыдущих соотношений в пределах интегрирования и количестве заданных на границе функций):r1r1unm  r ,     Guun  r , ,    fun, m 1  ,   d    Guvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ,00r1r100r1r1(5.7.1)vnm  r ,     Gvun  r , ,    fun , m 1  ,   d    Gvvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ;unm  r ,      uun  r , ,    fun, m 1  ,   d     uvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ,00r1r100(5.7.2)vnm  r ,      vun  r , ,    fun, m 1  ,   d     vvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ;r1r100nm  r ,     un  r , ,    fun, m 1  ,   d     vn  r , ,    f vn, m 1  ,   d  , (5.7.3)гдеfun,m 1  ,    e 0    Ern ,m 1  ,    E0    n, m 1  ,   ,f vn,m 1  ,    e 0    En,m 1  ,    E0    H n, m 1  ,   ;r1ccH nm  r ,      e 0    GHun r ,   unm  ,    GHvn r ,   vnm  ,   d 2e(5.7.4)0Ernm  r ,    n  n  1rr1  e 0    GcHun0 r ,   unms  ,    G  r ,   vnms  ,   d ;cHvn(5.7.5)253Enm  r ,    e 0  r  vnms  r ,   r1  e 0     cHun  r ,   unms  ,     cHvnr  r ,   vnms  ,    d ;(5.7.6)0nm  r,    e0  r  unms  r ,    e0nms  r ,   ,(5.7.7)unms  r ,    unm  r ,    e   unm  r ,   ,vnms  r ,    vnm  r ,    e   vnm  r ,   ,(5.7.8) nms  r ,     nm  r ,    e    nm  r ,   .Начальными условиями для нее являются аналогичные (3.8.3) и (4.7.9) равенства:un 0  r ,    0, vn 0  r ,    0 (n  0),cH n 0  r ,    e2GHn1 r   e01n     e01n     ,Ern 0  r ,    n  n  1G  r  e01n    , n 0  r ,    0,rEn 0  r ,     cHn1  r  e01n     n  1 ,cHn1(5.7.9)ccгде функции GHn1  r  и  Hn1  r  определяются формулами (5.2.25) и (5.3.4).При этом по отношению к §§ 3.8 и 4.7 изменяются ядра в соотношениях (5.7.1)- (5.7.6).

А именно, функции Guun  r , ,   , Guvn  r , ,   , Gvun  r , ,   , Gvvn  r , ,  определяются формулами (3.6.15) и указанным вc§ 5.5 алгоритмом, а GHn1 r  иcHn1  r  - равенствами (5.2.25) и (5.3.4). Функции uun  r , ,   , uvn  r, ,   , vun  r , ,   и  vvn  r , ,   задаются равенствами (3.8.45), а изображения их составляющих имеет вид (3.8.46) и являются суммами произведений рациональныхфункций на экспоненты. В соответствии с проведенным в § 5.5 анализом степенейчислителей и знаменателей функции uun  r , ,   и  vvn  r , ,   могут содержатьподобные (3.8.18) и (4.7.10) слагаемые (времена запаздывания указаны в (5.5.8)) 1n 1Auun r, 22 n 1r n  2 n  2    11  r ,    , 1n 4Avvn r,  22 n 1r n  2 n  2    14  r ,   ,(5.7.10)которые должны быть учтены в свертках в (5.7.3) в соответствии со свойствами дельта-функции.254Ядра интегралов в (5.7.3) - (5.7.6) задаются формулами (3.8.15), которые получаются аналогично (3.8.16) и (3.8.17) с помощью интегрирования по частям в(5.3.7) - (5.3.9).

При этом совместно с граничными условиями (5.1.5) учитываютсявытекающие из формул (5.2.22) и (3.4.5), (5.3.4) равенства:clim GHn r,    lim 2GHnc  , r   0, lim cHn  r,    lim c2 Hn  r,    0 . (5.7.11)0000Явный вид этих ядер совпадает с формулами (3.8.16) и (3.8.17). При этом коэффициентыcHun1  r ,   ,cHun 2  r ,   ,cGHvn1  r,  ,cGHvn2  r,  ,cHvn1  r ,  иcHvn 2  r ,   перед функциями Хевисайда в соответствии с (3.8.15), (5.2.22) и (5.3.4)определяются так: r,   n  r1 ,   r n 1nn 1 n  r1 , r ,, r,    2n  1 n r12n 1 2n  1 r12n 1r n  2nr n  n  r1 ,  n  r1 , r   nccGHvn1  r ,    , G  r,  , 2n  1 r12n 1n 1 Hvn 2 2n  1 r n 1r12n 1n  n  1 r n 1 n  r1 ,   cn  n  1  n 1 n  r1 , r c Hvn1  r ,    ,  Hvn 2  r ,    . 2n  1 r12n 1n 2n  1 r12n 1r n  2cHun1cHun 2(5.7.12)Эти равенства также вытекают из формул (3.8.16) и (3.8.17) при r0  0 .Изображения ядер в (5.7.3) определяются равенствами (3.8.23) и (3.8.28), в которых постоянные интегрирования должны быть взяты из (5.4.8), (5.4.13), (5.4.19)и (5.4.21).

Характеристики

Список файлов диссертации