Диссертация (786059), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

И поэтому при нахождении интегралов в (3.3.27) приходится вычислять значения функции f    при большихзначениях аргумента. Выясним, как ведут себя функции (3.3.21) и (3.3.23) при   , используя следующее равенство [108]:lim f     lim sf L  s  .(3.3.28)s 0l1 LНапример, для функции GHn r, , s  в (3.3.21) с учетом (П.2.20) имеют местотакие соотношения:sf L  s  sfLs  1n1 n  0 ,2r  1nRn 0  s  Rn 0  rs 2rn 1 n 1 2 n snAnn 1  s  nAnn 1  rs 2r 1nn 2 Ann22r n 1n 1 s 2 nn 1 n 1 2 n sBnl 3  r0 s  Bnl 3  r1s (3.3.29)1  2r0 s  1  2r1s ll n  1 , s  0.Здесь использованы вытекающие из (П.2.20), (П.3.16) и (3.3.17) формулы:R00  z   1, R03  z   z , B03  z   1,Rn 0  z Ann  An , n 1 z  Ann 1  z  ,Rn 3  z (3.3.30) n  1 Ann  Ann  1  z   nAnn 1  z  ,nAnn 1  z Bn 3  z  1  2 z , Ann  An , n 1   2n  1!!  n  1 , z  0.nAnn 1  z Следовательно, функция f    при    стремится к бесконечности, т.е.

приопределении оригиналов нестационарных функций Грина по формуле (3.3.27)возникают значительные вычислительные трудности. В связи с этим находим ихприближенный квазистатический аналог при e  0 . В соответствии с (3.2.29) и(3.2.31), они являются решениями следующих краевых задач:129nGLHnL1   rGHn    r   ,rr1   rGHnk  0,rrLnGLHnk 0;(3.3.31) k 1,l 1  l  0,1 .(3.3.32)r  r0 , r1r  rlОбщее решение уравнения (3.3.31) с использованием (П.2.5) аналогично(3.3.1) записываем так:LGHn r, , s   C1n r n 1L C2n r n  GHn  r , , s  ,(3.3.33)гдеLGHn  r , , s   D1Hn  r , , s  r n 1 D2 Hn  r , , s  r n .(3.3.34)Тогда вместо (3.3.3) получаем следующую систему уравнений относительнопроизводных функции D1Hn и D2Hn по r :D1Hn r  n 1 D2 Hn r n  0, D1Hn  n  1 r n  2  D2 Hn nr n 1    r    .(3.3.35)Ее решение имеет вид: n 1D1Hn    2n  1 n  2   r    , D2 Hn   2n  1      r   11Отсюда получаем функции D1Hn и D2Hn :D1Hn  r , , s     2n  1 n2 H  r    ,1D2 Hn  r , , s    2n  1 1 n 1H  r  (3.3.36)и по формуле (3.3.34) частное решениеLGHn  r , , s  n  r,   2n  1 r n1n1H  r   ,(3.3.37)гдеn  x, y   x 2n 1  y 2 n 1 .Отсюда находим производнуюL  rGHnrn  r ,   2n  1 r n1n1H  r   ,(3.3.38)130гдеn  x, y   x n 1   n  x, y  2 n 1 ny 2 n 1 .   n  1 xnx  xПодставляя теперь (3.3.37) в (3.3.33), из граничных условий в (3.3.31) получаем систему уравнений относительно постоянных интегрирования:nC1n r0   n  1 C2 n r0n  0,nC1n r1   n  1 C2 n r1n   n 1 n 1n  r1 ,   2n  1 r1n 1,n 1(3.3.39)Ее решение имеет вид:C1n  r02 n 1n  r1 ,  n  2n  1   n  r1 , r0 n 1, C2 n  n  r1 ,   n  1 2n  1 n1n  r1 , r0 .

(3.3.40)Подставляя эти равенства в (3.3.33), с учетом (3.3.37) и следствия П.6.1 получаем следующее представление объемной функции Грина:LGHn r , , s   GHnc  r ,    2 GHnc  r ,   H    r   GHnc  , r  H  r    ,cHnG r,   n  r1 ,   n  r0 , r (3.3.41)n  n  1 2n  1 n 1r n 1 n  r1 , r0 ,Квазистатические поверхностные функции Грина как решения задач (3.3.32) сучетом (3.3.33) записываем так:LGHnk r, , s   C1nk r n 1 C2 nk r n .(3.3.42)Для входящих в это равенство произвольных постоянных из граничных условий аналогично (3.3.39) получаем систему уравнений n 1  n  1 C2 nk r0n  r0 k 1,1 ,  n 11nk 1  n  1 C r  r1k 1,2 .nC1nk r0 nC rn2 nk 1(3.3.43)Ее решение с учетом обозначения в (3.3.37) имеет вид:n 1k 1,1n2 n2 101nC1nk  rrr r0n 1k 1,2n  r1 , r0 , C2 nk r1n  2 k 1,2  r0n  2 k 1,1 n  1 n  r1 , r0 .

(3.3.44)Подставляя этот результат в (3.3.42) находим искомые поверхностные функции Грина:131LHn 0G r, s   G  r   cHn 0r0n  2n  r1 , r n  n  1 r n 1 n  r1 , r0 r1n  2n  r0 , r LcGHn1  r , s   GHn1  r  n  n  1 r n 1 n  r1 , r0 ,(3.3.45).При использовании квазистатических функций Грина упрощаются равенства(3.2.28) и (3.2.30):r1HLnmc r , s    s  GHn r ,   lH unmL  , s  , vnmL  , s  d   n  1, m  0  ;2e(3.3.46)r01cH nL0  r , s   e2  s     GHnk r  e0Lkn  s   n  1 .(3.3.47)k 0§ 3.4.

Электромагнитное поле в движущейся толстостенной сфереАналогично § 2.7 рассмотрим вспомогательную задачу об определении параметров электромагнитного поля в движущейся по заданному закону u  r , ,   иv  r , ,   толстостенной сфере [45,62]. При этом в соответствии с (3.1.3) считаем,что начальные условия однородные:Er 0 Er 0 E 0  E 0H 0H 0 0.(3.4.1)Кроме того, полагаем, что на границах сферы аналогично (3.1.4) заданы касательные составляющие вектора напряженности электрического поля  k  0,1 :Er  rk e0 k  ,   .(3.4.2)Тогда согласно принципу суперпозиции и равенствам (3.3.46), (3.3.47) с учетом (3.1.28) изображение коэффициентов рядов (3.2.1) координат напряженностимагнитного поля определяется так:r1HLn r , s    s  GHnc  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s  d  2er0(3.4.3)1c e2  GHnk r   s    e0Lkn  s   se0  rk  vnL  rk , s .k 0132Для определения изображений коэффициентов разложений компонент напряженности электрического поля сначала применим к левой и правой части равенства (3.4.3) следующий оператор:Lr11   rH n 2 e s   cHn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  r rr0(3.4.4)1e2   cHnk  r   s    e0Lkn  s   se 0  rk  vnL  rk , s  .k 0Здесь в соответствии с (3.3.10) и (3.3.14)1   rGHn  r ,     r,   1cHn  r ,   H    r    c2 Hn  r ,   H  r    ,rr(3.4.5)1ccHnk  r    rGHnk r  ,rccHnгдеc1Hncc2   rGHn  r ,   c2   rGHn  , r .,  2 Hn  r ,    r,  rrrrФункции 1cHn , c2 Hn и cHnk находим, используя (3.3.41) и (3.3.45):1cHn  r ,    n  r1 ,    n  r , r0  2n  1 n 1r n  2  n  r1 , r0 n  r0 ,    n  r1 , r  c2 Hn  r ,   ; 2n  1 n 1r n  2  n  r1 , r0 cHn 0r  r0n  2  n  r1 , r r n  2  n  r1 , r0 ,cHn1r  ,r1n  2  n  r , r0 r n  2  n  r1 , r0 (3.4.6).(3.4.7)При построении этих формул использованы следующие свойства функций,введенных в (3.3.37) и (3.3.38):n  n  1  n  x, y   n  x, y  ,  n  y, x    n  x, y  .y  y n y n 1(3.4.8)Подставляя теперь представления (3.4.3) и (3.4.4) в формулы (3.2.9), находимизображения коэффициентов разложений компонент напряженности электрического поля:133rn  n  1  s 1 cE  r, s   GHn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  r s   r0Lrns Lsc  GHnkvn  rk , s    e 0  r  unL  r , s  ; r  e0Lkn  s   e0  rk sk 0 s  (3.4.9)1rs 1 cE  r, s   Hn  r ,   lH unL  , s  , vnL  , s   d  s   r0Lns   cHnk  r  e0Lkn  s  e 0  rk  vnL  rk , s   sk 0se 0  r  vnL  r , s   n  1 .s1(3.4.10)Оригиналы формул (3.4.3), (3.4.9) и (3.4.10) с учетом свойств преобразованияЛапласа имеют следующий вид:r1cH n  r ,      GHn r ,   lH un  ,   , vn  ,   d  2er0(3.4.11)1c e2  GHnk r   e0kn     e0kn     e0  rk  vn  rk ,  ;k 0Ern  r ,    n  n  1rr1 G  r ,   L lcHnsHun  ,   , vn  ,    d  r0(3.4.12)1c  GHnk r  e0 kn     e0  rk  Ls vn  rk ,  k 0r1 e 0  r  Ls un  r ,    ;En  r ,     cHn  r ,   Ls lH un  ,   , vn  ,    d  r01(3.4.13)   cHnk  r  e0 kn     e 0  rk  Ls vn  rk ,     e 0  r  Ls vn  r ,     n  1 .k 0При построении двух последних формул использовано соответствие (2.4.16), атакже следующее обозначение (звездочка соответствует свертке по времени):Ls  v   v  e  v .(3.4.14)Формула для оригиналов коэффициентов разложения поверхностных зарядоввытекает из (3.1.27) при учете последнего обозначения:134n  r ,     Ls ln un  r ,   , vn  r ,   .(3.4.15)Координаты вектора тока определяются по известным компонентам напряженности электрического поля из частного случая закона Ома (1.5.29), полученного с учетом предположения (3.1.1):jr  Er  e0 u  , j  E  e0 v  .(3.4.16)В качестве примера рассмотрим три закона движения толстостенной сферы.При этом будем использовать следующие равенства для полиномов Лежандра иГегенбауэра [111,1]:P0  cos   1, P1  cos   cos , C03 2  cos   1 .(3.4.17)1.

Сфера неподвижна:u  v  0.(3.4.18)В этом случае согласно (3.1.14), (3.1.17) и (3.4.15) имеют место равенства:lH  u, v   0, ln  u, v   0, Ls  u   0, Ls  v   0 ;n  r ,    0  n  2  .(3.4.19)(3.4.20)а). Напряженность электрического поля задана только на внутренней границе сферы и имеет вид:e00   sin , e01  0 ,(3.4.21)где    H    .Из (3.1.6) и (3.4.17) следуют, что коэффициенты соответствующих рядовопределяются так:e001   , e00n  0  n  2  , e01n  0  n  1 .(3.4.22)Тогда из формул (3.4.11) - (3.4.13) с учетом (3.3.41), (3.3.45) и (3.4.7) получаемследующие результаты:H1  r ,    e2GHc 10  r    1 H    ,2Er1  r ,    GHc 10  r   , E1  r ,     cH 10  r   ,rH n  En  r ,    Er 0  r ,    Ern  r ,    0  n  2  .Здесь(3.4.23)135cH 10Gr   r03  2r13  r 3 2r 2  r13  r03 ,cH 10r  r03  r13  r 3 r 3  r13  r03 .(3.4.24)Подставляя полученные коэффициенты в (3.1.6) и дополнительно учитывая(3.4.16), (3.4.17) окончательно приходим к таким выражениям для компонентэлектромагнитного поля:H  r , ,    e2GHc 10  r    1 sin H    , e  0,2Er  r , ,    jr  r , ,    GHc 10  r   cos ,rE  r , ,    j  r , ,     cH 10  r   sin .(3.4.25)б).

Напряженность электрического поля задана только на внешней границесферы и имеет вид:e00 ,  0 e01   sin  .(3.4.26)В этом случае абсолютно аналогично предыдущему пункту получаем такиеравенства:H  r , ,    e2GHc 11  r    1 sin H    , e  0,2Er  r , ,    jr  r , ,    GHc 11  r   cos ,rE  r , ,    j  r , ,     cH 11  r   sin ,(3.4.27)гдеcH 11Gr  r13  2r03  r 3 2r  r  r23130,cH 11r  r13  r 3  r03 r 3  r13  r03 .(3.4.28)2. Напряженность электрического поля на границах сферы отсутствует:e00  e01  0 ,(3.4.29)u   , v  0 ,(3.4.30)а перемещения имеют вид:что согласно (3.1.6) и (3.4.17) соответствует следующим коэффициентам рядов:u0   , un  vn  0  n  1 .(3.4.31)При этом для операторов в (3.1.14), (3.1.17) и (3.4.14) имеют место равенства:1361e 0 , l0  u0 , v0    2  r 2e 0  , Ls  u0    e   1 H    ,rr1Ls l0 u0  r ,   , v0  r ,     2  r 2e 0   e   1 H    ,(3.4.32)rlH  u0 , v0   lH  un , vn   ln  un , vn   Ls un  r ,     Ls ln un  r ,   , vn  r ,     0  n  1 .Тогда из формул (3.4.11) - (3.4.13) и (3.4.15) получаем следующие результаты:Er 0  r ,    e 0  r e 1 H    , 0  r ,   1 2r e 0  Er 0  r ,   ,2 r(3.4.33)H n  r ,    Ern  r ,    En  r ,    n  r ,    0  n  1 .Подставляя полученные коэффициенты в (3.1.6) и дополнительно учитывая(3.4.16), (3.4.17) окончательно получаем выражения для компонент электромагнитного поля:Er  r , ,    jr  r , ,    e 0  r e 0  r e 1 H    , e  r , ,   1 2r e 0  Er  r , ,   ,2 r(3.4.34)e H    , H  r , ,    E  r , ,    j  r , ,    0.3.

Характеристики

Список файлов диссертации