Диссертация (786059), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Эти формулы позволяютсвести задачу определения поля перемещений по заданным объемным силам квычислению квадратур.В качестве примера рассмотрим простейший вариант объемных сил, равномернораспределенныхвдольz  z0 :прямойF1  p1  z  z0     ,F3  p3  z  z0      , где p1, p3  const . При такой нагрузке формулы (2.7.4) приобретают следующий вид:u  x, z ,    p1  Gu1  x, z , z0 ,   dx  p3  Gu 3  x, z , z0 ,   dx,w  x, z ,    p1  Gw1  x, z , z0 ,   dx  p3  Gw3  x, z , z0 ,   dx.(2.7.5)98В соответствии с определением преобразования Фурье изображения по Лапласу интегралов в (2.7.5) достаточно просто вычисляются через трансформантыфункций Грина:LLF Gul  x, z, z0 , s  dx  Gul  0, z, z0 , s  , G  x, z, z , s  dx  G  0, z, z , s  .LwlLFwl00(2.7.6)Используя теперь эти формулы и (2.6.12) – (2.6.31), из (2.7.5) получаем изображения перемещенийp1  s z  z0 s z  zs z  ze e  0  H  z0  z   e  0  H  z  z0   ,2sp s z zs z zs zzwL  x, z, s   3  e  0   e  0  H  z0  z   e  0  H  z  z0   .2su L  x, z , s  (2.7.7)Оригиналы этих функций находятся достаточно просто:p12p 12pw  x, z ,    32p 32u  x, z ,   H    z0 z    H      z  z0   H  z0  z  H    z  z   H    z  z  H  z  z  ,0H    z000(2.7.8) z    H     z  z0   H  z0  z  H    z  z   H    z  z  H  z  z .000Как и следовало ожидать, перемещения не зависят от координаты x , и волнысдвига и растяжения-сжатия распространяются независимо.Соответствующие результаты при p1  1 и p3  0 (функция Грина для одномерной задачи) приведены в [55,56].§ 2.8.

Распространение двумерных нестационарных электрических поверхностных возмущений в электромагнитоупругой полуплоскостиПолагаем, что на границе полуплоскости перемещения отсутствуют:u z 0  w z 0  0 ,(2.8.1)и задана касательная компонента напряженности электрического поляE1 z 0  e0  x,   ,(2.8.2)99что является частным случаем граничных условий (2.1.4).Постановка этой задачи приведена в § 2.1, а решение представлено в виде рядов (2.2.1) по малому параметру  . В силу однородности задачи (2.2.3), (2.2.7) еерешение тривиальное:u0  x, z,    0, w0  x, z,    0 .(2.8.3)В дополнение к (2.8.3) коэффициенты рядов (2.2.1) при m  0 согласно (2.4.4)(или (2.2.21)), (2.4.14), (2.4.15) и (2.4.24) с учетом (2.4.5) определяются так:H 0  x, z,    e2GH 0  x, z ,      e0  x,    e0  x,    ,E10  x, z ,    Ge10  x, z ,      e0  x,    e0  x,    ,(2.8.4)E30  x, z ,    Ge30  x, z ,      e0  x,    e0  x,    , 0  x, z ,    0.При m  1 из (2.2.16), (2.2.19) (2.4.14) (2.4.15) и (2.4.24) получаем следующиерекуррентные соотношения:um  x, z ,     Gu1  x, z , ,    f1, m 1  x, ,   d  0  Gu 3  x, z , ,    f3, m 1  x, ,   d ,0(2.8.5)wm  x, z ,     Gw1  x, z , ,    f1, m 1  x, ,   d  0  Gw3  x, z , ,    f3, m 1  x, ,   d ,0гдеf1, m 1  x, ,    e0    E1, m 1  x, ,    E0    H m 1  x, ,   ,f3, m 1  x, ,    e 0    E3, m 1  x, ,    E0    m 1  x, ,   ;H m  x, z,      GH  x, z, ,   l um  x, ,   , wm  x, ,    d  ; (2.8.6)2e0E1m  x, z,     Ge1  x, z, ,   l um  x, ,   , wm  x, ,    d   ums  x, z,   ; (2.8.7)0E3m  x, z,     Ge3  x, z, ,   l um  x, ,   , wm  x, ,    d   wms  x, z,   ; (2.8.8)0100m  x, z,    l  wms  x, z,   , ums  x, z,   ;ums  x, z,    um  x, z ,    e   um  x, z ,   ,wms  x, z,    wm  x, z,    e  wm  x, z,   .(2.8.9)(2.8.10)Как следует из (2.4.5) в соотношения (2.8.6) - (2.8.9) входят производные попространственным координатам.

Для того чтобы избежать этого дифференцирования, операторы l  u, w и l  w, u  можно записать так:l  um , wm   e0um  e0  um , wm  , l  wm , um   e 0 wm  e 0 um , wm  ,(2.8.11)где функции   u, w и   u, w определены в (1.4.41).Тогда необходимо дополнительно построить интегральные представление дляm    um , vm  и m    um , vm  . Их получаем из (2.8.5):0000 m   1  x, z, ,     f1, m 1  x, ,   d     3  x, z, ,     f3, m 1  x, ,   d ,(2.8.12)m   1  x, z, ,     f1, m 1  x, ,   d    3  x, z, ,     f3, m 1  x, ,   d ,гдеk  x, z, ,      Guk , Gwk  , k  x, z, ,     Guk , Gwk  , k  1,3 .(2.8.13)При этом соотношение (2.8.9) приобретает следующий вид:m  x, z,    e0  z  wms  x, z,    e0  z  ms  x, z,   ,(2.8.14)гдеms  x, z,    m  x, z,    e  m  x, z,   .(2.8.15)Таким образом, преобразованная рекуррентная система уравнений включает всебя соотношения (2.8.4), (2.8.12), (2.8.14), (2.8.15) и (2.8.6) – (2.8.8).

Причем впоследних трех равенствах необходимо положитьl um  x, ,   , wm  x, ,    e0    um  x, ,    e0    m  x, ,   . (2.8.16.)Изображения ядер в (2.8.12) можно найти непосредственной подстановкой(2.6.12) и (2.6.27) в изображения равенств (2.8.13). Однако эта процедура достаточно громоздка. Поэтому получим эти ядра, опираясь на их связь с функциями101Грина в (2.6.12) и (2.6.27). Для этого используем формулы (П.8.16) - (П.8.18) и(П.8.20), из которых при учете (2.8.13) следуют ( k  1,3 ) такие равенства: kLF  q, z , , s   s 2   A1k  q, s  e zk1 q 2 , s 2 A2 k  q, s  ezk1 q 2 , s 2LF  LF  GukLF , Gwk , zk2  q 2 , s 2 zk2  q 2 , s 2    q, z , , s    s  B1k  q, s  e B2 k  q, s  eLFk(2.8.17)2 2LF LF  GukLF , Gwk .Для их преобразования сначала находим последние слагаемые:LFLF LF  GukLF , Gwk    k  q, z , , s  H  z    ,LFLFLF  GukLF , Gwk   k  q, z , , s  H  z    ,(2.8.18)где1LF  q, z, , s  iqsh  k1  z     , 1LF  q, z, , s   2 ch k2  z     ,k1iq2  q, z, , s   ch  k1  z     ,   q, z, , s   sh k2  z     .k2LF3LF3Подставляя теперь в (2.8.17) равенства (2.6.8), (2.6.11), (2.6.23), (2.6.26) и(2.8.18) получаем следующие результаты:LF1LF  q, z , , s   10 q, z, , s   11LF  q, z, , s  H    z  LF 11 q, , z, s  H  z    ,LF3LF  q, z , , s    30 q, z, , s   31LF  q, z, , s  H    z  LF 31 q, , z, s  H  z    ,где10LF  q, z, , s  22 zk1  q 2 , s 2  k2  q 2 , s 2 iq  P1  q , s   z  k1 q2 ,s 2 2222, ekq,sPq,se 3 22  k1  q 2 , s 2  k1  q 2 , s 2   z iq11LF  q, z, , s   e,2k1  q 2 , s 2 (2.8.19)102 z  k1  q 2 , s 2  zk1  q 2 , s 2  k2  q 2 , s 2  122222  q, z, , s   P1  q , s  e q P3  q , s  e,2 1  k q2 ,s2   z LF31 q, z, , s   e 1  ;2LF30LF1LF  q, z , , s   10 q, z, , s   11LF  q, z, , s  H    z  LF 11 q, , z, s  H  z    ,LF3LF  q, z , , s   30 q, z, , s   31LF  q, z, , s  H    z  (2.8.20)LF 31 q, , z, s  H  z    ,где2  q, z , , s  22LF11  q, z , , s  2LF30  q, z , , s  LF10 q 2 P q 2 , s 2 e  k1  q2 , s 2  zk2  q2 , s 2   P q 2 , s 2 e  z   k2  q 2 , s 2   ,31e k2 q 2 , s 2   z ,iqP1  q 2 , s 2   zk1  q2 , s 2   k2  q2 , s 2    z   k12222 iqk1  q , s  P3  q , s  e,ek22 iq  k2  q 2 , s 2   z LF31  q, z , , s  e.2k 222Часть из оригиналов функций в (2.8.19) и (2.8.20) может быть найдена в явномвиде аналогично § 2.6.

Остальные имеют структуру (2.6.34). Однако в этом случаефункция f  q, s  однородная нулевой степени. Следовательно, использованиеалгоритма § 2.6 приводит к необходимости дополнительного дифференцированияпо времени. Поэтому соотношения (2.8.12) необходимо заменить следующимиравенствами: Im  x, z, ,   0000   I 1  x, z , ,     f1, m 1  x, ,   d     I 3  x, z, ,     f 3, m 1  x, ,   d ,Im  x, z, ,      I 1  x, z , ,     f1, m 1  x, ,   d     I 3  x, z, ,     f 3, m 1  x, ,   d ,где(2.8.21)103 Im  x, z, ,      m  x, z , ,   d ,  IkLF  q, z , , s   s 1 kLF  q, z , , s  ,0(2.8.22)Im  x, z, ,     m  x, z , ,   d ,  IkLF  q, z , , s   s 1 kLF  q, z , , s  .0Окончательно при m  1 получаем рекуррентную систему уравнений, состоящую из (2.8.5), (2.8.21), а также полученных из (2.8.6) – (2.8.8) и (2.8.14) с учетом(2.8.22) следующих соотношений:H m  x, z ,      GH  x, z, ,     e 0    um  x, ,    e 0    Im  x, ,    d ;2e(2.8.23)0E1m  x, z,    ums  x, z,     Ge1  x, z, ,     e 0    um  x, ,    e 0    Im  x, ,    d ;(2.8.24)0E3m  x, z,     wms  x, z,     Ge3  x, z, ,     e 0    um  x, ,    e 0    Im  x, ,    d ;(2.8.25)0m  x, z,    e 0  z   wm  x, z,    e   wm  x, z ,     e 0  z   Im  x, z,    e   Im  x, z,    .(2.8.26)Входящие в равенства (2.8.23) - (2.8.26) производные по времени могут бытьнайдены численным дифференцированием.

Корректность этой операции обеспечивается достаточной гладкостью правых частей начальных условий (2.8.4) длярекуррентной системы уравнений.§ 2.9. Распространение нестационарных кинематических поверхностныхвозмущений в электромагнитоупругой полуплоскостиПолагаем, что на границе полуплоскости задано нормальное перемещение:u z 0  0, w z 0  W0  x,   ,(2.9.1)и нормальная компонента напряженности электрического поля отсутствует,т.е.104E3 z 0  0 ,(2.9.2)что является частным случаем граничных условий (2.1.5).Постановка этой задачи приведена в § 2.1.

Она отличается от задачи§ 2.8только граничными условиями. Поэтому для представления ее решения в видерядов (2.2.1) по малому параметру  при m  1 рекуррентная система уравнений(2.8.5), (2.8.21), (2.8.23) - (2.8.26) сохраняет свой вид. Но ядру GH  x, z, ,   в отличие от (2.2.20) отвечает ограниченное решение следующей краевой задачи: 2GHLF ke2GHLF    z    , GHLF2zz 0 0.(2.9.3)При этом изображения ядер Ge1  x, z, ,   и Ge3  x, z, ,   в соответствии с(2.4.10) и (2.4.11) определяются, как и ранее:LF1 GH  q, z, , s iqG  q, z, , s  , GeLFGHLF  q, z, , s  .

Характеристики

Список файлов диссертации