Диссертация (786059), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

(П.4.38)E11n  x1 , y1  E10n  x2 , y2   E11n  x1 , x2  E10n  y1 , y2   E11n  x2 , y1  E10n  x1 , y2  . (П.4.39)§ П.5. Свойства матрицы граничных условий для уравнений теорииупругости в сферической системе координатРассмотрим частный случай (3.5.14) матрицы (П.4.30), возникающий при построении функция влияния в §§ 3.5 и 3.6 (для отличия от обозначений § П.4 здесьдобавлен аргумент): X 1n  r0 s Y r sZ n  s    1n 0 X 1n  r1s  Y1n  r1s X 2 n  r0 s  X 3n  r0 s  X 4 n  r0 s  Y2 n  r0 s  Y3n  r0 s  Y4 n  r0 s  .X 2 n  r1s  X 3n  r1s  X 4 n  r1s  Y2 n  r1s  Y3n  r1s  Y4 n  r1s  (П.5.1)Обратная для нее матрица имеет следующий вид: N11  s   N 21  s  N 31  s   N 41  s  1   N12  s  N 22  s   N 32  s  N 42  s  1Zn  s  ,Z n  s   N13  s   N 23  s  N 33  s   N 43  s    N14  s  N 24  s   N 34  s  N 44  s  (П.5.2)Здесь Nij  s  - дополнительные миноры матрицы Zn  s  .

Для рассматриваемыхграничных условий необходимы только дополнительные миноры для третьей ичетвертойстрок.Онисогласно( x1  r0 s, x2  r1s, y1  r0 s, y2  r1s ):(П.4.33)и(П.4.34)определяютсятак291N 31  s   X 2 n  r0 s  Qen  r0 s, r1s  n  n  1 1Y2 n  r0 s  Sen  r1s, r0 s   2 2 2 Y2 n  r1s   ,r0 s  r0 sN 32  s   X 1n  r0 s  Qen  r0 s, r1s  n  n  1 1YrsSrs,rsYrs01n 1  , 1n 0 en 1r0 s 2 r02 s 2N 33  s  N 34  s  11XrsPrs,rsY4 n  r0 s  Sun  r0 s , r1s  4n0en01r0 r1s 2r1s1Y4 n  r1s  ,r03 s 311X 3n  r0 s  Pen  r0 s, r1s   Y3n  r0 s  Sun  r0 s , r1s  2r0 r1sr1s1Y3n  r1s  .rs3 30(П.5.3) 1N 41  s   n  n  1 X 2 n  r0 s  Sen  r0 s, r1s   r1sn  n  11Y r s P r0 s, r1s   3 3 3 X 2 n  r1s   ,22 2 n  0  en  r0 r1s r0 s 1N 42  s   n  n  1 X 1n  r0 s  Sen  r0 s, r1s   r1sn  n  11YrsPrs,rsXrs1n 0en011n 1  ,2 r0 r1s 23r03 s 3N 43  s  11X 4 n  r0 s  Sun  r1s, r0 s   Y4 n  r0 s  Pun  r0 s, r1s   3 3 X 4 n  r1s  ,r0 sr0 sN 44  s  11X 3n  r0 s  Sun  r1s, r0 s   Y3n  r0 s  Pun  r0 s, r1s   3 3 X 3n  r1s  .r0 sr0 sОпределитель же Zn  s  находится с помощью формулы (П.4.35):(П.5.4)292Z n  s   Rzn  r0 s, r1s  ,Rzn  x, y    Pun  x, y  Qen  x, y   n  n  1  11  2 Sun  y, x  Sen  y, x   2 Sun  x, y  Sen  x, y  y xn  n  12 3 3 3  2 2 2 Pen  x, y  Pen  x, y   .x yx y(П.5.5)Далее для нужд формул (3.5.13) с учетом (3.5.15) находим явные представления третьего и четвертого столбцов произведения Zn  s  Xn  r , s  Zn1  s ( Xn  r , s  - фундаментальная матрица в (П.4.1)): Run1  rs, r0 s, r1s   N 31  s   sTun1  rs, r0 s, r1s     X  r , s    N 32  s   ,n Rvn1  rs, r0 s, r1s   N 33  s  sTrs,rs,rsNsvn10134 n  n  1 Run 2  rs, r0 s, r1s    N 41  s  sTun 2  rs, r0 s, r1s    X  r , s   N 42  s   .n  N 43  s  Rvn 2  rs, r0 s, r1 s sTrs,rs,rsNsvn20144(П.5.6)Элементы столбцов этих произведений записываются так (приводятся толькоте из них, которые используются далее):Run1  rs, r0 s, r1 s    N 31  s  X 1n  rs   N 32  s  X 2 n  rs   N 33  s  X 3n  rs   N 34  s  X 4 n  rs  ,n  n  1 Run 2  rs, r0 s, r1s   N 41  s  X 1n  rs   N 42  s  X 2 n  rs   N 43  s  X 3n  rs   N 44  s  X 4 n  rs  ,Rvn1  rs, r0 s, r1s    N 31  s  Y1n  rs   N 32  s  Y2 n  rs  (П.5.7) N 33  s  Y3n  rs   N 34  s  Y4 n  rs  ,Rvn 2  rs, r0 s, r1s   N 41  s  Y1n  rs   N 42  s  Y2 n  rs   N 43  s  Y3n  rs   N 44  s  Y4 n  rs  .Для упрощения последних выражений, используя (П.5.3), (П.5.4), а также(П.4.13), (П.4.28) и (П.4.29), находим следующие комбинации:293 N31  s  X 1n  rs   N 32  s  X 2 n  rs   Pun  r0 s, rs  Qen  r0 s, r1s  n  n  1 1S rs, r0 s  Sen  r1s, r0 s   2S rs, r1s   ;2 2  un 2 un r0 s  r0 r1s(П.5.8) N 33  s  X 3n  rs   N 34  s  X 4 n  rs  n  n  1  n  n  11 2 2 Pen  r0 s, r1 s  Pen  r0 s, rs   3 2 Sen  r1s, rs  2rs  r0 r1 sr0 s(П.5.9)1 Sun  r0 s, r1 s  Sen  r0 s, rs   ;r1 N31  s  Y1n  rs   N 32  s Y2 n  rs  1Qen  r0 s, r1s  Sun  r0 s, rs  rsn  n  1 1P r s, rs  Sen  r1s, r0 s   2P r s, rs   ;2 3  en  02 en  1rr0 s  r0 r1s(П.5.10) N33  s  Y3n  rs   N 34  s Y4 n  rs  n  n  1r02 r1s 3Pen  r0 s, r1s  Sen  rs, r0 s  (П.5.11)11Sun  r0 s, r1s  Qen  r0 s, rs   3 3 Qen  r1s, rs  ;r1 sr0 sN 41  s  X 1n  rs   N 42  s  X 2 n  rs   11 n  n  1 Pun  r0 s, rs  Sen  r0 s, r1s   3 3 3 Pun  r1s, rs   r0 s r1 sn  n  1 2 2 3 Pen  r0 s, r1s  Sun  rs, r0 s   ; r0 r1 s(П.5.12)N 43  s  X 3n  rs   N 44  s  X 4 n  rs  n  n  1Sen  r0 s, rs  Pun  r0 s, r1s  rsn  n  1  1Prs,rsSrs,rsPrs,rsen0un10en1 ;r02 s 2 r0 r1 s 2 (П.5.13)294N 41  s  Y1n  rs   N 42  s Y2 n  rs  n  n  1  11 Sun  r0 s, rs  Sen  r0 s, r1s   2 3 2 Sun  r1s, rs  2rs  r1 r0 s(П.5.14)n  n  1Prs,rsPrs,rs;en0en01r02 r1s 2N 43  s  Y3n  rs   N 44  s Y4 n  rs   Qen  r0 s, rs  Pun  r0 s, r1s  n  n  1 1S rs, r0 s  Sun  r1s, r0 s  S rs, r1s   ;2 2  en 2 en r0 s r0 r1s(П.5.15) N 31  s  X 1n  rs   N 32  s  X 2n  rs  2 bn  rs  Sun  r0 s, rs   Pun  rs, r0 s   Qen  r0 s , r1s  rsn  n  1  1 2 bn  rs  Pen  rs, r0 s   Pun  rs, r0 s   S en  r1s , r0 s  r0 s  r0 s rs1 2 2 3 3 bn  rs  Pen  rs, r1s   Pun  rs, r1s    ; r0 s rs(П.5.16)Используя теперь (П.5.8) - (П.5.16), получаем следующие формулы для функций, входящих в (П.5.7):n  n  1  1Sun  x, y  Sen  z , y    y 2111 2 3 Sun  x, z   3 Sen  z , x   Sun  y, z  Sen  y, x   y zxyxzRun1  x, y, z   Pun  y, x  Qen  y, z  n  n  1Py,zPy,x,enenxy 2 z1 11Run 2  x, y, z    Pun  y, x  Sen  y, z   Sen  y, x  Pun  y, z  zxn  n  1  11Pz,xPen  y, z  Sun  x, y  un2 y 3y 2  z11 Pen  x, y  Sun  z , y  Pen  x, z    ;xxyz(П.5.17)29511Rvn1  x, y, z    Qen  y, z  Sun  y, x   Sun  y, z  Qen  y, x  xzn  n  11 3 Qen  z , x  yy 2(П.5.18)111  Pen  y, x  Sen  z , y   Pen  y, z  Sen  x, y   2Pen  z , x   ,z xyzxRvn 2  x, y, z   Run1  z , y, x  .Функции в (П.5.5), (П.5.17) - (П.5.27) с помощью формул (П.3.17) - (П.3.19) и(П.4.36), (П.4.37) могут быть выражены через экспоненциальные многочлены(П.3.20):Zn  s   Rzn  r0 s, r1s  14 2 n  2  2 n  2  2 n  2  4 n  2 01rrsLzn  r0 s, r1s  ,(П.5.19)гдеLzn  x, y    E11n  x, y  E33n  x, y   n  n  1  8 2 n1x 2 n1 y 2 n1  E10 n  y, x  E30 n  y, x   E10 n  x, y  E30 n  x, y   n  n  1 E00 n  x, y  E00 n  x, y   ;Run1  x, y, z  Run 2  x, y, z  12 n  2 44 2 n  2xn2y12 n  2  n  2xn2 yz2 n  2  n  2zLun1  x, y, z  ,Lun 2  x, y, z  ,(П.5.20)гдеLun1  x, y, z   E11n  y, x  E33n  y, z   n  n  1 E10 n  x, y  E30 n  z , y   E10 n  y, z  E30 n  y, x   2  1 y 2 n 1 2 n 1 E10 n  x, z   E30 n  z , x   nn  n  1 E00 n  y, z  E00 n  y, x  ,Lun 2  x, y, z   E11n  x, y  E30 n  y , z   E30 n  y , x  E11n  y , z  2  1 2 n 1 y 2 n 1 E11n  z , x   n  n  1  2  1 y 2 n 1 E00 n  x, z   E00 n  y, z  E10 n  x, y   E00 n  x, y  E10 n  z , y   ;nRvn1  x, y, z  n12 n  2 4xn2y2 n  2  n  2zLvn1  x, y, z  ,(П.5.21)296гдеLvn1  x, y, z   E33n  y, z  E10 n  y, x   E10 n  y, z  E33n  y, x  2  1 y 2 n 1 E33n  z, x   n  n  1 2  1 2 n 1 y 2 n 1 E00 n  z , x   E00 n  y, x  E30 n  z, y   E00 n  y, z  E30 n  x, y   ;nnгдеM un1  x, y, z     x 2  n  n  1  E10 n  y, x  E33n  y, z   n  n  1  x 2  n  n  1  E00 n  x, y  E30 n  z , y  2  1 2 n 1  x 2  n  n  1  y 2 n 1 E00 n  x, z   2  1 y 2 n 1 E33n  z , x  nn E10 n  y, z  E33n  y, x   n  n  1 E00 n  y, z  E30 n  x, y  ,M un 2  x, y, z    x 2  n  n  1  E10 n  y , x  E30 n  y , z   E11n  y, z  E33n  y, x  2  1 2 n 1  x 2  n  n  1  y 2 n 1 E10 n  z , x  n n  n  1  x 2  n  n  1  E00 n  x, y  E00 n  y, z  E30 n  x, y  E10 n  z , y   2  1 y 2 n 1 E30 n  x, z  .nЭкспоненциальный многочлен в (П.5.19) может быть записан в явном виде:Lzn  x, y   8n  n  1 2 n 1 x 2 n 1 y 2 n 1  Dn   x,  x  Dn  y, y  e  x  y  Dn   x, x  Dn  y,  y  e  x  y  Dn  x,  x  Dn   y, y  e  x  y  Dn  x, x  Dn   y,  y  e  x  y (П.5.22),гдеDn  x, y   Rn1  x  Rn3  y   n  n  1 Rn0  x  Rn0  y  ,     1 .Отметим свойство многочлена Dn  x, y  :Dn  x, y  Dn   x,  y   Dn  x,  y  Dn   x, y   4n  n  1 2n1 x 2n1 y 2n1 .(П.5.23)Здесь использовано второе равенство в (П.3.16), а также доказанное в [110]следующее свойство многочленов Rn 0  z  и Rn1  z  :Rn1  z  Rn0   z   Rn0  z  Rn1   z    1 2 z 2n 1 .n(П.5.24)297§ П.6.

Характеристики

Список файлов диссертации