Диссертация (786059), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

выполняются равенства (3.2.22).Решение же задачи (3.2.3), (3.2.7), (4.1.5) аналогично (3.2.23), (3.2.24) записываем в интегральном виде ( m  1):- при n  0180L0mu r , s    GuuL 0  r , , s  fuL0,m1  , s  d  ;(4.1.18)r0- при n  1uLnm r , s    G  r , , s  fLuunLun , m 1L , s  d    Guvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,r0r0r0r0(4.1.19)LLLvnm r , s    Gvun r , , s  funL,m1  , s  d    Gvvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,LLLLЗдесь так же, как и ранее, Guun, Gvunи Gvun, Gvvn- объемные функции влияния,т.е.

функции Грина краевых задач, соответствующих уравнениям (3.2.3), (3.2.6) играничным условиям (4.1.8), а именно ограниченные решения следующих задач:- при n  0s 2GuuL 0  l110  GuuL 0     r    , GuuL 0r  r0 0;(4.1.20)- при n  1LLs 2Guun l11n  Guun  l12n GvunL     r    ,LLs 2Gvun l21n  Guun  l22n GvunL  ,LGuunr  r0L Gvunr  r0(4.1.21) 0.LLs 2Guvn l11n  Guvn  l12n GvvnL  ,LLs 2Gvvn l21n  Guvn  l22n GvvnL     r    ,LGuvnr  r0L Gvvnr  r0(4.1.22) 0.Также в интегральном виде при n  1 и m  0 записывается решение задачи(3.2.8), (4.1.10):HLnm r , s    s  GHnL  r , , s  lH unmL  , s  , vnmL  , s  d .2e(4.1.23)r0LЗдесь GHn- соответствующая объемная функция Грина, а именно ограничен-ное решение следующей краевой задачи:1811   rGHn    r   ,r rLnG  s  GLHn2e2eLHn 0.(4.1.24)r  r0Решение задачи (3.2.8) при m  0 , (4.1.9) записываем подобно (3.2.30):LLH nL0  r , s   e2  s    GHn0  r , s  e00 n  s  ,(4.1.25)Lгде GHn0 - поверхностная функция Грина, т.е.

ограниченное решение следую-щей краевой задачи:1   rGHn 0  0,rrLL2 2 L n GHn0  se e GHn 0 1.(4.1.26)r  r0Аналогично (4.1.23) и (4.1.25) может быть записано решение задач (3.2.8),(4.1.11) и (4.1.12). Однако, поскольку методы решения в обоих случаях практически идентичны, то ограничимся только первым вариантом.§ 4.2. Функции Грина для электромагнитного пространства со сферической полостьюСначала аналогично § 3.3 построим решение краевой задачи (4.1.24) [233].Общее и частное решения уравнения по-прежнему определяются соотношениями(3.3.1) и (3.3.5).Для удовлетворения условиям ограниченности, подставляя (П.7.2) и (П.7.3) в(3.3.1) с учетом (3.3.5), приходим к следующему результату для функции влиянияпри r   :LGHn r, , s  C2n  e se2Z1n  ese  Z2n  ese  .(4.2.1)Отсюда вследствие неограниченности последнего множителя следует равенствоC2n  e se 2 Z1n  e se  .(4.2.2)Для второй постоянной из граничного условия (4.1.24) с учетом формул (3.3.6)получаем следующее уравнение:C1nY3n  e r0 se   C2nY4n  e r0 se   0 ,(4.2.3)182откуда следует, чтоC1n  e se 2 Z1n  e se Y4 n  e r0 se Y3n  e r0 se .(4.2.4)Подставляя (3.3.5), (4.2.1) и (4.2.3) в (3.3.1), приходим к такому результату:LGHn r , , s   S   r s ,  rs  Z   s  e se 2  en e 0 e e e 1n e e  Pen  e se , e rse  H  r     .Y3  e r0 se (4.2.5)Окончательно с использованием (П.3.10) или следствия П.6.2 эту функцию записываем так:LGHn r , , s   2 GHnL  r , , s  H    r   GHnL  , r , s  H  r    ,LGHn r , , s  e se Sen  e r0 se , e rse  Z1n  e se Y3n  e r0 se (4.2.6).С целью проверки перейдем к пределу при r1   в аналогичной формуле(3.3.10) для толстостенной сферы.

Для этого, используя соотношения (П.7.4) (П.7.6) получаем следующее равенствоlimr1 Sen  e r1se , e se Qen  e r0 se , e r1se  limr1 e r1se ee r1se Z1n  e se e r1se ee r1se Y3n  e r0 se Z1n  e se Y3n  e r0 se .(4.2.7)Отсюда вытекает, что переход к пределу при r1   в формуле (3.3.10) приводит к полученному выше результату (4.2.5).Соответствующую поверхностную функцию Грина как решение задачи(4.1.26) с учетом (3.3.1), (П.7.2) и условия ограниченности аналогично (3.3.11)записываем так:LGHn0  r , , s   C1n 0 Z1n  e rse  .(4.2.8)Входящую в это равенство произвольную постоянную находим из граничногоусловия с использованием (3.3.6):C1n 0  1e seY3n  e r0 se .Подставляя этот результат в (4.2.8), получаем искомую функцию:(4.2.9)183LGHn0  r , , s   Z1n  e rse e seY3n  e r0 se .(4.2.10)Отметим, что предельный переход при r1   в формуле (3.3.14) с учетом соотношения (4.2.7) приводит к этому же результату.По отношению к (3.3.36) и (3.3.39) существенно упрощаются выражения изобLражений функций GHn r, , s  в (4.2.6) и GHnL 0 в (4.2.10) через элементарные функ-ции (используем (П.3.13), (П.3.14), (П.3.18) и (П.3.19)):2LGHn r , , s    GHn   r , , s e0k Le 0 k  r ,   se;(4.2.11)k 1LHn 0Gr0n  2 02 L r , , s   n1 GHn0  r , s  ee 02 r ,r0 se .r(4.2.12)Входящие в эти формулы функции являются частным случаем  l  0  выражений в (3.3.36) – (3.3.41) и имеют следующий конкретный вид:e01  r ,    e    r  , e02  r,    e  r    2r0  ; 01 LGHn r , , s   GHn r , , s  02 L 1n 1Rn 0  e se  Rn 0  e rse 2e2 n 1r n 1n 1 se2 n 1 1 Rn0  e se  Rn 0  e rse n2e2 n 1r n 1n 1 se2 n 1 GHn002 L r, s   Rn 0  e rse Rn3  e r0 se (4.2.13),(4.2.14)Bn 3  e r0 se  ;.(4.2.15)Оригинал последней функции может быть найден непосредственно с использованием формул (3.3.25) - (3.3.27).

При вычислении же оригиналов функций(4.2.14) возникают те же проблемы, которые указаны в § 3.3.Поэтому далее вместо оригиналов нестационарных функций Грина будем использовать их приближенные квазистатические аналоги при e  0 . В соответствии с (4.1.24) и (4.1.26), они являются ограниченными решениями следующихкраевых задач:1841   rGHn   r  ,r rL nGLHn1   rGHn 0  0,rr 0.(4.2.16)r  r0L nGLHn 0 1.(4.2.17)r  r0Общее решение уравнения в (4.2.16) имеет вид (3.3.33). При r   с учетом(3.3.37) получаем следующее соотношение: n1LGHnr . r , , s  C2n n 1 2n1(4.2.18)Следовательно, для ограниченности решения необходимо положитьC2 n  1. 2n  1 n1(4.2.19)Учитывая (3.3.38), из граничного условия в (4.2.16) находим вторую постоянную интегрирования:C1n n 1n 1C2 n r02 n1  r 2 n1 .n 1 0nn  2n  1 (4.2.20)Подставляя теперь (3.3.37), (4.2.19) и (4.2.20) в (3.3.33), с учетом следствияП.6.1 получаем аналогичный (3.3.41) результат:LGHn r , , s   GHnc  r ,    2 GHnc  r ,   H    r   GHnc  , r  H  r    ,n  r0 , r G  r,   .n  2n  1 n1r n1(4.2.21)cHnОчевидно, это равенство получается из (3.3.41) предельным переходом приr1   .Поверхностную функцию Грина как ограниченное решение задачи (4.2.17) сучетом (3.3.42) записываем так:LGHn0  r , s   C1n 0 r n1.(4.2.22)Произвольная постоянная в этом равенстве находится из граничного условия в(4.2.17):185r0n2.C1n 0  n(4.2.23)Таким образом, искомая функция имеет следующий вид:LHn 0G r, s   GcHn 0r0n2 r    n1 .nr(4.2.24)Это равенство также вытекает из (3.3.45) при r1   .При использовании квазистатических функций Грина упрощаются равенства(3.2.28)HLnm r , s    s  GHnc  r ,   lH unmL  , s  , vnmL  , s  d   n  1, m  0  ;2e(4.2.25)r0cLH nL0  r , s   e2  s    GHn0  r  e00 n  s   n  1 .(4.2.26)§ 4.3.

Электромагнитное поле в движущемся пространстве со сферическойполостьюПодобно § 3.4 рассмотрим вспомогательную задачу об определении параметров электромагнитного поля в движущемся по заданному закону u  r , ,   иv  r , ,   пространстве со сферической полостью [233]. При этом полагаем, чтоначальные условия однородные, т.е. имеет вид (3.4.1).Кроме того, считаем, что все искомые функции ограничены, а на границе полости сферы аналогично (4.1.1) задана касательная составляющая вектора напряженности электрического поля:E r r  e00  ,   .(4.3.1)0Изображение коэффициентов рядов (3.2.1) координат напряженности магнитного поля аналогично (3.4.3) определяется так:HLn r , s    s  GHnc  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s  d  2er0cLL e2 GHn0  r   s    e00 n  s   se 0  r0  vn  r0 , s   .Далее подобно (3.4.4) получаем следующее равенство:(4.3.2)186L1   rH n 2 e s   cHn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  r rr0(4.3.3) e2  cHn 0  r   s    e00L n  s   se 0  r0  vnL  r0 , s   .Здесь функции  cHn и cHn 0 определяются равенствами (3.4.5).

Характеристики

Список файлов диссертации