Диссертация (786059), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Использование соотношений (П.7.26), (П.7.28) и (3.5.12), (3.5.20) показывает, что этот предельный переход приводит к формулам (5.4.16) и (5.4.24) этогораздела.§ 5.5. Оригиналы объемных функций влияния для упругого шараДля вычисления оригиналов функций влияния в (5.4.15) и (5.4.23) аналогично(3.6.3) и (4.5.3) выражаем функции в (4.4.18) и (4.4.28) через экспоненциальныемногочлены Ekln  x, y  (см. (П.3.20)). Для этого сначала, используя (П.2.17),(П.2.18), (П.3.13) - (П.3.19) и (П.4.36), (П.4.37), сделаем это для определителяTn 24  y, y  , задаваемого формулой (4.4.14), а также для функций, входящих в(4.4.21) (использованы аналогичные §§ 4.5, 4.6 обозначения, хотя смысл их другой):Tn 24  y, y  Lzn  y n 22y2 n  2 , Lzn  y    Dn   y,  y  e y  Dn   y, y  e  y (5.5.1) Dn  y,  y  e y  Dn  y, y  e y ;K n11  x, y  K n 21  x, y  Ln11  x, y 2 2n  2 x n  2 y, K n12  x, y  2 n  2 Ln 21  x, y 2 2n  2 x n  2 y2 n  2 , K n 22  x, y  Ln12  x, y 2 2 2 n  2xn2 y2 n  2 (5.5.2)Ln 22  x, y 2 2 2 n  2xn2 y,2 n  2 ,гдеnLn11  x, y   n  n  1   n 0  y  E10 n  x, y   2  1 y 2 n 1 n 0  x     n 3  y  E11n  x, y  ,Ln12  x, y    1 22 n 1 y 2 n 1 n1  x    n1  y  E30 n  y, x  n n  n  1  n 0  y  E00 n  x, y  ,Ln 21  x, y   n  n  1  n 0  y  E00 n  x, y    n 3  y  E10 n  y, x    1 2 y 2 n 1 n 3  x  ,nLn 22  x, y    n1  y  E33n  x, y  n n  n  1  2  1 2 n 1 y 2 n 1 n 0  x    n 0  y  E30 n  x, y   ,236а функция Dn  x, y  и величины  определены равенствами в (3.6.3).Подставляя теперь (5.5.1) и (5.5.2) в (5.4.16) и (5.4.24), с учетом (П.2.18),(П.3.13) - (П.3.15) приходим к подобным (3.6.3) и (4.5.3) равенствам: r , , s  LuunGLuvnGGn 1n 1nFuuns122 n 1 n  2 r n  2 s 2 n  3 Lzn  r1s  r , , s  FuvnsFvun  s  r , , s  n,(5.5.3)122 n 1 n  2 r n  2 s 2 n  3 Lzn  r1s  1,122 n 1 n  2 r n  2 s 2 n  3 Lzn  r1s LGvun r , , s  Lvvn 1Fvvns,122 n 1n  2 r n  2 s 2 n  3 Lzn  r1s ,гдеFuun s   n  n  1  n 0  rs  Ln12  s, r1s   2n 1 n1  rs  Ln11  s, r1s  ,1Fuvn s    n 0  rs  Ln 22  s, r1s   2n 1 n1  rs  Ln 21  s, r1s  ,1Fvun s    n3  rs  Ln12  s, r1s   2 n 1 n0  rs  Ln11  s, r1s  ,1Fvvn s    n3  rs  Ln 22  s, r1s   2n 1n  n  1  n0  rs  Ln 21  s, r1s  .1Последние функции, очевидно, имеют аналогичные (3.6.4) структуры экспоненциальных многочленов: 1Fuun s    Puun rs, s  e 111 r , s1Fuvn  s    Puvn1 3 3 rs, s  e13  r ,   s, Fvun s    Pvun 2   rs, s  e 121 r , s,2, Fvvn  s    Pvvn1 4  rs, s  e14  r ,   s(5.5.4).4Для замыкания алгоритма определения оригиналов этих функций, используя(5.5.1), так же как в (3.6.5), представляем экспоненциальный многочлен в знаменателе так (здесь использованы аналогичные § 3.6 обозначения, хотя смысл ихдругой):3Lzn  r1s    Dn  r1s, r1s  1   Bkn  r1s  e 2 zk s  e r1s , k 1где(5.5.5)237B1n  y   Dn  y,  y Dn   y,  y , B2 n  y   Dn   y, y Dn   y,  y , B3n  y  Dn  y, y Dn   y,  y  z1  r1 ,  z 2  r1 ,  z 3   r1   z1   z 2 .Отметим, что при n  0 с учетом (П.5.24) выражение (5.5.5) подобно (3.6.6)существенно упрощается:Lz 0  r1s    D0  r1s, r1s  1  B10  r1s  e2 z1s  1  B20  r1s  ez 2 s  e r1s .(5.5.6)Далее аналогично (3.6.8) получаем следующий ряд:311l s1l;e      Bknlk  r1s ,Lzn  r1s Dn  r1s, r1s  l 0 lk 133l!   l1 , l2 , l3  ,    lk ,  l ;   ,    z 3  2  zk lk .l1 !l2 !l3 !k 1k 1(5.5.7)Окончательно изображения (5.5.3) принимают следующий вид:LuunGLvunG r , , s    r , , s   LGuvn r , , s   LvvnG r , , s    1n2 n 1 n  2 n  22r 1nr 1n2 1rn2rll 0 2  l 2l vunll 0 3  l3l uvn  1  Ql 0l 4  l  11  r ,   s  12  r ,  s s e  4l vvn  13  r ,  s s e   14  r ,  s s e где l;   Puun   rs, s  3 lQuun  s   2 n  3 Bkn  r1s ,s Dn  r1s, r1s  k 1 l;   Pvun   rs, s  3 l l Qvun  s   2 n  3 Bkn  r1s ,s Dn  r1s, r1s  k 1 l;   Puvn   rs, s  3 l l Quvn  s   2 n  3 Bkn  r1s ,s Dn  r1s, r1s  k 1 l;   Pvvn   rs, s  3 l l Qvvn  s   2 n  3 Bkn  r1s .s Dn  r1s, r1s  k 1 l ,,(5.5.8)  1   Q2 n 1 n  2 n  21  l1luun  1  Q2 n 1 n  2 n  2ll 02 n 1 n  2 n  22  1  Q   s ekkkk,,238Также как в §§ 3.6, 4.6, доказывается, что последние функции являются правильными рациональными дробями.

Действительно, из (3.6.10) следует, чтоdeg n0  z   n, deg n1  z   deg n3  z   n  1 .(5.5.9)Учитывая эти равенства, а также (П.5.22) и (3.6.11), получаем, что экспоненциальные многочлены в (5.5.1) – (5.5.3) имеют следующие степени:deg Lzn  s   2  n  1 ,(5.5.10)deg Ln11  s, s   deg Ln 22  s, s   3  n  1 ,deg Ln12  s, s   deg Ln 21  s, s   3n  2,(5.5.11)deg Fuun s   deg Fvvn   s   4  n  1 , deg Fuvn   s   deg Fvun   s   4n  3.1111Следовательно, степени числителей в (5.5.3), по крайней мере, на единицуменьше степеней знаменателей.

Поэтому оригиналы этих функций могут бытьнайдены точно с помощью соответствующих теорем операционного исчисления.Оригиналы же искомых функций влияния при n  1 вычисляются так же, как и в §3.6, по формулам (3.6.15).Отметим, что функцию влияния Guu 0  r , ,   можно находить, используя первое равенство в (3.6.15) при n  0.Дополнительно выясним, как ведут себя функции влияния в окрестности центра шара и точки   0 . Из формул (5.4.15) и (5.4.23) для их изображений получаем такие асимптотические представления при   0 и r  0 :LGuun r , , s LL2Guun r , , s  , Gvun r , , s LGuvn r , , s LL2 n  n  1 Guvn r , , s  , Gvvn r , , s L2Gvun r , , s  ,L2Gvvn r , , s  .(5.5.12)Аналогичные соотношения для функций в (5.4.16) и (5.4.24) находим с использованием (П.2.17), (П.2.18) и (П.7.15) - (П.7.17):- n0GuuL 0  r , , s - n 1rs 22K 011  s, r1s  ;3Tn 24  r1s, r1s  (5.5.13)239LGuun r , , s LvunGLnr n 1GunL  , s  , Guvn r , , s  r , , s rn 1LunGr n 1GvnL  , s  , , s  , G  r , , s   n  1 rLvvnn 1LvnG , s  ,(5.5.14)гдеLunLvnGG , s   snn22 K n11  s, r1s    n  1  K n12  s, r1s , 2n  1!!Tn 24  r1s, r1s  , s   snn22 nK n 21  s, r1 s    K n 22  s, r1s . 2n  1!!Tn 24  r1s, r1s Следовательно, в центре шара имеют место следующие равенства:GuuL 0  0, , s   0,GuuL 1  0, , s   GvuL 1  0, , s    2GuL1  , s  ,(5.5.15)GuvL 1  0, , s   GvvL 1  0, , s   2 2GvL1  , s  ,LLLLGuun 0, , s   Gvun 0, , s   Guvn 0, , s   Gvvn 0, , s   0  n  2  .Аналогично получаем следующие асимптотические представления при r  0 и  0 :LGuun r , , s LL2Guun , r , s  , Gvun r , , s LGuvn r , , s LL2 n  n  1 Gvun , r , s  , Gvvn r , , s Luu 0G , r , s L2Guvn , r , s  ,L2Gvvn , r , s  ;s 22K 011  rs, r1s  ;3Tn 24  r1s, r1s  LGuun , r , s Lnn 1GunL  r , s  , Guvn , r , s n 1GvnL  r , s  ,LGvun , r , s Ln 1GunL  r , s  , Gvvn , r , s   n  1 n 1GvnL  r , s  , n  1.(5.5.16)(5.5.17)(5.5.18)Отсюда вытекают такие равенства:LLLLGuun r,0, s   0  n  0 , Gvun r,0, s   Guvn r,0, s   Gvvn r,0, s   0  n  1 .

(5.5.19)Из формул (5.5.15) и (5.5.19) приходим к следующим значениям для оригиналов функций влияния при n  1 :Guun  0, ,    Gvun  0, ,    Guvn  0, ,    Gvvn  0, ,    Guun  r ,0,    Gvun  r ,0,    Guvn  r ,0,    Gvvn  r ,0,    0.При n  1 их значения в центре шара отличны от нуля и имеют вид:(5.5.20)240Guu1  0, ,    Gvu1  0, ,    2Gu1  ,   ,(5.5.21)Guv1  0, ,    Gvv1  0, ,    22Gv1  ,   .Этот факт объясняется тем, что шар может двигаться как абсолютно твердоетело.Явный вид функций Gu1  ,   и Gv1  ,   может быть найден аналогично(5.5.8).

Во-первых, из (5.5.14) с использованием (5.5.1) и (5.5.2) получаем подобные (5.5.3) равенства:GuL1  , s  Fu1  s 33 s 2 Lz1  r1s , GvL1  , s  Fv1  s 33 s 2 Lz1  r1s ,(5.5.22)Fu1  s   L111  s, r1s   2 L112  s, r1s  , Fv1  s   L121  s, r1s   L122  s, r1s  .Далее так же, как и в (5.5.4), методами компьютерной алгебры получаем следующие представления:Fu1  s    Pu1 1   s, r1s  e 111 s, Fv1  s    Pv1 2   s, r1s  e 12 s.(5.5.23)2А уже с помощью (5.5.5) приходим к аналогичному (5.5.8) результату:GuL1  , s  1 L1   11    sl 1l LQ,s,Q,s1Qse,u1u1u133 l 01   l11       sl lGvL1  , s   3 QvL1  , s  , QvL1  , s      1  Qv1 1   s e   12  ,3 l 01   l(5.5.24)где l Qu1 l;  Pu1  s, r1s  3 l l;   Pv1  s, r1s  3 l l Bkn  r1s .s  2 Bkn  r1s , Qv1  s   s 2 D  r s, r s  s Dn  r1s, r1s  k 1k 1n11kkДля выяснения поведения функций GuL1  , s  и GvL1  , s  в окрестности точки  0 найдем асимптотическое представление функций Fu1  s  и Fv1  s  при   0.

С этой целью сначала, используя (5.5.2) и (П.7.30) - (П.7.32), построим вспомогательные равенства  x  0  :241L111  x, y 410  y  11  y   213  y  11  y  x3  13  y  11  y   210  y  11  y   8 y  ,3 2 x 2 L112  x, y   11  y  13  y   210  y  10  y   1 2 3 x3  11  y  13  y   210  y  10  y   4 y 3 ,3x2 L121  x, y   210  y  10  y   13  y  11  y   1   2 338 3 3  x3  210  y  10  y   13  y  11  y    y  ,3 3L122  x, y  2 x 2 11  y  13  y   210  y  10  y   1 223 x3 11  y  13  y   210  y  10  y   4 y 3  .3(5.5.25)Отсюда для числителей в (5.5.22) находим следующие асимптотические представления при   0 :Fu1  s   L111  s, r1s   2 L112  s, r1s 2  2 s 2  u1  y  ,1  2 2 2 s  v1  y  ,2 u1  y   11  y  13  y   210  y  10  y  ,Fv1  s   L121  s, r1s   L122  s, r1s (5.5.26) v1  y   210  y  10  y   13  y  11  y  .Учитывая эти равенства, для функций в (5.5.19) и (5.5.18) получаем такие результаты:GuL1  , s  , GvL1  , s   O  1  ,   0 ;Guu1  0,0,   Gvu1  0,0,    Guv1  0,0,    Gvv1  0,0,    0 .(5.5.27)(5.5.28)В качестве примера рассмотрим шара радиуса r1  2 , материал среды, как иранее, алюминий,   2,04 .

Характеристики

Список файлов диссертации