Диссертация (786059), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Ее решение записываем так:1u00L  r , s    GuuL 0 k  r , s U knL  s ,k 01uLn0 r, s    Gk 0Luunk1L r , s U  s    Guvnk r , s VknL  s ,Lkn1Ln0v(3.2.17)k 01L r , s    G  r , s U  s    Gvvnk r , s VknL  s   n  1 ,k 0LvunkLknk 0LLLLгде Guunk r, s  , Guvnk r, s  , Gvunk r, s  и Gvvnk r , s  - поверхностные функцииГрина, т.е.

решения следующих краевых задач:- при n  0s 2GuuL 0 k  l110  GuuL 0k  , GuuL 0k- при n  1r  rl k 1,l 1  l  0,1 ;(3.2.18)121LLLLLLs 2Guunk l11n  Guunk l21n  Guunk  l12n Gvunk , s 2Gvunk  l22n Gvunk,Luunk r  rlG k 1,l 1  l  0,1 , GLvunk r  r0GLvunk r  r1 0;LLLLLLs 2Guvnk l11n  Guvnk l21n  Guvnk  l12n Gvvnk , s 2Gvvnk  l22n Gvvnk,LGuvnkr  r0L Guvnkr  r1L 0, Gvvnkr  rl k 1,l 1  l  0,1 ,(3.2.19)(3.2.20)где  kl - символ Кронекера.Поскольку эти вопросы подробно исследованы в работе [110], то далее за исключением § 3.9 в граничных условиях (3.1.4) положим, чтоU k  ,    0, Vk  ,    0 .(3.2.21)При этом эта задача становится однородной. Следовательно, ее решение тривиальное:un0  r ,    0, vn0  r ,    0 (n  0) .(3.2.22)Решение задачи (3.2.3), (3.2.7), (3.2.12) удобно представить в интегральномвиде ( m  1):- при n  0r1L0mu r , s    GuuL 0  r , , s  fuL0,m1  , s  d  ;(3.2.23)r0- при n  1r1uLnm r , s    G  r , , s  fLuunr1Lun , m 1L , s  d    Guvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,r0r0r1r1r0r0(3.2.24)LLLvnm r , s    Gvun r , , s  funL,m1  , s  d    Gvvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,гдеfunL , m 1  , s   gu  ErnL , m 1  , s  , nL, m 1  , s   ,f vnL, m 1  , s   gv  ELn, m 1  , s  , H nL, m 1  , s   .LLLLЗдесь Guun, Gvunи Gvun, Gvvn- объемные функции влияния, т.е.

функции Гринакраевых задач, соответствующих уравнениям (3.2.3), (3.2.6) и граничным условиям (3.2.10), а именно:122- при n  0s 2GuuL 0 k  l110  GuuL 0 k     r    , GuuL 0r  r0 GuuL 0r  r1 0;(3.2.25)- при n  1LLs 2Guun l11n  Guun  l12n GvunL     r    ,LLs 2Gvun l21n  Guun  l22n GvunL  ,LGuunL Gvunr  r0r  r0L Guunr  r1(3.2.26)L Gvunr  r1 0.LLs 2Guvn l11n  Guvn  l12n GvvnL  ,LLs 2Gvvn l21n  Guvn  l22n GvvnL     r    ,LGuvnL Gvvnr  r0L Guvnr  r0r  r1L Gvvnr  r1(3.2.27) 0.Аналогичным образом при n  1 и m  0 записывается решение задачи (3.2.8),(3.2.14):r1HLnm r , s    s  GHnL  r , , s  lH unmL  , s  , vnmL  , s  d .2e(3.2.28)r0LЗдесь GHn- соответствующая объемная функция Грина, удовлетворяющаяследующей краевой задаче:1   rGHn    r   ,rrLnGLHns  G2e2eLHn 0.(3.2.29)r  r0 , r1Решение задачи (3.2.8) при m  0 , (3.2.13) записываем так:1HLn0L r , s     s     GHnk r , s  e0Lkn  s  ,2e(3.2.30)k 0Lгде GHnk- поверхностные функции Грина, определяемые следующими крае-выми задачами:1   rGHnk  0,rrLnGLHnks  G2e2eгде  kl - символ Кронекера.LHnk k 1,l 1  l  0,1 ,r  rl(3.2.31)123Здесь учтено, что согласно (3.1.14), (3.1.20), (3.2.21) и (3.2.22) имеют место равенства:lH  un0 , vn0   0, h0L VknL  s  , e0Lkn  s    s    e0Lkn  s  .(3.2.32)Аналогично (3.2.28) и (3.2.30) может быть записано решение задач (3.2.8),(3.2.15) и (3.2.16).

Однако, поскольку методы решения в обоих случаях практически идентичны, то ограничимся только первым вариантом.§ 3.3. Функции Грина для электромагнитной толстостенной сферыСначала подобно § 2.3 построим решение краевой задачи (3.2.29) [62,90]. Общее решение уравнения в соответствии с (П.2.2) записываем так:LGHn r, , s   C1n Z1n  e   C2n Z2n  e   GHnL   r, , s  , e  e rse(3.3.1)гдеLGHn  r , , s   D1Hn  r , , s  Z1n  e rse   D2 Hn  r , , s  Z 2 n  e rse (3.3.2)- частное решение.Производные функций D1Hn и D2Hn по r в соответствии с методом вариациипостоянных должны удовлетворять системе алгебраических уравнений:D1Hn Z1n  e rse   D2 Hn Z 2 n  e rse   0,e se  D1Hn Z1n  e rse   D2 Hn Z 2n  e rse     r    .(3.3.3)Ее решение находим с использованием равенства (П.3.1):D1Hn  r , , s   e se 2 Z 2 n  e se    r    ,D2 Hn  r , , s   e se 2 Z1n  e se    r    .Отсюда получаем:D1Hn  r , , s   e se 2 Z 2 n  e se  H  r    ,D2 Hn  r , , s   e se 2 Z1n  e se  H  r   (3.3.4)и по формуле (3.3.2) частное решениеL2GHn  r , , s   e se  Pen  e se , e rse  H  r    .Использованная здесь функция Pen  x, y  определена формулой (П.3.3).(3.3.5)124Далее принимаем во внимание, что в соответствии с (П.2.18), (П.3.4) и (П.3.7)справедливы следующие равенства:1   rZ k   e   e se e Z k   e    e seYk  2  e rse   k  1, 2  ,rre1   rGHn 1  rPen  e se , e rse  H  r      e se 2(3.3.6)rrr r  s 1 e Pen  e se ,  e    Pen  e se , e rse    r      e se 2  e er  e  eL e2 se2 2 Sen  e rse , e se  .Тогда с учетом (3.3.1) и граничных условий в (3.2.29) приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно постоянных C1n и C2n :C1nY3  e r0 se   C2 nY4  e r0 se   0,(3.3.7)C1nY3  e r1se   C2 nY4  e r1se   e se 2 Sen  e r1se , e se  .Решение системы уравнений (3.3.7) с использованием обозначения (П.3.5)можно записать так:C1n  e se 2Sen  e r1 se , e se Qen  e r0 se , e r1se C2 n  e se 2Y4  e r0 se  ,Sen  e r1 se , e se Qen  e r0 se , e r1se (3.3.8)Y3  e r0 se  .Подставляя эти постоянные интегрирования в (3.3.1) и учитывая (3.3.5), получаем следующее равенство для искомой функции Грина:LGHn r , , s   e se  2Sen  e r1 se , e se  Z1n  e rse  Y4  e r0 se   Z 2 n  e rse  Y3  e r0 se   Qen  e r0 se , e r1se  e se  2 Pen  e se , e rse  H  r    (3.3.9) S   r s ,  rs  S   r s ,  s  e se  2  en e 0 e e e en e 1 e e e  Pen  e se , e rse  H  r     .Qen  e r0 se , e r1se Далее на основании следствия П.6.1 эту функцию записываем так:LGHn r, , s   2 GHnL  r, , s  H    r   GHnL  , r, s  H  r    ,(3.3.10)125гдеLGHn r , , s   e seSen  e r1se , e se  Sen  e r0 se , e rse Qen  e r0 se , e r1se .Соответствующие поверхностные функции Грина как решения задач (3.2.31) сучетом (3.3.1) записываем следующим образом:LGHnk r, , s   C1nk Z1n  e rse   C2nk Z2n  e rse  .(3.3.11)Для входящих в это равенство произвольных постоянных из граничных условий аналогично (3.3.7) получаем систему уравненийC1nk Y3  e r0 se   C2 nk Y4  e r0 se   C1nY3  e r1se   C2 nY4  e r1se   k 1,1e sek 1,2e se,(3.3.12).Ее решение с учетом обозначения (П.3.5) имеет вид:C1nk C2 nk k 1,2Y4  e r0 se   k 1,1Y4  e r1 se e se Qen  e r0 se , e r1se k 1,1Y3  e r1 se   k 1,2Y3  e r0 se e se Qen  e r0 se , e r1se ,(3.3.13).Подставляя этот результат в (3.3.11) с учетом (П.3.7), получаем искомыефункции:LGHn0  r, s   Sen  e r1se , e rse e se Qen  e r0 se , e r1se L, GHn1  r, s  Sen  e r0 se , e rse e seQen  e r0 se , e r1se .

(3.3.14)Для определения оригиналов функций в (3.3.10) и (3.3.14) с использованием(П.3.18) и (П.3.19) сначала выражаем их через элементарные функции:LGHn r , , s    1LHn 0G r, s  nE30 n  e r1se , e se  E30 n  e r0 se , e rse 2e2 n 1se2 n 1n 1r n 1 E33n  e r0 se , e r1se r0 n  2 E30 n  e r1se , e rse r n 1 E33n  e r0 se , e r1se LHn1,G r, s   ;r1n  2 E30n  e r0 se , e rse r n 1 E33n  e r0 se , e r1se (3.3.15)(3.3.16)Далее с учетом (П.3.16) записываем экспоненциальный многочлен в знаменателях последних формул так:126E33n  e r0 se , e r1se   Rn 3  e r0 se  Rn 3  e r1se  ee hse 1  Bn3  e r0 se  Bn3  e r1se  e 2e hse  , (3.3.17)Bn 3  z   Rn 3  z  Rn 3   z  , h  r1  r0 .Принимая во внимание, что в некоторой правой полуплоскости Re s   имеет место неравенствоBn3  e r0 se  Bn3  e r1se  e2e hse  1,(3.3.18)получаем следующий ряд:11E33n  e r0 se , e r1se  Rn 3  e r0 se  Rn 3  e r1se Bln3l 0 e r0 se  B  e r1se  eln3(3.3.19)  2 l 1 e hse.Подставляя его в (3.3.10) и (3.3.14), приходим к таким разложениям:LHnG4 r , , s    GHnlk  L  r , , s eelk r ,  se,(3.3.20)l  0 k 1где l1 LGHnl 2 LGHn GHnl3 Ll 4 LGHn r , , s   r , , s   r , , s   r , , s   12 n 1 n 1 n 1 2 n 1ee2 1Gгдеn srRn 0  e se  Rn 0  e rse 2 n 1 n 1 n 1 2 n 1ee2 1n srRn 0  e se  Rn 0  e rse 2 1n 1 srRn 0  e se  Rn 0  e rse 2 n 1 n 1 n 1 2 n 1ee2r0n  2r n 1n21n 1r r, s  r sr3 G l 0 k 23(3.3.21)Bnl 3  e r0 se  Bnl 31  e r1se  ,Bnl 31  e r0 se  Bnl 31  e r1se  ;lk  LHn 0 r , s e  lk  L r , s eelk r , r0  se,(3.3.22) Gl 0 k 2Bnl 3  e r0 se  Bnl 3  e r1se  ,Bnl 31  e r0 se  Bnl 3  e r1se  ,2 n 1 n 1 n 1 2 n 1eeLGHn0  r, s  LHn1Rn 0  e se  Rn 0  e rse n 1Hn1elk  r , r1  se,127 GHn0  r, s   l2 LRn 0  e rse Rn 3  e r0 se l3 LRn 0  e rse l 2 LRn 0  e rse  GHn0  r, s  Rn 3  e r0 se GHn1 r, s   GHn1 r, s   l3 LRn 3  e r1 se Bnl 3  e r0 se  Bnl 3  e r1se  ,Bnl 3  e r0 se  Bnl 31  e r1se  ,(3.3.23)Bnl 31  e r0 se  Bnl 3  e r1se  ,Rn 0  e rse Rn 3  e r1 se Bnl 3  e r0 se  Bnl 3  e r1 se  .В формулах (3.3.20) и (3.3.22) времена запаздывания elk  r ,   определяютсяравенствами:el1  r ,    e  2lh  r    , el 2  r ,    e  2l  1 h  r    r0  r1  ,el 3  r ,    e  2l  1 h  r    r0  r1  , el 4  r ,    e  2  l  1 h  r    .(3.3.24)Все изображения в (3.3.21) и (3.3.23) имеют одинаковую структуру:g L  s   f L  e se  ee se , f L  s   R  s  , e   elk  r ,   ,(3.3.25)где R  s  - правильная рациональная дробь,   0 .Для вычисления оригинала функции (3.3.25) используем свойство преобразования Лапласаe g     g1   e  , g1L  s   f L  se  ese , se  s  s  e   , (3.3.26)находим оригинал функции g1L  s  с помощью таблицы П.1.2g1     ee  2e   tf  t     e  2 2  I1   t  dt  H      f    2222  tа затем с помощью (3.3.26) и замены переменной интегрирования получаемследующий результат:e g     e 2 e2  e tf  t      2  f   e    I1   e2 t 22222    e t2e 2 dt tf  t e      2 2I1  t f   e     2 e22  t 2 H    e    (3.3.27) dt H    e   .128При этом функции f  t  достаточно просто могут быть определены с использованием теоремы разложения как оригинал изображения R  s  .Однако, для реальных сред параметр e  1 .

Характеристики

Список файлов диссертации