Диссертация (786059), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

[108] и § П.1):12 22 x 2     z  2  S   r ,   ,zrSr,r 4x   z  2 2 r S   r ,    2S   r ,    ,G3112  x, z , ,   r 4 12G3312  x, z , ,    4 2 x 2 r 2 S   r ,     x 2     z   S   r ,   ,(2.6.32)rG1111  x, z , ,    G3312  x, z, ,   1 , G3111  x, z, ,     G3112  x, z, ,   1 ,G1112  x, z , ,   G3311  x, z , ,    G1112  x, z, ,   1 ,гдеr  x 2     z  , S  r ,     2  r 2 21 2x  x H  x  .89Отсюда следует, что формулы (2.6.12) и (2.6.27) могут быть упрощены. В пространстве оригиналов они записываются так ( l  1,3 ):Gul  x, z, ,    G1l 0  x, z, ,    G1l1  x, z, ,   ,Gwl  x, z, ,    G3l 0  x, z, ,    G3l1  x, z, ,  .(2.6.33)Подобный подход к построению оригиналов других слагаемых в формулах(2.6.13) - (2.6.16) и (2.6.28) - (2.6.31) невозможен.

Поэтому будем использоватьалгоритм, примененный в § 2.5. При этом существенным является то, что упомянутые функции имеют следующую структуру [91,40]:G LF  q, z1, z2 , s   f  q, s  e z1k1 q 2 , s 2  z2k2 q 2 ,s 2; z1, z2  0 ,(2.6.34)где f  q, s  и показатель экспоненты - однородные функции соответственностепени  1 и 1, т.е. при q  s имеют место равенства:f  s, s   s 1h    , z1k1   2 s 2 , s 2   z2 k2   2 s 2 , s 2   s  , z1 , z2  ,h     F  ,1 ,  , z1 , z2   z1k1   ,1  z2 k2   ,1.22(2.6.35)Далее будем учитывать, что функции f  q, s  и h    для указанных вышеизображений представимы в одном из двух видов:f  q, s   f1  q 2 , s 2  или f  q, s   iqf 2  q 2 , s 2  ,h     h1   2  или h     ih2   2  , hk     f k   2 ,1  k  1,2 .(2.6.36)Функция  , z1 , z2  на действительной оси Im   0 удовлетворяет условиям   z1k11   2 ,1  z2 k21   2 ,1   0 (  0),()  (), (0)  0  z1  z2  0,1 (2.6.37)которые гарантируют существование обратных функций на левой (   0 ) иправой (   0 ) полуосях.Из (2.6.35) следует, что функцию (2.6.34) можно представить в аналогичном(2.5.7) виде:G LF  q, z1, z2 , s   g L (s)h()e s(, z1 , z2 ) , g L (s)  s 1 ,а ее оригинал вычисляется по подобной (2.5.8) формуле(2.6.38)90G  x, z1, z2 ,    lim Gˆ  , z1, z2 ,    Gˆ  , z1, z2 ,   ,(2.6.39)y 0где1Gˆ  , z1 , z2 ,     g (  0 )  h   , z1 , z2 ,      , z1 , z2 ,   21  h   , z1 , z2 ,      , z1 , z2 ,   H    0  ,2  , z1 , z2 ,      , z1 , z2 ,   0  , g ()     .(2.6.40)где звездочка обозначает свертку по времени  , а   , z1, z2 ,   - неявно задаваемая уравнением , z1, z2   i  (2.6.41)функция, однозначная ветвь которой выделяется с помощью условий приs  0: 0 при y  0,q,    0 при y  0.(2.6.42)Тогда из (2.6.39) с учетом (2.6.39) окончательно получаем следующее равенство:G  x, z1 , z2 ,    1h    x, z1 , z2 ,       x, z1 , z2 ,   2  h    x, z1 , z2 ,       x, z1 , z2 ,   H    0  ,(2.6.43)   x, z1 , z2 ,    lim   , z1 , z2 ,   .y 0Эту формулу можно упростить с учетом вида функций  , z1 , z2  и h    .При этом исключим подробно рассмотренный в [109] случай, соответствующийz1  z2  0 .

Тогда величины 0    0, z1, z2 ,   могут быть вычислены явно, каккорни уравнения (2.6.41) при   0 :- при z1  z2 0 1z12  z22b  2 z1 z2 d sign  z1  z2  ;(2.6.44)91- при z1  z2 0  2     12 z12   2     12 z12 ,2 z1(2.6.45)b  2  z12  z22    2 z22  z12  z12  z22  , d  2   2  1 z12  z22 .При x  0 , полагая в (2.6.41)   x , сводим это уравнение к следующим эквивалентным ему начальным задачам для величин   :i, x1   , z1 , z2   ixx 0  0 .(2.6.46)Их анализ с учетом соотношений приводит к выводу, что величины   и   иих производные по времени  связаны между собой так:   ,    .(2.6.47)Последние величины находятся дифференцированием уравнения (2.6.41) при  x:1  1   , z1 , z2   ix  .(2.6.48)Отметим, что здесь и далее необходимо учитывать, что выделяемые с помощью условия в (2.5.3) значения корней k1 и k2 на берегах разрезов по мнимой осиплоскости  определяются следующим образом:lim k1   2 ,1  i  2  1  sign Im  при Im   1,Re 0lim k2   ,1  i     sign Im  при Im   .22(2.6.49)2Re 0Подставляя далее равенства (2.6.47) в формулу (2.6.43) в зависимости от указанных в (2.6.36) видов функции h    приходим к следующим двум вариантамвыражений для функций влияния:1G  x, z1, z2 ,     Re h1  2     x, z1, z2 ,   H    0  ,(2.6.50)1G  x, z1, z2 ,    Im  h2  2     x, z1, z2 ,   H    0  .(2.6.51)или92При z2  0 или z1  0 решение уравнения (2.6.41) и соответствующие пре-2дельные значения   ,   и ветвей корней k1,2  k1,2  ,1 могут быть найдены вявном виде.

В частности, при z2  0 имеют место следующие равенства( r12  x 2  z12 ):221i ( z1 r1     x ) sign x при   r1 ,  2 r1  z 2  r 2  ixпри   r1;1 1(2.6.52)221z1  x r1   при   r1 ,k1  2 r1 z  ix 2  r 2 при   r ;11 1(2.6.53)i sign x при   r1 ,при   r1;2  r12 1(2.6.54)  k2 k11 S1  x, z1 ,    iS1  x, z1 ,   sign x при   r1 ,r12 при   r1 ,T1  x, z1 ,  (2.6.55)гдеS1  x, z1 ,   1r 2  S1  x, z1 ,   2r12   Q1  x, z1 ,   ,2S1  x, z1 ,   T1  x, z1 ,   Q1  x, z1 ,    2 x z1 r 2  2  2r14 .2 z12   22Q1  x, z1 ,    4 r14 , Q1  x, z1 ,    2 x 2  z12  2  r12  ,2Некоторые обозначения здесь и далее могут совпадать с использованными в §2.5. Однако, как правило, смысл их другой.Если жеz1  0 , то искомые предельные значения определяются так( r22  x 2  z22 ):2 221 i ( z2  r2     x )sign x при   r2 ,  2 r2  z 2  2 r 2  ixпри   r2 ;2 2(2.6.56)932 221z2  x  r2   при   r2 ,k2  2 r2 z  ix 2  2 r 2 при   r ;22 2(2.6.57)i sign x при   r2 ,22 2при   r2 ;   r2 1k2  (2.6.58) S2  x, z2 ,    iS2  x, z2 ,   sign x при    r21k1  2 iT2  x, z2 ,   sign xпри    r2 ,  x, z2   D31   r2 при    r2 ,  x, z2   D32   T2  x, z2 ,  (2.6.59)ЗдесьS 2   x, z 2 ,   1r22  S 2  x, z2 ,   r22   Q2  x, z2 ,   ,2S 2  x, z 2 ,   2 2 z22   2Q2  x, z2 ,    r24 ,2Q2  x, z2 ,    2 x 2  z22  2  2 r22  ,T2  x, z2 ,   Q2  x, z2 ,    2 x z2  2r22   2  r24 , x  z 2  1    r ,D31    : D32     D321   2 z  x   1,(2.6.60)D322    ,r 2 x    x  x 2  1, 22D321    : r  max  2 , x   , D322    :  x2  x 2  1.2На рис.

2.6.1 – 2.6.4 изображены графики функций Грина при   1.73 . Функции Gu1 соответствуют сплошные кривые, Gw3 - штриховые, Gu 3 - штрихпунктирные Gw1 - штрихпунктирные с двойным пунктиром.На рис. 2.6.1 приведены зависимости функций Грина от координаты x при  3, z  2,   1. На них видно наличие сильных разрывов при значениях x  1.42и x  2.83 .

Они соответствуют положению фронтов волн сдвига и растяжениясжатия. Рис. 2.6.2 иллюстрирует зависимость функций Грина от времени в точке скоординатами x  1, z  3 и при   2 . Вертикальные асимптоты на графике соот-94ветствуют моментам прихода в точку фронтов волн растяжения-сжатия в моментвремени   1.41 и сдвига в момент времени   2.44 , что согласуется с механическим смыслом задачи.На рис. 2.6.3 представлены зависимости функций Грина от координаты z при  2, x  1,   2 . Наличие разрыва второго рода при z  0.26 соответствует положению фронта волны растяжения-сжатия. Рис.

2.6.4 показывает зависимостьфункций Грина от переменной  при x  1,   3, z  1 . Здесь вертикальные асимптоты соответствуют фронтам волн, отраженных от поверхности z  0 .Рис. 2.6.1.95Рис. 2.6.2Рис. 2.6.396Рис. 2.6.4.§ 2.7. Нестационарное движение упругой полуплоскости под действиемобъемных силРассмотрим вспомогательную задачу о движении упругой полуплоскости поддействием объемной силы с координатами F1  x, z,   и F3  x, z,   [91].

Она, какследует из § 2.2 (см. уравнения (2.2.4)), является составляющей для общей связанной задачи.Полагаем, что на границе полуплоскости возмущения отсутствуют. Для определенности положим, что она абсолютно жестко защемлена (как будет ясно издальнейшего изложения, рассмотрение других возможных вариантов однородныхусловий на границе полуплоскости не вносит принципиальных усложнений вметод решения):u z 0  w z 0  0 .(2.7.1)На бесконечности возмущения отсутствуют, а начальные условия нулевые:u 0  u 0  w 0  w 0  0 .(2.7.2)97Сравнение этой постановки с содержанием §§ 2.1, 2.2 показывает, что в этомслучае перемещения определяются соответствующим образом откорректированными соотношениями (2.2.16):uLF q, z, s    GuLF1  q, z, , s  F1LF  q, , s  d  0  GuLF3  q, z , , s  F3LF  q, , s  d ,0(2.7.3)wLF  q, z , s    GwLF1  q, z , , s  F1LF  q, , s  d  0  GwLF3  q, z , , s  F3LF  q, , s  d .0В пространстве оригиналов это равенство записывается так (звездочки означают свертки по координате x и времени):0000u  x, z ,     Gu1  x, z , ,   F1  x, ,   d    Gu 3  x, z, ,   F3  x, ,   d ,(2.7.4)w  x, z,     Gw1  x, z, ,   F1  x, ,   d    Gw3  x, z, ,   F3  x, ,   d .Ядра интегралов получены в предыдущем параграфе.

Характеристики

Список файлов диссертации