Диссертация (786059), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

2.9.1w111Рис. 2.9.2EzРис. 2.9.3E112Рис. 2.9.4ezРис. 2.9.5e113Рис. 2.9.6Глава 3114Нестационарные волны в электромагнитоупругой толстостенной сфере§ 3.1. Электромагнитоупругая толстостенная сфера под действием нестационарных поверхностных возмущенийАналогично главе 2 в рамках построенной в главе 1 модели изотропных проводников в сферической системе координат рассмотрим осесимметричное движение электромагнитоупругой толстостенной сферы с внутренним r0 и внешним r1радиусами [74,82,64,89,61,83,84].

Оно описывается замкнутой системой безразмерных уравнений (1.5.32) относительно напряженности H магнитного поля(или (1.5.12) и (1.5.15) относительно координат Er и E вектора напряженностиэлектрического поля) и (1.5.33) относительно перемещений u , v (или (1.5.36) и(1.5.37) относительно потенциалов  и  ).Правые части уравнений (1.5.12) задаются равенствами (1.5.31), деформации,напряжения, координаты jr , j вектора плотности тока - соотношениями (1.5.4),(1.5.26), (1.5.29), а ненулевая координата H вектора напряженности магнитногополя и плотность зарядов e – первым и четвертым равенствами в (1.5.27).Считаем, что начальное электромагнитное поле является стационарным, радиальным и удовлетворяет условиям:E0r  E0  r  , E0  0, H 0  H 0  r  ,(3.1.1)чему в силу (1.5.38) отвечают равенстваE0 21   rH 0  E0  0e , j0 r   js 0 r  E0 , j0  0, e2 js 0 .r rr r(3.1.2)В начальный момент времени среда находится в невозмущенном состоянии,что согласно (1.3.2) и (1.3.3) соответствует равенствамu 0  u 0  v 0  v 0  Er 0 Er 0 E 0 E 0H 0H 0 0.(3.1.3)Полагаем, что на границах сферы заданы нестационарные возмущения вида(1.3.4), (1.3.5).

Из дальнейшего изложения будет ясно, что алгоритмы решенийначально-краевых задач для различных вариантов граничных условий идентичны.115Поэтому далее ограничимся вариантом задания кинематических возмущений инапряженности электрического поля ( k  0,1):u r r  U k  ,  , v r  r  Vk  ,   , Er  rku r r  U k  ,  , v r r  Vk  ,   , Err  rkkk e0 k  ,   ,(3.1.4) er 0k  ,   ,(3.1.5)илиkkРешение сформулированной задачи представляем в виде рядов по полиномамЛежандра Pn  x  и Гегенбауэра Cn321  x  [111,1]: un  v  vn  u     rrnrrr rn   Ern  E  En  3 2 Er Pn  cos   ,   sin  Cn 1  cos   ,   HHn0n1nne  Fern  Fe  Fen  Fer  jjjj r  rn    n (3.1.6)1    n  r ,  Pn  cos   cos  vn  r ,  Cn321  cos   ,rn 0n 11    n  r ,  Pn  cos   cos  vn  r ,  Cn321  cos   .rn 0n 1(3.1.7)Далее аналогично (2.1.9) везде положимH0  0 .(3.1.8)Принципиально можно рассматривать и общий случай, когда H 0 отлично отнуля.

Однако, как следует из (1.5.28), (1.5.29) и т.д., тогда все искомые функциинеобходимо представлять в виде рядов вида (3.1.7), что существенно усложняетзадачу.С учетом этого замечания и (3.1.1) соотношения (1.5.27) – (1.5.29) записываются так:rH n   rEn r Ern ,   rH n r e2 r  jn  En   n  1 ,21   r Ern  n  n  12n  n  1 H n  e r  jrn  Ern  , n  2En ;rrrFern    e0 Ern  n E0  , Fen    e0 En  E0 H n  ;(3.1.9)(3.1.10)116jrn  Ern  e0un  , jn  En  e0vn  ;(3.1.11)В качестве основных неизвестных функций аналогично § 2.1 принимаем перемещения и напряженность магнитного поля. Соответствующие разрешающиеуравнения вытекают (1.5.32) и (1.5.33) при учете (3.1.1):e2  H n  H n   n H n  e2lH  un , vn   n  1 ;un  l11n  un   l12 n  vn   Fern  n  0  ,vn  l21n  un   l22 n  vn   Fen  n  1 ,(3.1.12)(3.1.13)гдеn 1   2   n  n  11    r e 0 v r,lu,vuHe0  ,r 2 r  r r2r  rl11n  u  1    2 u 2r   n  n  1  2  u  ,2 r  r  r   ru 1 1  2  1  2  u  ,2 r rvl12 n  v   n  n  1 l21n  v    3  2  2  ,r 1   v l22 n  v   2 2  r 2   n  n  1 v  .r r  r l21n  u   (3.1.14)Остальные коэффициенты рядов в соответствии с (1.5.4), (1.5.5), (1.5.39),(3.1.9) и (3.1.11) определяются так:un 1  v u  vn   2un  n  n  1 vn  , rn  2  n  n,r r  rr u11   n  1    un  n  n  1 vn  , n  n n  n  1 vn ;r rr(3.1.15)1   rH n  e2e 0 vn  n  1 ,r rn  n  1e2  Ern  Ern  H n  e2e 0un ;r(3.1.16)rrn ne2  En  En   n  n  ln  un , vn  ,где(3.1.17)11721   r e 0u  n  n  1ln  u, v   2e 0 v .rrrОтметим, что при необходимости вместо (3.1.17) может быть использованопоследнее равенство в (3.1.9).Из (3.1.3) вытекают соответствующие начальные условия:un 0 un 0 Enr 0 Enr 0 0  n  0 ,vn 0 vn 0 En 0 En 0 Hn 0 Hn 0(3.1.18) 0  n  1 .Граничные условия (3.1.4) или (3.1.5) при использовании разложений ( k  0,1)U k  U kn Pn  cos   , er 0 k   er 0 kn Pn  cos   ,n 0n 0Vk  sin Vkn Cn 1(3.1.19)32n 1 cos   , e0k  ,    sin  e0knC  cos  n 132n 1и с учетом первого равенства в (3.1.16) переходят в следующие соотношения:vnr  rk Vkn    ,1   rH n  e2 h0 Vkn    , e0 k     n  1 ,r  rkr r r  r(3.1.20)kunr  rk U kn     n  0  , h0  v, e   e 0 v  e  e,илиvnunn  n  1r  rk Vkn    ,r  rk U kn     n  0  , hr 0  u, e   e 0u  e  e.r e2 hr 0 U kn    , er 0 kn    Hnr  rkr  rk n  1 ,(3.1.21)При этом в силу второго равенства в (3.1.16) функции U k 0    и er 0 k 0    должны быть связаны между собой так:er 0k 0  er 0k 0  e0U k 0 .(3.1.22)В пространстве преобразований Лапласа по времени  уравнения (3.1.12) и(3.1.13) с учетом (3.1.14) и начальных условий (3.1.18) записываются так [107]:se2 e2 H nL  n H nL  e2 slH  unL , vnL   n  1 , se  s  s    ;(3.1.23)118s 2unL  l11n  unL   l12 n  vnL   gu  ErnL , nL   n  0  ,(3.1.24)s 2 vnL  l21n  unL   l22 n  vnL   g v  ELn , H nL   n  1 ;гдеgu  E ,    e 0 E  E0  n  0  ,(3.1.25)gv  E , H   e 0 E  E0 H ,  n  1 .Изображения коэффициентов для остальных компонент электромагнитногополя и граничные условия согласно (3.1.16), (3.1.17) и (3.1.20), (3.1.21) определяются так:1   rH n  s   E   e2 se 0 vnL  n  1 ,r rn  n  1 Le2  s    ErnL H n  e2 se 0unL ;rL2eLn(3.1.26) s    nL  sln unL , vnL  ;Ln r rkvunLvnLunLr  rkr  rkr  rkL1   rH n  V s,r r e2 h0L VknL  s  , e0Lkn  s  Lkn(3.1.27)r  rk n  1 ,(3.1.28)r  rk U knL  s   n  0  , h0L  v, e   se 0 v   s    e; VknL  s  ,n  n  1r e2 hrL0 U knL  s  , erL0 kn  s  H nLr  rkr  rk n  1 ,(3.1.29) U knL  s   n  0  , hrL0  v, e   se 0u   s    e.§ 3.2.

Представление решения методом малого параметраКак показано в § 2.1, аналитически найти оригиналы решения краевых задач(3.1.19), (3.1.20), (3.1.28) невозможно. Поэтому так же, как и для полуплоскости,будем использовать разложения искомых функций в степенные ряды по маломупараметру  :119un  r ,     unm  r ,    , vn  r ,     vnm  r ,    m ,mm0m0H n  r ,     H nm  r ,    m , n  r ,     nm  r ,    m ,m0(3.2.1)m0Ern  r ,     Ernm  r ,    , En  r ,     Enm  r ,    m .mm0m0Подставляя изображения по Лапласу этих рядов в (3.1.23), (3.1.24), (3.1.26) и(3.1.27), приходим к следующим соотношениям:- при n  0s 2u00L  l110  u00L  ;(3.2.2)s 2u0Lm  l110  u0Lm   gu  ErL0,m1 , 0,L m1   m  1 ;(3.2.3)se2 ErL0m  s 2e 0u0Lm  m  0  ; s   L0m(3.2.4)2Ls   r e 0u0 m  2, (m  0) ;rr(3.2.5)- при n  1s 2unL0  l11n  unL0   l12n  vnL0  , s 2vnL0  l21n unL0   l22n  vnL0  ;LLs 2unm l11n  unm  l12n  vnmL   gu  ErnL ,m1 , nL,m1  ,2 Lnmsv l21n  uLnm  l v   g  E22 nLnmLn , m 1v,HLn , m 1  m  1 ;LLLLse2 e2 H nm n H nm e2 slH  unm, vnm; s   E2eLnmLe2  s    Ernm(3.2.6)(3.2.7)(3.2.8)1   rH nm L e2 se 0 vnm,rrn  n  1 LLH nm  e2e 0unm;rL(3.2.9)LLL sln  unm, vnm s    nm.(3.2.10)Соответствующие граничные условия вытекают из (3.1.28) и разложений(3.2.1) ( k  0,1):unL0r  rk U knL  s   n  0  , vnL0r  rk VknL  s  n  1 ;(3.2.11)120Lunmr  r0 , r1L vnmr  r0 , r1L 0  n  0, m  1 , vnm1   rH n 0 rrLr  r0 , r1 0  n  1, m  1 ; (3.2.12) e2 h0L VknL  s  , e0Lkn  s  r  rk n  1 ;(3.2.13)r  rk1   rH nm rrL 0  n  1, m  1 .(3.2.14)r  rkВ случае граничных условий (3.1.5) последние два равенства согласно (3.1.29)записываются так:n  n  1r e2 hrL0 U knL    , erL0 kn  s  H nL0r  rkn  n  1rr  rk n  1 ; 0  n  1, m  1 .LH nm(3.2.15)(3.2.16)r  rkСоотношения (3.2.3), (3.2.7), (3.2.12), а также (3.2.8), (3.2.14) (или (3.2.16)) приm  1 являются рекуррентной последовательностью краевых задач с начальнымиусловиями в виде краевой задачи (3.2.2), (3.2.6), (3.2.11) и (3.2.8), (3.2.13) (или(3.2.15)).Отметим, что задача (3.2.2), (3.2.6), (3.2.11) является чисто упругой.

Характеристики

Список файлов диссертации