Диссертация (786059), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Напряженность электрического поля на границах сферы отсутствует (см.(3.4.29)), а плотность зарядов в начальном состоянии имеет вид:e0  r    r 1 , e0  r    r 2 .(3.4.35)Сфера движется поступательно с изменяющимися во времени по закону перемещениями:u   cos , v   sin  ,(3.4.36)что согласно (3.1.6) и (3.4.17) соответствует следующим коэффициентам рядов:u1   , v1   , u0  un  vn  0  n  2  .(3.4.37)При этом для операторов в (3.1.14), (3.1.17) и (3.4.14) имеют место равенства:137l1  u1 , v1   lH  u1 , v1    e 0 , lH  u1 , v1   e 0 H    ,1 e  1 H    , Ls lH  u1 , v1    e 0 e  H    ,Ls lH  u1 , v1     Ls l1  u1 , v1    e 0  e   1 H    ,Ls  v1    Ls  u1  (3.4.38)l0  u0 , v0   Ls  u0   Ls lH  u0 , v0    Ls l1  u0 , v0    0,lH  un , vn   ln  un , vn   Ls un  r ,     Ls vn  r ,     Ls lH  un , vn    Ls l1  un , vn    Ls lH  un , vn    0  n  2  .Тогда из формул (3.4.11) - (3.4.13) и (3.4.15) получаем следующие результаты: 1H1  r ,     H      e 0  rk  GHc 1k  r   J1  r   , k 02e11 2Er1  r ,     e  1 H    e 0  r    J1  r    e 0  rk  GHc 1k  r    ,rk 01  1E1  r ,     e  1 H      e 0  rk   cH 1k  r   e 0  r   J 2  r   , k 01  r ,   e 0  r e(3.4.39) 1 H    ,Er 0  r ,    0  r ,    H n  r ,    Ern  r ,    En  r ,    n  r ,    0  n  2  ,гдеr1J1  r    GcH1r0r1 r ,   e0    d , J 2  r    cH 1  r ,   e0    d  .(3.4.40)r0Входящие в эти формулы суммы находим с помощью равенств (3.4.24) и(3.4.28):1 r G r   k 0e0kcH 1k1 r  r   k 0e0kcH 1k r0  r1  r 3  2r02 r122r 2  r12  r0 r1  r02  r1  r0  r 3  r02 r12r 3  r12  r0 r1  r02 ,(3.4.41).Ядра интегралов в (3.4.40) в соответствии с (3.3.41) и (3.4.5) имеют вид:138GHc 1  r ,    2 GHc 1  r ,   H    r   GHc 1  , r  H  r     , cH 1  r ,    1cH 1  r ,   H    r    c2 H 1  r ,   H  r    ,cH1G r,  2r r,  2rc1H 131 3  2r03  r 3 62 r 2  r13  r03 31 3  r 3  r03 3r 3  r13  r03 (3.4.42),,c2 Hn r,  2r30 3  r13  r 3 3r 3  r13  r03 .Подставляя (3.4.35) и (3.4.42) в (3.4.40), вычисляем интегралы J1  r  и J 2  r  :J1  r   J 2  r   2r02 r12  2r 2  r12  r0 r1  r02   r 3  r1  r0 4r 2  r12  r0 r1  r02 r 2  r12  r0 r1  r02   r 3  r1  r0   r02 r122r 3  r12  r0 r1  r02 ,(3.4.43).Отсюда с учетом (3.4.39) и (3.4.41) приходим к следующим равенствам:H1  r ,    e2 AH  r  H    , Er1  r ,     e  1 AEr  r  H    ,rE1  r ,      e  1 AE  r  H    ,r(3.4.44)гдеAH  r  AE  r   r0  r1  r 3  2  r12  r0 r1  r02  r 2  2r02 r124r 2  r12  r0 r1  r02  r1  r0  r 3  r 2  r12  r0 r1  r02   r02 r122r 2  r12  r0 r1  r02 , AEr  r  2r02 r12   r0  r1  r 32r 2  r12  r0 r1  r02 ,.Подставляя полученные коэффициенты в (3.1.6) и дополнительно учитывая(3.4.16), (3.4.17) и (3.4.39), находим компоненты электромагнитного поля:139e  1H  r , ,     AH  r  H    sin , e  r , ,     H    cos ,r 2Er  r , ,      e   1 AEr  r  H    cos ,rE  r , ,      e   1 AE  r  H    sin ,(3.4.46)rjr    e  1 AEr  r   1 H    cos ,rj    e  1 AE  r   1 H    sin .r2e§ 3.5.

Объемные функции влияния для упругой толстостенной сферыLLСначала построим функции Guunи Gvun, которые являются решениями крае-вых задач (3.2.25) - (3.2.27) [47,77,79,82].Для первой из этих задач в соответствии с (П.2.15) общее решение соответствующего уравнения записывается так:GuuL 0  r , , s   A10  s  X10  rs   A20  s  X 20  rs   GuuL 0  r , , s  .(3.5.1)Здесь GuuL 0  r , , s  - частное решение, которое находим методом вариации постоянных:GuuL 0  r , , s   D10  r , , s  X10  rs   D20  r , , s  X 20  rs  ,(3.5.2)где функции D10  r , , s  и D20  r , , s  удовлетворяют системе уравненийD10D X 20  rs  20  0,rrDD  rs  20    r    .sX 10  rs  10  sX 20rrX 10  rs Отсюда с учетом (П.4.6) получаем D10  r , , s  и D20  r , , s  :D10 2 sX 20  s    r    , D10   2 sX 20  s  H  r    ,rD20 2 sX 10  s    r    , D20   2 sX 10  s  H  r    .r(3.5.3)140Следовательно, равенство (3.5.2) с учетом (П.4.13) и (П.4.14) приобретает такой вид:GuuL 0  r , , s   2 sPu 0  rs, s  H  r    .(3.5.4)Подставляя теперь (3.5.1) с учетом последнего равенства в граничные условияв (3.2.25), получаем систему уравнений относительно A10  s  и A10  s  :A10  s  X 10  r0 s   A20  s  X 20  r0 s   0,A10  s  X 10  r1s   A20  s  X 20  r1s   2 sPu 0  r1s, s  .(3.5.5)Ее решение записывается так:A10  s   2 sPu 0  r1s, s Pu 0  r0 s, r1s X 20  r0 s  , A20  s   2 sPu 0  r1s, s Pu 0  r0 s, r1s X 10  r0 s  .

(3.5.6)Но, согласно следствию П.6.2, функция влияния GuuL 0  r , , s  имеет следующийвид:GuuL 0  r , , s   2 GuuL 0  r , , s  H    r   GuuL 0  , r , s  H  r    . (3.5.7)При этом из формул (3.5.1) и (3.5.4) с учетом (П.4.13) имеет место равенство:GuuL 0  r , , s  sPu 0  r1s, s  Pu 0  r0 s, rs Pu 0  r0 s, r1s (3.5.8).LLДля определения функций Guunи Gvunпри n  1 сводим систему уравнений в(3.2.26) к системе первого порядка, и в соответствии с (П.2.16) и обозначением(П.4.1) записываем ее общее решение так:LG un r , , s   Xn  r , s  Aun  G unL   r , , s  ,L Guun A1un  L A LLuun GuunGvun2 un LLLG un  L , Aun , ,  vun . Gvun  B1un  uunrr L B2unvun(3.5.9)LЗдесь G un- столбец частных решений, который находим методом вариациипостоянных (штрих обозначает производную по r ):LG un  r , , s   X n  r , s  Dun , X n  r , s  Dun  Fu ,Dun   D1un , D2un , D3un , D4un  , Fu   0,   r    ,0,0  .TT(3.5.10)141Решение системы уравнений с использованием (П.4.9) и (П.4.11) записываетсятак:Dun  WU1  M 21 ,  M 22 , M 23 ,  M 24 Tr  r   ,Dun  Dun  s  H  r    ,(3.5.11)Dun      X 2 n    , X 1n    , 2 Z 2 n    , 2 Z1n     .TСледовательно, с учетом (П.3.7), (П.4.13), (П.4.28) и (П.4.29) частное решениеимеет вид:LLG un  r , , s   G un  r , , s  H  r    ,LG un  r , , s   X n  r , s  Dun  s  LLLL  GuunuunGvun vun  r , , s  ,  r , , s  ,  r , , s  ,  r , , s   ,T(3.5.12)LLGuun  r , , s   Ruun  rs, s  ,  uun  r , , s   sTuun  rs , s  ,LLGvun  r , , s   Rvun  rs, s  ,  vun  r , , s   sTvun  rs , s  ,гдеRuun  x, y   yPun  x, y  Rvun  x, y  n  n  1 xPen  x, y  ,ySun  y, x   2 Sen  x, y  .xТогда из формул (3.5.9) - (3.5.12) получаем следующий результат для искомыхфункций влияния:LG un r , , s   2G unL  r , , s   G unL   r , , s  H  r    ,LG un r , , s   2 Xn  r , s  Aun  , s  (3.5.13)LLLL Guun r , , s  , uun r , , s  , Gvun r , , s  , vun r , , s  .TПри этом столбец произвольных постоянных должен удовлетворять вытекающей из (3.5.9) и граничных условий в (3.2.26) системе уравнений:00,Z n  s  Aun  , s     L Guun  r1 , , s   LGr,,svun1где(3.5.14)142 X 1n  r0 s  X 2 n  r0 s  X 3n  r0 s  X 4 n  r0 s  YrsYrsYrsYrs1n02n03n04n0.Zn  s    X 1n  r1 s  X 2 n  r1s  X 3n  r1s  X 4 n  r1s   Y1n  r1 s  Y2 n  r1s  Y3n  r1s  Y4 n  r1s  Ее решение с использованием (П.5.2) записываем так: N 31  s    N 41  s  N 42  s   L1   N32  s   LAun  , s   Guun  r1 , , s  Gvun  r1 , , s   .

Характеристики

Список файлов диссертации