Диссертация (786059), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

С этой целью функции  и  , а также правые части уравнений представляем в виде аналогичных (3.1.6) и (П.2.6)рядовn 0n 0    n  un , vn  Pn  cos  ,   sin  n  un , vn  Cn321  cos  ,n 0n 1e   en Pn  cos   , 2e  sin  enCn321  cos   .(П.2.21)Подставляя их в (1.5.44) - (1.5.46), приходим к следующим равенствам:n  nn  en  n  0 ;(П.2.22)2n   nn  en  n  1 ;(П.2.23)21   r un  n  n  11    rvn n  un , vn   2vn , n  un , vn    un  .

(П.2.24)rrrr  rВ пространстве преобразований Лапласа при нулевых начальных условиях(П.2.10) уравнения (П.2.22) и (П.2.23) записываются так:Ls 2nL  nnL  en n  0 ;(П.2.25)Ls 22nL  nnL  en n  1 .(П.2.26)Общие решения последних уравнений с учетом (П.2.2) имеют следующий вид:nL  D1n  s  Z1n  rs   D2n  s  Z 2n  rs   nL ;(П.2.27)nL  E1n  s  Z1n  rs   E2n  s  Z2n  rs   nL ,(П.2.28)LLгде  n и n - частные решения.Общие решения неоднородных уравнений (3.1.24) согласно (П.2.16) представляем следующим образом:22unL   Akn  s  X kn  rs    Bkn  s  X k 2,n  rs   unL ,k 12k 12v   Akn  s  Ykn  rs    Bkn  s Yk 2,n  rs   v .Lnk 1k 1Ln(П.2.29)278Подставляя эти равенства в (П.2.24), приходим к следующим формулам:n  u , vLnLnA2k 1kn n  X kn  rs  , Ykn  rs     Bkn  n  X k  2, n  rs  , Yk  2, n  rs     n  unL , vnL  ,2k 1n  unL , vnL    Akn n  X kn  rs  , Ykn  rs   2(П.2.30)k 1  Bkn n  X k  2, n  rs  , Yk  2, n  rs    n  unL , vnL  .2k 1Для преобразования этих выражений сначала вычислим входящие в (П.2.17) и(П.2.18) производные.

Для этого, прежде всего, отметим, что из (П.2.3) с учетом(3.1.14) вытекает равенство:n  n  12  z    Z kn  z   bn  z  Z kn  z  , bn  z   1 .Z knzz2(П.2.31)Учитывая это соотношение, получаем следующие формулы  k  1,2  :2X kn  z  ,zn  n  1 1 n  n  1X k  2,n  z  XzZz X kn  z   Ykn  z    (П.2.32)knkn zzz1  n  n  1 X kn  z   X k  2,n  z   ;z  z   Z kn  z   bn  z  Z kn  z  X kn1 1 1 1Ykn  z      2 Z kn  z   X kn  z     Z kn  z   X kn  z   z z z z1  Ykn  z   X kn  z   ,z11Yk 2,n  z    X kn  z   2 Z kn  z   X kn  z  zz211 bn  z  Z kn  z   X kn  z   2 Z kn  z   X kn  z  zzz111 bn  z  Z kn  z   Yk 2,n  z   cn  z  Z kn  z   X kn  z  , cn  z   bn  z   2 .zzz(П.2.33)Следовательно, для функций входящих в (П.2.30) имеют место следующие равенства:279n  X kn  rs  , Ykn  rs    sZ kn  rs  ,n  X kn  rs  , Ykn  rs    0,  n  X k 2,n  rs  ,Yk 2,n  rs    0,(П.2.34)n  X k  2,n  rs  , Yk 2,n  rs    sZ kn  rs  .Подставляя их в (П.2.30), приходим к следующему результату:n  u , vLnn  u , vLn  s A2LnLnk 1knZ kn  rs   n  unL , vnL  ,  s B2k 1knZ kn  rs   n  u , vLnLn.(П.2.35)Сравнивая теперь его с (П.2.27) и (П.2.28), получаем такую связь постоянныхинтегрирования и частных решений:Dkn  s   sAkn  s  , Ekn  s   sBkn ,nL  n unL , vnL  , nL  n unL , vnL  .(П.2.36)§ П.3.

Свойства фундаментальных решений уравнений электромагнитного поля в сферической системе координатСначала найдем вронскиан W  Z1n , Z 2 n  указанной в (П.2.2) системы функций.Используя обозначения (П.2.17) и свойства модифицированных функций Бесселя,получаем следующий результат:W  Z1n , Z 2 n  Z1n  z  Z 2 n  z  Z1n  z Z1n  z  Z 2n  z  X 1n  z Z 2n  z X 2n  z I n 1 2  z 1 K n 1 2  z 1 2 2.z  zK n 3 2  z  zI n 3 2  z  z(П.3.1)Здесь использована формула для вронскиана модифицированных функцийБесселя:W  I   z  , K  z   K  z  I 1  z   K1  z  I   z   z 1 .(П.3.2)Рассмотрим еще один определитель, связанный с этими функциями:Pen  x, y  Z1n  x  Z 2 n  x .Z1n  y  Z 2 n  y Он обладает очевидными свойствами:(П.3.3)280Pen  y, x    Pen  x, y  , Pen  x, x   0 .(П.3.4)Кроме того, имея в виду граничные условия в (3.2.29), с системой функцийY3n  z  и Y3n  z  в (П.2.18) свяжем определительQen  x, y  Y3n  x  Y4 n  x ,Y3n  y  Y4 n  y (П.3.5)который обладает аналогичным (П.3.4) свойством:Qen  y, x   Qen  x, y  .(П.3.6)Далее введем также следующее обозначение для значения оператора в (П.2.18)по первому аргументу от функции Pen  x, y  :Sen  x, y  Y  x  Y4 n  x 1  xPen  x, y     3n.Z1n  y  Z 2 n  y x x(П.3.7)Отметим, что для функций Pen  x, y  , Qen  x, y  и Sen  x, y  справедливо равенство:Sen  x1 , y1  Sen  x2 , y2   Qen  x1 , x2  Pen  y1 , y2   Sen  x2 , y1  Sen  x1 , y2  .(П.3.8)Аналогично доказывается такие равенства:Qen  x1, y1  Sen  x2 , y2   Qen  x1, x2  Sen  y1, y2   Qen  x2 , y1  Sen  x1, y2  ;(П.3.9)Sen  x, y  Z kn  z   Pen  z, y Yk 2,n  x   Sen  x, z  Z kn  y   k  1,2 .(П.3.10)Кроме того, отметим, что из (П.2.18), (П.3.5) и (П.3.7) вытекает следующаясвязь функций Sen  x, y  с Qen  x, y  :Y3n  x  Y4 n  x 1  Qen  x, y  . ySen  x, y  Y3n  y  Y4 n  y y y(П.3.11)Из формул (П.3.7) и (П.3.11) с учетом (П.3.4) получаем такие равенства дляпроизводных:Pen  x, y xSen  x, y y Sen  x, y  P  x, y 11Pen  x, y  , en  Sen  y, x   Pen  x, y  ,xyy1 Qen  x, y   Sen  x, y  .y(П.3.12)281Далее, используя (П.2.19) и (П.2.20), выразим введенные в этом параграфефункции через экспоненциальные многочлены.

Сначала из (П.2.2), (П.2.17) и(П.2.18) получаем соответствующие формулы для Z1n  z  , Z 2 n  x, s  , X1n  x, s  ,X 2n  x, s  , Y3n  x, s  и Y4 n  x, s  :Z1n  z  X 1n  z   Y3n  z  1z n 11z n21z n2 1  z ;Rn 0  z  e  z , Z 2 n  z   n 1n0  2z2(П.3.13) 1  z ;Rn1  z  e  z , X 2 n  z   n 2n1  2z2(П.3.14) 1  z .Rn 3  z  e  z , Y4 n  z   n 2n3  2z2(П.3.15)nn 1nЗдесь nk  z   Rnk   z  e z  Rnk  z  e  z  k  0,1,3 ,Rn 3  z   Rn1  z   Rn 0  z  , Rn1  z   Rn 1,0  z   nRn 0  z  .(П.3.16)Далее, подставляя последние равенства в (П.3.3), (П.3.5) и (П.3.7), приходим кследующим представлениям:Pen  x, y  Z1n  x Z1n  y  Z 2 n  y Sen  x, y   Qen  x, y  Z2n  x Y3n  x Y4 n  x Z1n  y  Z 2 n  y Y3n  x  Y4 n  x Y3n  y  Y4 n  y  1n2 x n1 y n1 1E00 n  x, y  ;n 12 x n2 y n1 1n2 x n 2 y n 2E30 n  x, y  ;E33n  x, y  .(П.3.17)(П.3.18)(П.3.19)ЗдесьEkln  x, y   Rnk  x  Rnl   y  e y x  Rnk   x  Rnl  y  e x y  k , l  0,1,3 (П.3.20)Из формул (П.3.17) - (П.3.19) вытекают следующие аналоги равенств (П.3.8) и(П.3.9) для экспоненциальных многочленов (П.3.20):E30n  x1, y1  E30n  x2 , y2   E33n  x1, x2  E00n  y1, y2   E30n  x2 , y1  E30n  x1, y2  , (П.3.21)E33n  x1, y1  E30n  x2 , y2   E33n  x1, x2  E30n  y1, y2   E33n  x2 , y1  E30n  x1, y2  .

(П.3.22)282Кроме того, из (П.3.20) получаем следующие свойства функций Ekln  x, y  :Ekkn  y, x    Ekkn  x, y  Ekln  x,  y    Ekln   x, y  , Ekln   x,  y    Ekln  x, y  .(П.3.23)§ П.4. Свойства фундаментальных решений уравнений теории упругостив сферической системе координатНайдем вронскиан системы вектор-функций U1n    , U 2n    , U3n    , U 4n   в (П.2.16) при n  1 : X 1n    X 2 n   X 3n   X 4n    sXsXsXsX1n2n3n4nWU  Xn , Xn  r , s    Y1n   Y2 n   Y3n   Y4 n    sYsYsYsY2n3n4n 1n(П.4.1)Сначала вычислим входящие в (П.4.1) производные. Для этого, прежде всего,отметим, что из (П.2.3) с учетом (3.1.14) вытекает равенство:n  n  12  z    Z kn  z   bn  z  Z kn  z  , bn  z   1 .Z knzz2(П.4.2)Учитывая это соотношение, из (П.2.17) и (П.2.18) получаем следующие формулы для производных  k  1,2  :2X kn  z  ,zn  n  1 1 n  n  1X k  2,n  z  XzZz X kn  z   Ykn  z    (П.4.3)kn kn zzz1  n  n  1 X kn  z   X k  2,n  z   ;z  z   Z kn  z   bn  z  Z kn  z  X kn2831 1 1 1Ykn  z      2 Z kn  z   X kn  z     Z kn  z   X kn  z   z z z z1  Ykn  z   X kn  z   ,z11  z   2 Z kn  z   X kn  z  Yk 2,n  z    X kn(П.4.4)zz211 bn  z  Z kn  z   X kn  z   2 Z kn  z   X kn  z  zzz111 bn  z  Z kn  z   Yk  2,n  z   cn  z  Z kn  z   X kn  z  , cn  z   bn  z   2 .zzzДля вычисления вронскиана в (П.4.1) используем теорему Лапласа [41,42]:141312WU  M1212 M 3434  M1213M 3424  M1214 M 3423  M1223M 34 M1224 M 34 M1234 M 34.(П.4.5)Здесь M klij - миноры матрицы X n .

Характеристики

Список файлов диссертации