Диссертация (786059), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Асимптотические представления при r  0 .Для функций, входящих в фундаментальную систему решений (П.2.2), из(П.3.13) с учетом (П.2.20) и (П.3.16) получаем следующие соотношения при z  0 :R00  z   1, R01  z   R10  z   1  z , R03  z   z ,R11  z   2 1  z   z 2 , R13  z   1  z  z 2 ,Ann 1  z  kn 0 z 2  , Rn1  z  n  1 Ann 1  z  kn1 z 2  ,Rn 3  z  nAnn 1  z  kn 3 z 2  , Аnn   2n  1!!,Rn 0  z (П.7.14)n 1n2n2  n  1kn 0 , kn1 ,k  n  2;2n  1 n  1 2n  1 n3 n  2n  1Z1n  z Ann 1   z1n z 2, Z2n  z 2z n 1zn21,  z1n . (П.7.15)2  2n  1 2n  1!! Здесь дополнительно учтено, что при z  0 имеет место соотношение [111]:I n1 2  z z n1 22. 2n  1!! (П.7.16)Далее, используя (П.7.14), (П.2.17), (П.2.18) и (П.3.14), (П.3.15), построимасимптотические представления при z  0 для других функций, входящих вфундаментальные системы решений:Y3n  z  1   x1n z 2n 1,  x1n ,n22 z2  n  1 2n  1X 1n  z   n  1 AnnX 20  z z 2, X 2n  z 3 nz n 12 n  1 . 2n  1!!  1   y 3n zn2,  y 3n , Y4 n  z n22z2n  2n  12nAnn n  1 z n 1 2n  1!!(П.7.17)2(П.7.18)Учитывая их, из (П.3.5) и (П.3.7) с использованием (П.7.3) и (П.3.6) получаемследующие представления:Qen  x, y Qen  x, y  1   y 3n xnAnnY4 n  y  , x  0,2xn22 1   y 3n ynAnnY4 n  x  , y  0;2y n22(П.7.19)305Sen  x, y Sen  x, y 2Y3n  x  Z 2 n  y Z1n  y  Y4 n  x  1   y 3n xZ 2 n  y  , x  0,2x n2nAnn 1   z1n y 2Y4 n  x  , y  0.2y n 1Ann(П.7.20)Далее использованием (П.7.17) построим асимптотические представления дляфункции Pun  x, y  в (П.4.13):Pun  x, y Pun  x, y X 1n  x  X 2 n  y   n  1 Ann 1   x1n x 2X 2 n  y  , x  0,2x n2 n  1 Ann 1   x1n y 2X 2 n  x  , y  0.2y n2 X 1n  y  X 2 n  x (П.7.21)Теперь в дополнение к (П.7.17) и (П.7.18) с использованием (П.7.15), (П.2.17)и (П.2.18) построим асимптотические соотношения при z  0 для остальныхфункций, входящих в первую и третью строки фундаментальной матрицыXn  r , s  (П.4.1):X 3n  z Y1n  z n  n  1 Аnn Аnn 1   z1n z 2, X 4n  z 2 z n2 1   z1n z, Y2 n  z 2 z n22z n 12n  n  1, 2n  1!! n 1(П.7.22)z2. 2n  1!! Кроме того, в дополнение к формулам (П.7.19), (П.7.20) и (П.7.21) с использованием (П.7.15) и (П.7.17) построим асимптотики функций Pen  x, y  и функцийSun  x, y  :Pen  x, y Pen  x, y Sun  x, y Sun  x, y  1   z1n x 2Z 2 n  y  , x  0,2x n 1Ann AnnX 1n  x  Z 2 n  y  Z1n  y  X 2 n  x  1   z1n y 2Z 2 n  x  , y  0;2y n 1  n  1 Ann Ann 1   x1n x 2Z 2 n  y  , x  0,2 x n2 1   z1n y 2X 2 n  x  , y  0;2y n 1(П.7.23)(П.7.24)306Далее, используя все эти формулы, приходим к следующим представлениямпри x  0 :Pun  x, y  Qen  x, z Sun  y, x  Sen  z , x Sun  x, z  Sen  x, y Pen  x, z  Pen  x, y Pun  x, y  Sen  x, z Pen  y, x  Sun  z , x Sun  x, z  Qen  x, y Pen  x, y  Sen  z , x n  n  1Ann2 1   xyn x 2 2n  2 xAnn2 1   zzn x 2 2n 1 xn  n  12 n 12n  2 x2n 1 x2 n 12 n  2 2n 1 x2n  2 x2 n 1n  n  12 n  2 X 2 n  y  Z 2 n  z  ,X 2 n  z  Z 2 n  y  ,Ann2 1   xyn x 2 2n  2 xAnn2 1   zzn x 2 2n 1 xZ 2 n  z  Z 2 n  y  ,Z 2 n  z  Z 2 n  y  ,Ann2 1   xyn x 2 Ann2 1   zzn x 2 2 n 1X 2 n  y  Y4 n  z  ,X 2 n  y  Y4 n  z  ,Ann2 1   xyn x 2 Ann2 1   zzn x 2 n  n  12 n  2 2 n  2 Y4 n  y  Z 2 n  z  ,(П.7.25)Z 2 n  y  Y4 n  z  .гдеxyn   x1n   y 3n 2 , zzn  1  2   z1n .Подставляя (П.7.17) - (П.7.25) в (П.5.17) и (П.5.18), приходим к таким асимптотическим равенствам при y  0 :n  2 y  Run1  x, y, z  Y2 n  z  X 4 n  x   X 2 n  x  Y4 n  z  ,Ann2  n  2  n  1   z1n2 n 1n  2 y  Run 2  x, y, z Ann2  n  2  n  1   z1n2 n 1X 2 n  z  Y2 n  x   X 2 n  x  Y2 n  z  ,n  2 y  Rvn1  x, y, z  Y2 n  z  Y4 n  x   Y2 n  x  Y4 n  z  .Ann2  n  2  n  1   z1n2 n 1Здесь учтены следующие соотношения:(П.7.26)30722n 1n2 z1n ,  y 3n  z1n ,  x1n   z1n   z1n ,  y 3n   z1n   z1n ,n 1nn 1n(П.7.27)n  2  n  12 z1n2 2 z1n  zzn   2 z1n .n 1nn  n  1 x1n  xynАналогично при дополнительном учете обозначения (4.4.14) строится следующее равенство для определителя в (П.5.5) при x  0 :n  2 x  Rzn  x, y  T24  y, y  .Ann2  n  2  n  1 2 n 1(П.7.28)Рассмотрим также асимптотическое поведение некоторых функций из (П.3.16)и (П.3.20) при n  1.

С этой целью, учитывая (П.7.14), сначала находим следующие представления при z  0 :R10  z  ezz 2 z3 z 2 z31  z  1  z    1   ,2 623R11  z  e  zz 2 z3  2 1  z   z 2  1  z   2 6R13  z  ez 2 z3 z 2 2z31  z  z  1  z  2  6  1  2  3 .z2z3,3(П.7.29)2Используя эти равенства, для функций из (П.3.16) получаем следующий результат:10  z 2z3, 11  z 32z3, 13  z 34z3, z 0.3(П.7.30)А для функций из (П.3.20) аналогичным образом приходим к таким представлениям:308- при x  0E101  x, y E001  x, y E331  x, y x3210  y   10  y  , E111  x, y 32x x31   10  y   10  y  ,2 3x3211  y   11  y  ,3(П.7.31)x2 2 x31y13  y  , 13  23x2 2 x3E301  x, y  1   10  y  10  y  ;23- при y  0E101  x, y y2 y3 1   11  x   11  x  ,2 3E301  x, y y y 1   13  x   13  x  ,2 32(П.7.32)3гдеnk  z   Rnk   z  e z  Rnk  z  e z  k  0,1,3 .(П.7.33)§ П.8.

Общие решения уравнений электромагнитного поля и теории упругости в прямоугольной декартовой системе координатДля построения общих решений уравнений (2.2.17), (2.2.18) и (2.2.20) необходимо иметь общие решения соответствующих однородных систем и уравнений.Общее решение соответствующего (2.2.20) однородного уравнения и уравнения (2.2.22) 2 H LF ke2 H LF  02z(П.8.1)имеет вид:H LF  q, z, s   C1  q, s  eke z  C2  q, s  e ke z ,гдеke  q, s   se2 e2  q 2 , se  s  s    .а Ck  q, s   k  1, 2  - произвольные функции.(П.8.2)309Для построения общих решений соответствующих (2.2.17) и (2.2.18) однородных уравнений используем представления (1.4.21) перемещений через их потенциалы  и  , полагая, что они удовлетворяют уравнениям (1.4.33) и (1.4.34) при    0.При этом начальным условиям (2.1.3) отвечают следующие равенства: 0   0   0   0  0 .(П.8.3)Тогда в пространстве преобразований Лапласа и Фурье с учетом (П.8.3) уравнения (1.4.33) и (1.4.34) записываются аналогично (П.8.1): 2 LF k12  q 2 , s 2  LF  0 ;2z(П.8.4) 2  LF k22  q 2 , s 2   LF  0 ,2z(П.8.5)гдеk1  q, s   s  q , k2  q, s   s2  q , Re   0 .(П.8.6)Общие решения этих уравнений подобно (П.8.2) записываются так:LF  q, z, s    A1  q, s  e k1z  A2  q, s  ek1z ;(П.8.7) LF  q, z, s   B1  q, s  e k2 z  B2  q, s  ek2 z ,(П.8.8)где Ak  q, s  и Bk  q, s   k  1, 2  - произвольные функции.Далее применяем преобразования Лапласа и Фурье к соотношениям (1.4.21):uLF iqLF LFLFLF,w  iq LF .zzLF  q, z , s    A1e  k1z  A2 e k1z ,  LF  q, z , s   B1e  k2 z  B2e k2 zu LF  iq   A1e k1z  A2 e k1z   k2  B1e  k2 z  B2 e k2 z wLF  k1  A1e  k1z  A2 e k1z   iq  B1e  k2 z  B2 e k2 z u LF iqk1  A1e k1z  A2 e z   k22   B1e  k2 z  B2 e k2 z zwLF k12   A1e k1z  A2 e k1z   iqk2  B1e  k2 z  B2 e k2 z z(П.8.9)310Подставляя теперь (П.8.7) и (П.8.8) в (П.8.9), находим общие решения однородных уравнений, соответствующих (2.2.17) и (2.2.18):u LF  iq  A1  q, s  e k1 z  A2  q, s  ek1 z   k2  B1  q, s  e  k2 z  B2  q, s  e k2 z  ,wLF  k1  A1  q, s  e k1 z  A2  q, s  ek1 z   iq  B1  q, s  e  k2 z  B2  q, s  e k2 z  .(П.8.10)Отсюда следует, что фундаментальная матрица систем уравнений (2.2.17) и(2.2.18) имеет следующий вид: iqe k1 ziqk1e k1 zX k1e k1 z2  k1 z k1 eiqek1 zk 2 e  k2 ziqk1ek1 zk22 e  k2 zk1ek1 ziqe k2 zk12 e k1 ziqk2 e  k2 zk 2 e k2 z k22 e k2 z .iqek2 z iqk2 e k2 z (П.8.11)Для нужд § 2.6 найдем ее миноры второго порядка, алгебраические дополнения и определитель.

Сначала вычисляем миноры, соответствующие 1, 2 и 3, 4столбцам:M 1212  2q 2 k1 , M 1213  2iqk1 ,M 1214  M 1223  0,M 1224  2iqk13 , M 1234  2k13 ,M 3434  2q 2 k2 , M 3424  2iqk23 ,(П.8.12)1312M 34 2iqk2 , M 34 2k23 ,14M 3423  M 34 0.Затем находим алгебраические дополнения X 2 j  q, , s  и X 4 j  q, , s  элементов второй и четвертой строки:1413 X 21  iqek1 z M 3434  k1ek1 z M 34 k12 ek1 z M 34 2iqs 2 k2 ek1 z ,1413X 22  iqe k1 z M 3434  k1e  k1 z M 34 k12 e  k1 z M 34 2iqs 2 k2 e  k1 z , X 23  k2 ek2 z M 1234  iqek2 z M 1214  iqk2 ek2 z M 1213  2s 2 k1k2 ek2 z ,(П.8.13)X 24  k2 e k2 z M 1234  iqe k2 z M 1214  iqk2 e k2 z M 1213  2s 2 k1k2 e  k2 z ;1312 X 41  iqek1 z M 3423  iqk1ek1 z M 34 k1ek1 z M 34 22 s 2 k1k2 ek1 z ,1312X 42  iqe k1 z M 3423  iqk1e k1 z M 34 k1e k1 z M 34 22 s 2 k1k2 e  k1 z , X 43  k2 ek2 z M 1223  k22 ek2 z M 1213  iqek2 z M 1212  22iqs 2 k1e k2 z ,X 44  k2 e k2 z M 1223  k22 e  k2 z M 1213  iqe k2 z M 1212  22iqs 2 k1e  k2 z .(П.8.14)311Определитель матрицы X вычисляем двумя способами:X  iqk1e k1 z X 21  iqk1ek1 z X 22  k22 e k2 z X 23  k22 ek2 z X 24  42 s 4 k1k2 ,X  k12 e k1 z X 41  k12 ek1 z X 42  iqk2 e k2 z X 43  iqk2 ek2 z X 44  42 s 4 k1k2 .(П.8.15)Найдем также аналогично § П.2 связь общих решений уравнений (2.1.14) собщими решениям неоднородных уравнений (1.4.39) и (1.4.40).

Общее решениеизображений последних имеет вид:LF  q, z, s   D1  q, s  e zk1 q2 , s 2LF  q, z, s   E1  q, s  e zk2 q2 , s 2 D2  q, s  ezk1 q2 , s 2 E2  q, s  ezk2 q2 , s 2 LF  z, q, s  ; L  z, q, s  ,(П.8.16)(П.8.17)где LF и LF - частные решения.Общее решение системы уравнений (2.1.14) согласно (П.8.10) записываетсятак:uLF zk q q, z, s   iq  A1  q, s  e 1 2,s2 A2  q, s  ezk1 q 2 , s 2  LF u  z , q, s  , (П.8.18) zk  q , s zk  q , s  LF22 w  q, z, s   k1  q , s  A1  q, s  e A2  q, s  e zk  q , s zk  q , s  iq   B1  q, s  e B2  q, s  e wLF  z, q, s  . k2  q 2 , s 2   B1  q, s  e zk2 q 2 , s 2 B2  q, s  e2zk2 q 2 , s 221222222122Подставляя эти равенства в (1.4.41), с учетом свойств преобразований Фурье иЛапласа приходим к следующим формулам: LF  u LF , wLF    s 2  A1e zk1  A2 e zk1    LF  uLF , wLF  ,LF  u LF , wLF   2 s 2  B1e zk2  B2 e zk2   LF  uLF , wLF  ,(П.8.19)где LF  u, w   iqu w LFu,   u, w   iqw .zzСравнивая теперь их с (П.8.16) и (П.8.17), получаем аналогичную (П.2.36)связь постоянных интегрирования и частных решений:312D1  q, s    s 2 A1  q, s  , D2  q, s   s 2 A2  q, s  , LF    uLF , wLF  ,E1  q, s   2 s 2 B1  q, s  , E2  q, s   2 s 2 B2  q, s  , LF    uLF , wLF  .(П.8.20)313Заключение1.

Дана общая математическая постановка задач нестационарной связанной термоэлектромагнитоупругости анизотропных тел. Из нее как частныйслучай получены начально-краевые задачи для изотропных проводников.2. Предложен и реализован основанный на использовании малого параметра метод решения класса нестационарных связанных двумерных задач впрямоугольной декартовой и сферической системе координат.3.

Характеристики

Список файлов диссертации