Диссертация (786059), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

ограниченное решение следую-щей краевой задачи:1   rGHn1  0,rrL nGLHn1s  G2e2eLHn11.r  r1(5.1.17)222§ 5.2. Функции Грина для электромагнитного шараСначала аналогично §§ 3.3 и 4.2 построим решение краевой задачи (4.1.24)[71]. Общее частное решения уравнения по-прежнему определяется соотношениями (3.3.1) и (3.3.5).LПоскольку в силу (3.3.5) GHn  r , , s   0 при r  0 , то из (3.3.1) при учетеL(П.7.12) вытекает, что функция GHn r, , s  будет ограниченной только, если по-ложитьC1n  0 .(5.2.1)Следовательно, искомая функция влияния имеет следующий вид:LGHn r, , s   C2n Z2n  e   GHnL   r, , s  .(5.2.2)Для второй постоянной из граничного условия (5.1.15) с учетом (3.3.6) получаем следующее уравнение:Y4  e r1se  C2 n  e se2 Sen  er1se , ese   0 ,(5.2.3)откуда следует, чтоC2 n  e se2Sen  e r1se , ese .Y4  e r1se (5.2.4)Подставляя (3.3.5), (5.2.1) и (5.2.3) в (3.3.1), приходим к такому результату:LGHn r , , s  S   r s ,  s  e se2  Pen  ese , e rse  H  r     en e 1 e e e Z 2 n  e rse   .Y4  e r1se (5.2.5)Окончательно с использованием следствия П.6.1 эту функцию можно записатьв более компактном виде:LGHn r , , s   2 GHnL  r , , s  H    r   GHnL  , r , s  H  r    ,LGHn r , , s   e seSen  e r1se , ese  Z 2 n  e rse .Y4  e r1se (5.2.6)223С целью проверки перейдем к пределу при r0  0 в аналогичной формуле(3.3.10) для толстостенной сферы.

Из соотношений (П.7.14) - (П.7.17) получаемравенствоSen  e r0 se , e rse Y   r s  Z   rs Z   rs  lim 3n e 0 e 2 n e e   2 n e e .r0 0 Q   r s ,  r s r1  Y   r s  Y   r s Y4 n  er1se ene 0 ee 1 e3ne 0 e4ne 1 elim(5.2.7)Отсюда вытекает, что этот переход приводит к полученному выше результату(5.2.6).Соответствующую поверхностную функцию Грина как решение задачи(5.1.17) с учетом (3.3.1), (П.7.12) и условия ограниченности аналогично (3.3.11) и(4.2.8) записываем так:LGHn1  r , , s   C2 n1Z 2 n  e rse  .(5.2.8)Входящую в это равенство произвольную постоянную находим из граничногоусловия с использованием (3.3.6):C2 n1  1.e seY4  e r1se (5.2.9)Подставляя этот результат в (4.2.8), получаем искомую функцию:LGHn1  r , , s   Z 2 n  e rse .e seY4  e r1se (5.2.10)Отметим, что предельный переход при r0  0 в формуле (3.3.14) с учетом соотношения (5.2.7) приводит к этому же результату.По отношению к (3.3.36) и (3.3.39) существенно упрощаются выражения изобLражений функций GHn r, , s  в (5.2.6) и GHnL 1 в (5.2.10) через элементарные функ-ции.

Для построения соответствующих разложений, используя (П.3.13), (П.3.15) и(П.3.18), выражаем эти функции через элементарные:LHnG r , , s E30 n  e r1se , ese 2e2 n1se2 n1r n1n1 1nRn 0  e rse  eerse  Rn 0  e rse  eerse;Rn 3  e r1se  eer1se  Rn 3  e r1se  e er1se(5.2.11)224LHn1G rs rsr1n2 Rn 0  e rse  e e e  Rn 0  e rse  e e e. r , , s    n1r Rn3  e r1se  eer1se  Rn3  e r1se  eer1se(5.2.12)Далее аналогично (3.3.17) - (3.3.24) раскладываем их в ряды по экспонентам:LHnG4 r , , s    GHnlk L  r , , s eelk r , se,(5.2.13)l 0 k 1где l1 LGHnl 2LGHnRn 0  ese  Rn 0  e rse  lBn 3  e r1se  ,2e2 n1r n1n1se2 n1 r , , s  1 r , , s  1n 1Rn 0  ese  Rn 0  e rse  lBn 3  e r1se  ,2e2 n1r n1n1se2 n1n 1 Rn 0  ese  Rn 0  e rse  Bl 1  r s , l 3 LGHn r , , s  n3  e 1 e 2e2 n1r n1n1se2 n1nl 4LGHn r , , s LHn1G 1(5.2.14)Rn 0  ese  Rn 0  e rse  l 1Bn 3  e r1se  ;2e2 n1r n1n1se2 n1n 1r1n2  3 lk L r , s   n1  GHn1  r , s eelk r ,r1 se ,r l 0 k  2(5.2.15)где GHn1  r, s  l2 L l 3 LHn1GRn 0  e rse  lBn3  e r1se  ,Rn3  e r1se R   rs  r , s    n0 e e Bnl 3  er1se .Rn3  e r1se (5.2.16)Здесьel1  r ,    e  2lr1  r    , el 2  r ,    e  2lr1  r    ,el 3  r ,    e  2  l  1 r1  r    , el 4  r ,    e  2  l  1 r1  r    .(5.2.17)Очевидно, формулы (5.3.21) - (5.3.25) есть частный случай равенств (3.3.20) (3.3.24) при r0  0 .Оригиналы функций (5.3.21) и (5.3.23) принципиально могут быть найденыаналитически так же, как указано в § 3.3.

Однако при этом возникают те же проблемы, которые описаны там же.225Поэтому далее вместо оригиналов нестационарных функций Грина будем использовать их приближенные квазистатические аналоги при e  0 . В соответствии с (5.1.15) и (5.1.16), они являются решениями следующих краевых задач:1   rGHn  nG    r    ,r rL 0;LHn(5.2.18)r  r11   rGHn1  0,rrL nGLHn1s  G2e2eLHn11.(5.2.19)r  r1Общее ограниченное решение уравнения в (5.2.18) с использованием (3.3.33)записывается так:LGHn r, , s   C2nr n  GHnL   r, , s  ,(5.2.20)Постоянную интегрирования находим из граничного условия с использованием (3.3.38) и обозначений в (3.3.41):C2 n  n  r1 ,  . n  1 2n  1 r12n1n1(5.2.21)Подставляя теперь ее в (5.2.20), с учетом следствия П.6.1 окончательно получаем следующее равенство:LGHn r , , s   GHnc  r ,    2 GHnc  r ,   H    r   GHnc  , r  H  r    ,n  r1 ,  G  r,   r n.n 1 2 n 1 n  1 2n  1  r1cHn(5.2.22)Квазистатическую поверхностную функцию Грина как ограниченное решениезадачи (5.2.19) с учетом (3.3.33) записываем так:LnGHn1  r , s   C2 n1r .(5.2.23)Входящую в это равенство произвольную постоянную определяем из граничного условия в (5.2.19):C2 n1 1. n  1 r1n1Следовательно, искомая функция записывается так:(5.2.24)226LHn1G r, s   GcHn1rn.r   n  1 r1n1(5.2.25)Достаточно просто проверяется, что формулы (5.2.22) и (5.2.25) являютсячастным случаем равенств (3.3.41) и (3.3.45) при r0  0 .§ 5.3.

Электромагнитное поле в движущемся шареПодобно §§ 3.4 и 4.3 рассмотрим вспомогательную задачу об определении параметров электромагнитного поля в движущемся по заданному закону u  r , ,   иv  r , ,   шаре [71]. При этом полагаем, что начальные условия однородные, т.е.имеет вид (3.4.1).Кроме того, считаем, что все искомые функции ограничены, а на границе полости сферы аналогично (5.1.1) задана касательная составляющая вектора напряженности электрического поля:E r r  e01  ,   .(5.3.1)1Изображение коэффициентов рядов (3.2.1) координат напряженности магнитного поля и значение соответствующего оператора от них аналогично (3.4.3),(4.3.2) и (3.4.4), (4.3.3) записываются так:r1HLn r , s    s  GHnc  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s  d  2e0(5.3.2)cLL e2GHn1  r   s    e01n  s   se 0  r1  vn  r1 , s   ;11   rH n 2 e s   cHn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  r r0Lr(5.3.3) e2  cHn1  r   s    e01L n  s   se 0  r1  vnL  r1 , s   .cЗдесь функции  cHn и  Hn1 определяются равенствами (3.4.5).

Составляющиепервой и вторую функции находим, используя (5.2.22), (5.2.25) и (3.4.8):227c1Hnn  r1 ,   r n 1nn  2 n  r1 , r c,   r,   , r,     2n  1 n 1r12 n 1 2 Hn 2n  1 r12n 1r n 2(5.3.4)r n 1cHn1  r   n 1 .r1Отметим, что эти формулы также следуют из (3.4.6) и (3.4.7) при r0  0 .Теперь, подставляя (5.3.2) и (5.3.3) в формулы (3.2.9), приходим к аналогичным (3.4.9) и (3.4.10) равенствам:n  n  1  s r1 cE  r, s   GHn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  r s   0Lrn LsscGHne 0  r1  vnL  r1 , s    e 0  r  unL ;1  r   e01n  s  s s  (5.3.5)rs 1 cE  r, s   Hn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  s 0Lnss  cHn1  r  e01L n  s  e 0  r1  vnL  r1 , s   e 0  r  vnL  n  1 .s s(5.3.6)Оригиналы формул (5.3.2), (5.3.5) и (5.3.6) находятся так же, как и равенства(3.4.11) - (3.4.13):r1cH n  r ,      GHn r ,   lH un  ,   , vn  ,   d  2e(5.3.7)0c e2 GHn1 r   e01n     e01n     e 0  r1  vn  r1 ,    ;Ern  r ,    n  n  1rr1 G  r,   L lcHnsHun  ,   , vn  ,    d  0cGHn1  r  e01n     e 0  r1  Ls vn  r1 ,   r1 e 0  r  Ls un  r ,    ;En  r ,      cHn  r ,   Ls lH un  ,   , vn  ,    d  0(5.3.8)(5.3.9) cHn1  r  e01n     e 0  r1  Ls vn  r1 ,     e 0  r  Ls vn  r ,     n  1 .Оригиналы коэффициентов разложения поверхностных зарядов и координатывектора тока определяются равенствами (3.4.14) и (3.4.15).Далее аналогично §§ 3.4 и 4.3 рассмотрим три примера закона движения шара.2281.

Шар неподвижен (имеют место равенства (3.4.18)) и на его границе задананапряженность электрического поля вторым равенством в (3.4.26).В этом случае компоненты электромагнитного поля, очевидно, определяютсяформулами (3.4.27), в которых выражения для функций GHc 11 и cH 11 вытекают из(5.2.25) и (5.3.4):rGHc 11  r   , cH 11  r   1 .2(5.3.10)2. Напряженность электрического поля на границе шара отсутствует (имеет место второе равенство в (3.4.29)), а перемещения являются радиальными иопределяются равенствами (3.4.30).Как следует из примера 2 § 3.4, полученные для толстостенной сферы формулы (3.4.34) для компонент электромагнитного поля не зависят от геометрии тела.Поэтому они будут справедливы и в этом случае.3. Напряженность электрического поля на границе шара отсутствует (см.второе равенство в (3.4.29)), плотность зарядов в начальном состоянии имеетвид (3.4.35) и шар движется поступательно с перемещениями (3.4.36).При этом остаются в силе равенства (3.4.37) и (3.4.38), а формулы (3.4.39) спомощью (5.3.7) - (5.3.10) и (3.4.15) модифицируются так:H1  r ,    e2 H    e 0  r1  GHc 11  r   J1  r   ,1 2e  1 H    e 0  r    J1  r   e 0  r1  GHc 11  r    ,r1E1  r ,     e   1 H    e 0  r1   cH 11  r   e 0  r   J 2  r   ,  r  1  r ,    e 0 e  1 H    ,Er1  r ,   (5.3.11)Er 0  r ,    0  r ,    H n  r ,    Ern  r ,    En  r ,    n  r ,    0  n  2  ,гдеr1J1  r    GcH10r1 r ,   e0    d , J 2  r    cH 1  r ,   e0    d  .0(5.3.12)229Ядра последних интегралов в соответствии с (3.4.5), (5.2.22) и (5.3.4) имеютследующий вид:GHc 1  r ,    2 GHc 1  r ,   H    r   GHc 1  , r  H  r     ,(5.3.13)2r13  3G  r,   r;62 r13cH1cH 1  r ,    1cH 1  r ,   H    r    c2 H 1  , r , s  H  r    ,c1H 12r13  3 cr13  r 3 3, 2 H1  r,    3 3  . r,   3r133r1 r(5.3.14)Подставляя (3.4.35), (5.3.13) и (5.3.14) в (5.3.12), вычисляем интегралы J1  r  иJ2 r  :J1  r   2r1  rr r, J 2  r    1.4r12r1r(5.3.15)Естественно, эти равенства являются частным случаем формул (3.4.43) приr0  0 .Окончательные формулы для компонент электромагнитного поля сохраняютвид (3.4.46), где необходимо положить:AH  r  r  2r1rr  r1, AEr  r   , AE  r  .4r12r12r1§ 5.4.

Характеристики

Список файлов диссертации