Диссертация (786059), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Его получаем из (3.8.4):r1r1r0r0nm   un  r , ,    fun, m 1  ,   d     vn  r , ,    f vn, m 1  ,   d  , (3.8.20)где158un  r , ,    n  Guun , Gvun  , vn  r , ,    n  Guvn , Gvvn  .При этом соотношение (3.8.8) приобретает следующий вид:nm  r ,    e0  r  unms  r ,    e0nms  r ,   ,(3.8.21)гдеnms  r ,    nm  r ,    e  nm  r ,   .(3.8.22)Таким образом, преобразованная рекуррентная система уравнений включает всебя соотношения (3.8.4), (3.8.9), (3.8.11) – (3.8.14) и (3.8.20) – (3.8.22).Изображения ядер в (3.8.20) можно найти непосредственной подстановкой(3.5.24) и (3.5.25) в последние равенства.

Однако эта процедура достаточно громоздка. Поэтому используем равенства (П.2.35).Сначала построим изображения функции un  r , ,   . Для нее с учетом (3.5.9)получаем следующее равенство:2LunLL r, , s   s Akun Z kn  rs   n Guun H  r    , Gvun H  r     ,(3.8.23)k 1LLгде функции Guun , Gvun и постоянные Akun определяются равенствами (3.5.12) и(3.5.15) соответственно.LLДля построения функции n Guun H  r    , Gvun H  r    сначала с использо-ванием (3.5.12), (П.3.4), (П.3.11), (П.3.12), (П.4.14), (П.4.16), (П.4.17), (П.4.19) и(П.4.20) получаем следующие вспомогательные равенства:21   x Ruun  x, y  m2 bn  x  ySun  y, x  Sen  x, y  ;x2xxRuun  x, x   0 .(3.8.24)(3.8.25)В последних равенствах также учтены, вытекающие из (П.2.18), (П.3.7) и(П.4.15) соотношения:Sen  x, x   Sun  x, x   1.x2(3.8.26)Учитывая теперь (3.8.24) и (3.8.25), приходим к такой формуле:LL 2 2n Guun H  r    , Gvun H  r       s Sun  s, rs  H  r    , (3.8.27)159Изображения функции vn  r , ,   имеют аналогичный (3.8.23) вид:2LLLvn r, , s   s Akvn Z kn  rs   n Guvn H  r    , Gvvn H  r     ,(3.8.28)k 1LLгде функции Guvn , Gvvn и постоянные Akvn определяются равенствами (3.5.20)и (3.5.22) соответственно.LLДля построения функции n Guvn H  r    , Gvvn H  r    аналогично (3.8.24),(3.8.25) получаем вспомогательные равенства21   x Ruvn  x, y   3 yQen  y, x   bn  x  Pen  x, y  ;x2xxRuvn  x, x   0 .(3.8.29)(3.8.30)Учитывая их, приходим к требуемой формуле:LLn Guvn H  r    , Gvvn H  r      n  n  1 sPen  rs, s  H  r    ,(3.8.31)Входящие в (3.8.23) и (3.8.28) постоянные находим из (3.5.15) и (3.5.22):LL Z n  s  Aun1  , s   N 31  s  Guun  r1 , , s   N 41  s  Gvun  r1 , , s  ,LL Z n  s  Aun 2  , s    N 32  s  Guun  r1 , , s   N 42  s  Gvun  r1 , , s  , Z n  s  Avn1  , s   N31  s  G r1 , , s   N 41  s  G  r1 , , s  ,LL Z n  s  Avn 2  , s    N32  s  Guvn  r1 , , s   N 42  s  Gvvn  r1 , , s  .LuvnLvvn(3.8.32)Учитывая теперь (3.8.27), (3.8.31), (3.8.32) и (3.5.12), (3.5.20), (П.5.3), (П.5.4) идополнительно (П.4.13), (П.4.29), приходим к следующим результатам для функLций unи  vnL :Lun r , , s   unL 1  r , , s  H    r   unL 2  r , , s  H  r    ,Lvn r , , s   vnL 1  r , , s  H    r   vnL 2  r , , s  H  r    .Здесь(3.8.33)160LunjL unj r , , s  r , , s  Zn  s ,Lvnj r , , s   n  n  1L vnj r , , s Zn  s  j  1, 2 L un1  r , , s   s Tun (rs, r0 s, r1s ) Ruun  r1s, s   n  n  1 Tvn (rs, r0 s, r1s ) Rvun  r1s, s   ,L vn1  r , , s  (3.8.34) s Tun (rs, r0 s, r1s ) Ruvn  r1s, s   Tvn (rs, r0 s, r1s ) Rvvn  r1 s, s   ,LL2 2 un2  r , , s    un1  r , , s    s Sun  s, rs  Z n  s  ,LL vn2  r , , s    vn1  r , , s   sPen  rs, s  Z n  s  ,гдеTun ( x, y, z )  Sun  y, x  Qen  y, z  n  n  1 1Pen  y, x  Sen  z , y   2 Pen  z , x   ,2y yzTvn ( x, y, z ) n  n  1 Pen  y, z Sun  z , x  1  Sun  y, x Sen  y, z  Px,y,enzy 2 z2 y 3 а функция Zn  s  определяется формулой (П.5.5).Для вычисления оригиналов ядер в (3.8.33) аналогично (П.5.19) - (П.5.30) сучетом (3.6.1) преобразовываем выражения в (3.8.34):Tun ( x, y, z ) un ( x, y, z )2 n  2  n 1 2 n  2 4xyz, Tvn ( x, y, z ) n2vn ( x, y, z )2  n  2  n 1 2  n  2  n  24xyz,nun ( x, y, z )  n  n  1  1 22 n 1 y 2 n 1 E00 n  z, x   E00 n  y, x  E30 n  z , y    E10 n  y, x  E33n  y, z  ,(3.8.35)vn ( x, y, z )  E10 n  y, x  E30 n  z, y   n  n  1 E00 n  y, z  E00 n  x, y   2  1 2 n 1 y 2 n 1 E10 n  z, x  ;nLunj r , , s   L vnj r , , s   где 1n unj  s 84 n5 r n1r0 2 n  2  2 n  2  n1 1nr vnj  s 84 n5 r n1r0 2 n  2  2 n  2  n1r,(3.8.36),161 un1  s   un (rs, r0 s, r1s ) Luun  r1s, s   n  n  1 vn (rs, r0 s, r1s ) Lvun  r1s, s  , vn1  s   un (rs, r0 s, r1s ) Lvun  s, r1s   vn (rs, r0 s, r1s ) Lvvn  r1s, s  , un 2  s    un1  s   E10 n  s, rs  Lzn  r0 s, r1s  , vn 2  s    vn1  s   E00 n  rs, s  Lzn  r0 s, r1s  .Подставляя теперь (3.8.36) и (П.5.19) в (3.8.33), окончательно получаем такиепредставления: 1 r , , s   Lunjn unj  s 22 n 1r n 1n s 2 n 1 Lzn  r0 s, r1s ,(3.8.37) 1 n  n  1  vnj  s .22 n 1r n 1n s 2 n 1 Lzn  r0 s, r1s nL vnj r , , s   Структура этих функций аналогична (3.6.3).

Их числители методами компьютерной алгебры подобно (3.6.4) приводятся к явному виду (показатели экспонент,несмотря на одинаковые обозначения, могут отличаться):  unj  s    Punj j  rs, s  e j  r ,   sj ,  vnj  s    Pvn1 j2  rs, s  e j  2  r ,   s.

(3.8.38) j 2Поэтому функции в (3.8.37) аналогично (3.6.9) можно представить так:Lunj r , , s  L vnj r , , s   1n 122 n1r n1n 1n 1  1  Qll 0n  n  122 n1r n1n j  l jlunjl 0 j  2  l,(3.8.39)  1   Ql  k  r ,  s s e  j  2lvnj   j  2  r ,  s s e ,где4 l;   Punj  rs, s Qunj  s   2 n 1Bknl  r0 s, r1s ,s Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  k 14 l;   Pvnj  rs, s  l Qvnj  s   2 n 1Bknl  r0 s, r1s .s Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  k 1 l kkСтепени знаменателей в последних дробях согласно (3.6.13) равны 6n  5 . Дляопределения степеней числителей сначала, используя (3.6.11), выясним этот вопрос для многочленов в (3.8.35):deg un  s, s, s   4n  3, deg vn  s, s, s   2  2n  1 .(3.8.40)162Теперь, учитывая эти равенства, а также дополнительно (3.6.12), получаемследующие результаты:deg  un1  s   deg  un 2  s   6n  5,deg  vn1  s   deg  vn 2  s   2  3n  2  .(3.8.41) l Следовательно, рациональные функции Qvnj s  являются правильными дро l бями, а у функций Qvnj s  степени числителей и знаменателей совпадают.

По-этому ядра unj  r , ,   могут содержать слагаемые 1n 1  l Cunj j r, 2 n 1 n 1 n2r       j  r ,    ,(3.8.42)которые в соответствии со свойствами дельта-функции учитываются в сверт  j l ках в (3.8.11). При этом коэффициенты Cunj r,   находятся методами компью-терной алгебры.Для того чтобы избежать численного дифференцирования в формулах (3.8.12),добавляем вытекающие из (3.8.4) равенства:r1r1r0r0r1r1r0r0unm  r ,      uun  r , ,    fun, m 1  ,   d     uvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ,(3.8.43)vnm  r ,      vun  r , ,    fun, m 1  ,   d     vvn  r , ,    f vn, m 1  ,   d ,где uun  r , ,    Guun  r , ,   ,  uvn  r , ,    Guvn  r , ,   , vun  r , ,    Gvun  r , ,   ,  vvn  r , ,    Gvvn  r , ,   ,(3.8.44)Явный вид этих ядер следует из (3.6.15): uun  r , ,     2  uun  r , ,   H    r    uun  , r ,   H  r     , vun  r , ,    2  vun  r , ,   H    r    uvn  , r ,   H  r     , uvn  r , ,    n  n  1 2  uvn  r , ,   H    r    vun  , r ,   H  r     , vvn  r , ,     2  vvn  r , ,   H    r    vvn  , r ,   H  r     ;где(3.8.45)163 uun  r , ,    Guun  r , ,   ,  uvn  r , ,    Guvn  r , ,   , vun  r , ,    Gvun  r , ,   ,  vvn  r , ,    Gvvn  r , ,   ;(3.8.46)Изображения функций в (3.8.46)LLLL uun r , , s   sGuun r , ,   , uvn r , ,    sG uvn r , ,   ,LLLL vun r , ,    sG vun r , ,   ,  vun r , ,    sG vun r , ,  (3.8.47)  2l  3l  1l имеют структуру (3.6.9) с заменой функций Quun s  , Qvuns и s  , Qvun 4Qvvn l s  2 l  3l   4 l  1l функциями sQuun s  , sQvun s  и sQvvn s  , sQvun s  соответствен-но.

Поэтому согласно проведенному в § 3.6 анализу степеней числителей и знаменателей функции uun  r , ,   и  vvn  r , ,   могут содержать слагаемые 1n 1Auun l  r, 22 n 1r n  2 n  2 4 1 Avvnn l  r, 22 n 1r n  2 n  2      1  r ,    ,(3.8.48)      4  r ,    ,которые должны быть учтены в свертках в (3.8.43) в соответствии со свой  4l  1l ствами дельта-функции.

При этом коэффициенты Auunтак же, как r,   и Avvnи структура (3.6.4), находятся методами компьютерной алгебры.Окончательно получаем, что рекуррентная система ( m  1) включает в себя(3.8.4), (3.8.9), (3.8.12), (3.8.13), (3.8.18), (3.8.20) – (3.8.22) и (3.8.43). Начальнымиусловиями для нее являются соотношения (3.8.3). Входящие в эту систему функcции GHnk r  и cHnk  r  задаются равенствами (3.3.14) и (3.4.7).§ 3.9. Распространение радиальных нестационарных поверхностных возмущений в электромагнитоупругой толстостенной сфереКак показано выше, радиальные колебания возможны только при выполненииграничных условий вида (3.1.5). При этом в силу замечания (3.1.22) на границахмогут быть заданы только перемещения [87,51,52] , [56,78]:u r r  U k   .k(3.9.1)164Рекуррентная система уравнений относительно изображений при m  1 вытекает из (3.8.4), (3.8.9), (3.4.12) и (3.8.20) - (3.8.22) (здесь и далее индекс n  0 уискомых функций опущен):r1um  r ,     Guu 0  r , ,    e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,    d  ;(3.9.2)r0r1m   u 0  r , ,    e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,    d  ;(3.9.3)r0Erm  r ,    e0  r  ums  r ,   ;(3.9.4)m  r ,    e0  r  ums  r,    e0ms  r,   ;(3.9.5)ums  r ,    um  r ,    e  um  r ,   , ms  r ,    m  r ,    e  m  r ,   .

Характеристики

Список файлов диссертации