Диссертация (786059), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

(2.9.4)3  q, z , , s  szsLFe1Начальные условия к этой рекуррентной системе уравнений по перемещениямимеет вид (2.5.6). Изображение функции H 0  x, z,   согласно (2.2.2), (2.2.11) и(2.9.1), (2.9.2) есть ограниченное решение следующей задачи: 2 H 0LF ke2 H 0LF  e2 slF  u0LF , w0LF  , H 0LF2zz 0 0.(2.9.5)Его оригинал, а также остальные соответствующие компоненты электромагнитного поля с учетом однородности граничных условий и формул (2.8.11) записываем аналогично (2.8.6) - (2.8.9):H 0  x, z,      GH  x, z, ,    e 0    u0  x, ,    e 0    0  x, ,    d  ; (2.9.6)2e0E10  x, z,     Ge1  x, z, ,    e 0    u0  x, ,    e 0    0  x, ,    d  0(2.9.7) u0 s  x, z,   ;E30  x, z,     Ge3  x, z, ,    e 0    u0  x, ,    e 0    0  x, ,    d  0 w0 s  x, z,   ;(2.9.8)1050  x, z,    e 0  z   w0  x, z ,    e   w0  x, z ,    (2.9.9) e 0  z  0  x, z,    e  0  x, z ,    ,где0   u0 , w0  , 0    u0 , w0  .(2.9.10)Формулы для входящих в последние равенства функций находим, применяяоператоры (1.4.41) к равенствам в (2.5.6):0  G130  x, z,   W0 x,    G1  x, z,   W0  x,    G 2  x, z ,   W0  x,   ,(2.9.11)0  G  x, z,   W0  x,    G332  x, z ,   W0 x,   ,гдеLFLFG331q, z , s  LFG332 q, z , s  ,G  q, z , s  , G 2  q, z , s   sziqzLF1LFG130 q, z, s   G LF q, z, s .G  q, z , s   331 szLFЯвный вид изображений ядер в (2.9.11) находим с помощью (2.5.5):k2  q 2 , s 2 LF130GLF332 k2  q 2 , s 2  ziqe, GLF122Rq , s LF2 q, z, s   GGGGLF131 G ,GF132LF131LF132R  q2 , s2  q, z , s  , GLFe , G LF  k2  q , s  e  k  q ,s  z ,132222 k1 q 2 , s 2 z2Rq , sk q , s k q , s e q, z , s  s Rq , s k q , s  q,z,se.sR  q , s 2122222222222222222 k1 q 2 , s 2 z, (2.9.12) k2 q 2 , s 2 zПоскольку их структура аналогична рассмотренным в § 2.5 функциям, то явный вид оригиналов может быть найден тем же методом.Для замыкания алгоритма осталось найти ядра интегральных соотношений(2.9.6) - (2.9.8).Сначала аналогично § 2.3 построим ограниченное решение задачи (2.9.3).

Общее решение соответствующего уравнения и первая из постоянных интегрирования имеет вид (2.3.5) и (2.3.6). Вторую постоянную определяем из граничногоусловия в (2.9.3):106e  ke .C2  C1 2ke(2.9.13)Следовательно, искомая функция Грина имеет следующий вид:GHLF  f LF  q, z  , s   f LF  q, z   , s  ,(2.9.14)где функция f LF  q, z, s  и ее оригинал определены равенствами (2.3.9) и(2.4.8).Оригинал же самой функции Грина аналогично (2.4.9) записывается так:GH  x, z, ,    f  x, z  ,    f  x,   z,   .(2.9.15)LFФункции GeLF1 и Ge 3 в соответствии с (2.9.4) имеют следующий вид:LFGeLF q, z  , s   f1LF  q, z   , s  sign  z    ,1  q, z , , s   f1LFe3G q, z, , s  fLF3 q, z   , s   f  q, z  , s  .LF3(2.9.16)Входящие сюда функции f1LF , f3LF и их оригиналы задаются равенствами в(2.4.12), (2.4.13) и (2.4.19), (2.4.20) соответственно. При этом оригиналы функцийLFGeLF1 и Ge 3 подобно (2.4.21) можно записать следующим образом:Ge1  x, z, ,    f1  x, z  ,    f1  x,   z,   ,Ge3  x, z, ,    f3  x,   z,    f3  x, z  ,   .(2.9.17)В качестве примера рассмотрим одномерную задачу, полагая в (2.9.1)W0  x,    W0    [55,56].

В этом случае все искомые функции зависят только отвремени и координаты z . Тогда начальные условия к рекуррентной системе уравнений (2.5.6) и (2.9.11) трансформируются так:u0  z,    0, w0  z,    G331  z,    W0    ;(2.9.18)0  z,    G1  z,    W0    , 0  z,    0 .(2.9.19)И соответственно представления (2.9.6) - (2.9.8) приобретают следующий вид:H 0  z,    E10  z,    0, E30  z,    w0 s  z,   .(2.9.20)Изображения всех функций в соответствии со свойствами преобразованияФурье [108] пропорциональны дельта-функции Дирака, например:wLF  2wL  q .(2.9.21)107Поэтому во всех соотношениях изображения двойного преобразования необходимо заменить трансформантами Лапласа и положить q  0.

В частности, изображения ядер G331 и G1 в (2.9.19) и (2.9.20) согласно (2.9.12) имеет такой вид:1LG331 z, s   GL1  z, s   e sz .s(2.9.22)Тогда с учетом свойств преобразования Лапласа нетривиальные равенства в(2.9.18) и (2.9.19) записываются так:w0  z,    W0    z  H    z  , 0  z,    W0    z  H    z  .(2.9.23)Отсюда следует явная форма соотношения (2.9.9) и нетривиального равенствав (2.9.20):0  z,    e0  z W0 s    z   e0  z W0 s    z  H    z  ;E30  z,    W0 s    z  H    z  ,(2.9.24)(2.9.25)гдеW0 s  z,    W0  z,    e  W0  z,   .Изображения ядер в (2.8.5) и (2.8.12), (2.8.21), (2.8.22) согласно (2.6.13) (2.6.31) и (2.8.19), (2.8.20) для одномерной задачи принимают следующий вид:    z  s z   s z   seHzeHze2sGwL1  z, , s   0, GuL3  z , , s   0,GuL1  z , , s  GwL3  z, , s  (2.9.26)1    z  s z  s z  seH    z   e   H  z     e    ;2s1L  z , , s   0,  LI 1  z, , s   0, 3L  z, , s   0,  LI 3  z, , s   0,1   z   s   z  s  z   seeHzeH  z     ,22   z   s  z s z  sL1  z , , s  e e   H    z   e   H  z     ,21  z  s  z s z  s LI3  0, z, , s   e    e   H    z   e   H  z     ,2s2   z   s  z  s z   sL I 1  0, z, , s  eeHzeH  z     .2s  3L  z , , s  (2.9.27)108В результате получаем две независимые рекуррентные системы уравнений.Первая из них включает в себя вытекающие из (2.9.19) и (2.9.20) однородныеначальные условияu0  z,   0, 0  0, H 0  z,    0, E10  z,    0(2.9.28)и следующие из (2.8.5), (2.8.21) - (2.8.24) соотношения при m  1um  z ,     Gu1  z , ,    f1, m 1  ,   d ,0Im  z , ,      I 1  z, ,     f1, m 1  ,   d ,(2.9.29)0f1, m 1  ,    e 0    E1, m 1  ,    E0    H m 1  ,   ;H m  z ,      GH  z , ,     e 0    um  ,    e 0    Im  ,    d ,2e0E1m  z ,    ums  x, z ,   (2.9.30)  Ge1  z , ,     e 0    um  ,    e 0    Im  ,    d .0Эта система является однородной и, следовательно, ее решение тривиальное:um  z,    0, m  0, H m  z,    0, E1m  z,    0  m  0  .(2.9.31)Вторую рекуррентную систему уравнений составляем из начальных условий(2.9.23) - (2.9.25) и следующих из (2.8.5), (2.8.12), (2.8.21) - (2.8.24) соотношениийпри m  1:wm  z,     Gw3  z, ,    f3,m 1  ,   d ,(2.9.32)0f3,m 1  ,    e 0    E3, m 1  ,    E0    m 1  ,   ;1 m  z, ,    H    z 21 2 z zf3, m 1  ,   z    d  0f3, m 1  ,     z  d   H  z   0E3m  x, z,    wms  x, z,   ;z f3, m 1  ,   z    d   ;(2.9.33)(2.9.34)109m  x, z,    e0  z  wms  x, z,    e0  z  ms  x, z,   ,(2.9.35)Здесь учтено, что оригинал функции 3L  z, , s  в (2.9.27) имеет вид13  z, ,        z           z       z    ,2(2.9.36)и соответственно ему вместо (2.8.21) и (2.8.26) использованы соотношения(2.8.12) и (2.8.14).

При этом по сравнению с двумерной задачей отпадает необходимость дифференцирования по времени.В качестве примера рассмотриваем алюминиевую полуплоскость. Электрические параметры принимаем следующими:   0,0806;   5,06 [112] ( E  1 в м ).Полагаем, что правая часть граничных условий (2.9.1) задается в виде функцииХевисайда:W0     H    ,(2.9.37)а начальные параметры электрического поля таковы:e 0 12 z, E0  z ,(2.9.38)Результаты расчетов при учете четырех членов рядов по малому параметрупредставлены на рис. 2.9.1 – 2.9.6. Учет пятого члена приводит фактически к темже графикам.На рисунке 2.9.1 приведены графики изменения перемещения по координатеz для различных значений  : сплошная линия соответствует   10 , пунктирная  7 , штрихпунктирная   4 , штрихпунктирная с двумя точками   1 .

На рисунке 2.9.2 приведены графики изменения перемещения по времени  для различных значений z : сплошная линия соответствует z  9 , пунктирная z  6 ,штрихпунктирная z  3 , штрихпунктирная с двумя точками z  0.1. На рисунке2.9.3 приведены графики изменения напряжённости электрического поля по координате z для различных значений  : сплошная линия соответствует   10 ,пунктирная   7 , штрихпунктирная   3 , штрихпунктирная с двумя точками  1 .

На рисунке 2.9.4 приведены графики изменения напряжённости электрического поля по времени  для различных значений z : сплошная линия соответ-110ствует z  3 , пунктирная z  6 , штрихпунктирная z  9 , штрихпунктирная с двумя точками z  0.1. На рисунке 2.9.5 приведены графики изменения плотностиэлектрических зарядов по координате z для различных значений  : сплошнаялиниясоответствует  10 ,пунктирная  7,штрихпунктирная  4,штрихпунктирная с двумя точками   1 . На рисунке 2.9.6 приведены графикиизменения плотности электрических зарядов по времени  для различных значений z : сплошная линия соответствует z  3 , пунктирная z  6 , штрихпунктирнаяz  9 , штрихпунктирная с двумя точками z  1.wzРис.

Характеристики

Список файлов диссертации