Диссертация (786059), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Строки 1-4 таблицы П.1.2. Сначала рассмотрим следующие соответствия в[123] (для их сравнения обозначения по отношению к первоисточнику изменены;  0, a  0 ):- № 29.1442K    s  a  s  b   21  t 2   2   a  b   2ab 22 eIt12,2122ab s  a  s  b (П.1.1)- № 29.15422K   s 2  a 2     t   22 a 1 2s2  a2 2 1 4I 1 2 a t 2   2 .(П.1.2)Полагая в (П.1.1) b  a , получаем следующий результат:22K   s 2  a 2     t    I22, который не совпадает с1 2 a t  2 1 22a22s a2(П.1.2).С целью проверки, какое из этих соответствий верное, рассмотрим (П.1.2) при  0:K 0  s 2  a 2  1 21 t 2  2 ea21 4a 2t   2  I 1 2 a t 2   2 2t 22 e at 22.(П.1.3)Здесь учтено равенство [1, 111]:I 1 2  z  2chz .z(П.1.4)Проверку соответствия (П.1.3) удобнее провести, определяя изображение правой части:269eat 2  2 e aI1  s    et 2  2 t a 2  2  s 2 2t21 2 I1  s   I1  s  ,2 1 2dt  0e a(П.1.5)t 2  2  stt 2  2dt.Поскольку изображение является аналитической функцией в некоторой правой полуплоскости параметра s , то его достаточно определить на действительнойоси, полагая, что Im s  0, Re s  a .

Учитывая это, выполним в интегралах I1  s соответственно замену переменной интегрирования:y  a 2  2  st , y     s .(П.1.6)Для этих функций имеют место следующие равенства:lim y     , lim y  t    lim  .t Их исследование показывает, что нули отсутствуют и имеются наклонныеасимпоты: y    s  a  t и y sat .Кроме этого, функция y  t  монотонно убывающая, а для производной функции y  t  справедливо равенство:lim y   ,t  0и в точке t0 ss a22она имеет максимум y  t0    s 2  a 2 .Качественно графики этих функций изображены на рис П.1.1.

Штрихпунктирные линии соответствуют асимптотам, сплошная кривая - y  t  , штрихованная - y  t  .270Рис. П.1.1Для обратных функций справедливы равенства:- для y1  y  при y  s    t    и для y1  y  при s  y  y0    t  t0 1ty y  y  y 1 sy  a y 2   2  s 2  a 2 s2  a2;(П.1.7)- для y1  y  при y  y0  t  t0 t  y1  y  Изdy   a(П.1.5)tdtt  sdt , sy  a y 2   2  s 2  a 2 s2  a2находимdtdyt  at  s t  dy adyady 2.y  st a t  s  y  st  sy   s 2  a 2  t at  sa222222.(П.1.8)дифференциалы:271Учитывая в этих равенствах формулы (П.1.7) и (П.1.8), приходим к следующим результатам:- для y1  y  при y  s        и для y1  y  при s  y  y0    t  t0 dt 2 dy2y   s  a2222(П.1.9);- для y1  y  при y  y0  t  t0 dt 22dyy   s  a2222(П.1.10).Тогда результат замены переменной интегрирования для интегралов выглядитследующим образом:I1  s   e at 2  2  stt 2 y0I1  s    s2dt se y dyy   s  a22e y dyy   s  a222222(П.1.11);e y dyy   s  a2 y0222(П.1.12).Отсюда получаем, что сумма этих интегралов имеет вид:e y dyI1  s   I1  s   2 y 2  2  s 2  a2  y0.Используя табличный интеграл [111], получаем равенствоe py dyby b22 K 0  bp  .(П.1.13)Подставляя его в (П.1.4), а затем в (П.1.2), приходим к следующему соответствию:1 ae2t 2  2e a t 2  2 t22 1 2 y0e y dyy 2  2  s 2  a2  K0  s 2  a 2 .Таким образом, делаем вывод, что формула (П.1.1) ошибочна и должна иметьвид:272K    s  a  s  b  2 s  a  s  b  21t22  21 4  a  b 1 2e(П.1.14) a b t 2 ab 2I 1 2 t  2 . 2Как частный случай (П.1.2) получаем следующие результаты:a t 2  222 1 2 at 2K0  s  s  a    t    e ch;2(П.1.15)K1  s  s  a   2a 2eat 2sh t  2  H t    ;a2ss  a(П.1.16)K 2  s  s  a    4 eat 2  t 2   2 ch  a t 2   2  ss  a 2a 22(П.1.17)2 a 2 sh t  2  H  t   .a 2Здесь использовано (П.1.4), а также следующие аналогичные равенства[111,1]:2shz .z(П.1.18)2 shz  chz .z z (П.1.19)I1 2  z  I3 2  z  2.

Строка 5 таблицы П.1.2. Используем свойства преобразования Лапласаe s  s  a e s  a 2 2  a 24e at 2es2 a2 4L1 ,а затем таблицы оригиналов из [108,1]:es 2 a2 4 es2 a2 4 es  es aa 2I1 t  2  H  t       t   .2 t 2  2  2Из этих двух равенств получаем требуемый результат:273eaa 2 e  at 2 I1 t  2  H  t       t     .2222 t   s  s  a 3. Строка 6 таблицы П.1.2. Применяем теорему Эфроса, свойства дельтафункции Дирака и соответствие 5 из этой же таблицы:f  ss  a  eL s  s  a a  2 t2    e at 22  f    e0   s  s  a 2a 2I1 t    2L1d  e at 2 f     t      0 H t      d  ta f       a 2I1 t  2 f t      222 t 2 d   H  t    . 4.

Строка 1 таблицы П.1.3. Используем последовательное обращение преобразований Фурье и Лапласа, а также таблицы в [108,123] и П.1.2: z q 2  2 s  s  a 1 21e at 2 2a 2 K 0 r s  s  a  t   2 r 2  ch t  2r 22q2  2 s  s  a   e.5. Строка 2 таблицы П.1.3. Используем последовательное обращение преобразований Фурье и Лапласа, а также таблицы в [108,123] и П.1.2:e z q 2  2 s  s  a sazs K1 r s  s  a  rss  a2 z   at 2  a 22 2 eshtrHtrar 2 t 2z 2ta 2a 2 2ch t   2 r 2   sh t  2r 2r  t 2   2 r 2  22  at 2  e H  t  r  .6. Строка 3 таблицы П.1.3.

Используем последовательное обращение преобразований Фурье и Лапласа, а также преобразования предыдущего пункта и таблицы в [108,123] и П.1.2:274iqes  a z q 2  2 s  s  a q2  2 s  s  a x s  s  a r  s  a 1K 0  r s  s  a     s  a  x2 x  at 2  a 2K1 r s  s  a   e sh t   2 r 2  H  t  r  .2 ar2§ П.2.

Общие решения уравнений электромагнитного поля и теории упругости в сферической системе координатДля построения общих решений уравнений (3.2.25) - (3.2.27) и (3.2.29) необходимо иметь общие решения соответствующих однородных систем и уравнений.Для соответствующего (3.2.29) однородного уравнения и уравнения (3.2.31)n H nL  se2 e2 H nL  0(П.2.1)это решение имеет вид:H nL  r, s   C1n  s  Z1n  e   C2n  s  Z 2n  e  , e  e rse ,(П.2.2)гдеZ1n  z  1zK n 1 2  z  , Z 2 n  z  1zI n 1 2  z а K  z  и I   z  - модифицированные функции Бесселя [111,1]; Ckn  s  k  1, 2 - произвольные функции.Отметим, что функции Z kn  z  удовлетворяют уравнениюn Z kn  z   Z kn  z (П.2.3)В случае малого параметра e (большой скорости распространения возмущений) можно рассматривать квазистатическое решение.

Ему соответствует вытекающее из (П.2.1) уравнение при e  0 : 2 H nLH nLr 2r n  n  1 H nL  0 .2rr2(П.2.4)Его общее решение уравнения записывается так:H nL  r , s   C1r n1 C2r n .(П.2.5)275Для построения общих решений соответствующих (3.2.25) - (3.2.27) однородных уравнений используем представления (1.5.22) перемещений через их потенциалы  и  , полагая, что они удовлетворяют уравнениям (1.5.36) и (1.5.37) при    0.Указанные потенциалы представляем в виде аналогичных (3.1.6) рядов:n 0n 1   n Pn  cos   ,   sin   nCn321  cos   .(П.2.6)Подставляя их в (1.5.22), приходим к следующим равенствам:un n n(n  1)1 n  n  0  , vn   n   r n   n  1 .rrrr(П.2.7)Кроме того, из однородных аналогов уравнений (1.5.36) и (1.5.37) вытекаютследующие уравнения для коэффициентов рядов (П.2.6):n  nn  n  0  ;2 n   n n  n  1 .(П.2.8)(П.2.9)Начальным условиям (3.1.18) отвечают следующие равенства:n 0  n 0  0  n  0  , n 0  n 0  0  n  1 .(П.2.10)Тогда в пространстве преобразований Лапласа уравнения (П.2.8) и (П.2.9) записываются так:s 2nL  nnL  n  0  ;(П.2.11)s 22nL  n nL  n  1 .(П.2.12)Общие решения этих уравнений с учетом обозначений (П.2.2) имеют вид:nL  r , s   A1n  s  Z1n     A2n  s  Z 2n    ,   rs ;(П.2.13)nL  r , s   B1n  s  Z1n     B2n  s  Z 2n    ,   rs ,(П.2.14)где Akn  s  и Bkn  s   k  1, 2  - произвольные функции.Подставляя теперь (П.2.13) и (П.2.14) в (П.2.7), находим общие решения однородных уравнений, соответствующих (3.2.25) - (3.2.27):- при n  0u0L  A10  s  X10     A20  s  X 20    , Ak 0  s   sAk 0  s   k  1, 2  ; (П.2.15)276- при n  12 X kn  z   unL  2 , (П.2.16) L    Akn  s  U kn      Bkn  s  U k 2,n    , U kn  z   Yzvk1k1kn nгде Akn  s   sAkn  s  , Bkn  s   sBkn  s  иX 1n  z   Z1n  z   1K n1 2  z  2z3 21 1 1nKzzKzn 3 2 n1 2  z 3 2  nK n1 2  z   zK n3 2  z   ,z 3 2 21I n1 2  z  2z3 21 1 1 3 2  n   I n1 2  z   zI n3 2  z    3 2  nI n1 2  z   zI n3 2  z   ,z 2 zn  n  1n  n  1X 3n  z  Z1n  z  , X 4 n  z  Z 2n  z  ;zzX 2 n  z   Z 2 n  z   11Y1n  z    Z1n  z  , Y2 n  z    Z 2 n  z  ,zzY3n  z    z 1  zZ1n  z     z 1Z1n  z   Z1n  z  11  X 1n  z   Z1n  z    3 2  n  1 K n1 2  z   zK n3 2  z   ,zzY4 n  z    z 1  zZ 2 n  z     z 1Z 2 n  z   Z 2 n  z  11  X 2 n  z   Z 2 n  z    3 2  n  1 I n1 2  z   zI n3 2  z   .zz(П.2.17)(П.2.18)Отметим также, что модифицированные функции Бесселя полуцелого индексавыражаются через элементарные функции [1,110,111]:K n 1 2  z  I n 1 2  z  гдеRn 0  z  e  z ,21zn 1 2 1zn 1 2n Rn 0   z  e z  Rn 0  z  e z  ,2(П.2.19)277nRn 0  z    Ank z n  k , Ank k 0 n  k ! .2k  n  k  !k !(П.2.20)Найдем также связь общих решений уравнений (3.1.24) с общими решениямнеоднородных уравнений (1.5.44) и (1.5.45).

Характеристики

Список файлов диссертации