Диссертация (786059), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

(3.5.15)N33  s  N 43  s Zn  s   N34  s   N 44  s  Подставляя (3.5.15) в (3.5.13), с учетом (П.5.6) приходим к следующему реLLзультату (формулы для функций uunи vunне выписываются, поскольку онидалее не используются):LZ n  s  Guun r , , s   1  Run1  rs, r0 s, r1s  Ruun  r1s, s   n  n  1 Run 2  rs, r0 s, r1s  Rvun  r1s, s   ,Zn  s  GLvun r , , s    Rvn1  rs, r0 s, r1s  Ruun  r1s, s   Run1  r1 s, r0 s, rs  Rvun  r1s, s   ,1(3.5.16)где стоящие в правых частях функции определены равенствами (3.5.12) и(П.5.17), (П.5.18).LLДля определения функций Guvnи Gvvn n  1сводим систему уравнений в(3.2.27) к системе первого порядка, и в соответствии с (П.2.16) и обозначением(П.4.1) аналогично (3.5.9) записываем ее общее решение так:LG vn r , , s   Xn  r , s  Avn  G vnL   r , , s  ,L Guvn A1vn  L A LLuvn GuvnGvvn2 vn LLLG vn  L , A vn , ,  vun . Gvvn  B1vn  uvnrr L  B2 vn   vvn (3.5.17)143LЗдесь G vn- столбец частных решений, который подобно (3.5.10), (3.5.11)находим методом вариации постоянных (учитываем, что во втором уравнении в(3.2.27) коэффициент при старшей производной равен 2 ):LG vn  r , , s   X n  r , s  Dvn , X n  r , s  Dvn  Fv ,(3.5.18)Dvn   D1vn , D2vn , D3vn , D4vn  , Fv   0,0,0, 2   r     .TTРешение этой системы уравнений с использованием (П.4.9) и (П.4.12) записывается так:Dvn  WU1  M 41 ,  M 42 , M 43 ,  M 44 Tr 2   r    ,Dvn  Dvn  s  H  r    ,(3.5.19)Dvn      n  n  1 Z 2 n    , n  n  1 Z1n    , 3Y4 n    , 3Y3n     .TСледовательно, с учетом (П.3.5), (П.4.29) и (П.4.13) частное решение имеетLLвид (формулы для функций uvnи vvnне выписываются, поскольку они далее неиспользуются):LLG vn  r , , s   G vn  r , , s  H  r    ,LG vn  r , , s   X n  r , s  Dvn  s  LLLL  GuvnuvnGvvn vvn  r , , s  ,  r , , s  ,  r , , s  ,  r , , s   ,T(3.5.20)LLGuvn  r , , s    n  n  1 Ruvn  rs, s  , Gvvn  r , , s   Rvvn  rs , s  ,гдеyySen  y, x   Sun  x, y    Rvun  y, x  ,xxn  n  1Rvvn  x, y   3 yQen  x, y  Pen  x, y  .xRuvn  x, y   2Тогда из формул (3.5.17) - (3.5.20) получаем следующий результат для искомых функций влияния:144LG vn r , , s   2G vnL  r , , s   G vnL   r , , s  H  r    ,LG vn r , , s   2 Xn  r , s  Avn  , s  (3.5.21)LLLL n  n  1 Guvn r , , s  , uvn r , , s  , Gvvn r , , s  , vvn r , , s  .TПри этом столбец произвольных постоянных должен удовлетворять вытекающей из (3.5.21) и граничных условий в (3.2.27) аналогичной (3.5.14) системеуравнений:00,Z n  s  A vn  , s    L Guvn  r1 , , s   L Gvvn  r1 , , s  (3.5.22)Сравнивая теперь (3.5.21) и (3.5.22) с равенствами (3.5.13) и (3.5.14), приходимLLк аналогичным (3.5.16) равенствам (формулы для функций uvnи  vvnне выписы-ваются, поскольку они далее не используются):LZ n  s  Guvn r , , s   1  Run1  rs, r0 s, r1s  Ruvn  r1s, s   Run 2  rs, r0 s, r1 s  Rvvn  r1s, s   ,Zn  s  GLvvn r , , s   1 n  n  1 Rvn1  rs, r0 s, r1s  Ruvn  r1s, s   Run1  r1 s, r0 s, rs  Rvvn  r1s, s   .(3.5.23)LLLОкончательно в соответствии со следствием П.6.3 функции Guun, Gvun, GuvnиLGvvnзаписываем так:LLLGuun r , , s   2 Guun r , , s  H    r   Guun , r , s  H  r    ,LLLGvun r , , s   2 Gvun r , , s  H    r   Guvn , r , s  H  r    ;LLLGuvn r , , s   2 n  n  1 Guvn r , , s  H    r   Gvun , r , s  H  r    ,LLG  r , , s    Gvvn r , , s  H    r   Gvvn , r , s  H  r    ,Lvvn2(3.5.24)(3.5.25)LLLLгде функции Guun, Gvun, Guvnи Gvvnопределяются равенствами (3.5.16) и(3.5.23).Для проверки рассмотрим частный случай при n  0 .

Из формул (П.2.17),(П.4.2), (П.4.4), (3.5.12) и (П.5.17) получаем следующие равенства:145X 30  z   0, X 40  z   0;b0  z   1, c0  z   1 (3.5.26)1;z2(3.5.27)Ruu 0  x, y   yPu 0  x, y  , Ru 01  x, y, z   Pu 0  y, x  Qe0  y, z  . (3.5.28)Подставляя последние равенства в (П.5.5) и (3.5.16) приходим к таким результатам:Z0  s   Rz 0  r0 s, r1s  , R00  x, y    Pz 0  x, y  Qe0  x, y  ;GuuL 0  r , , s  sPu 0  r1s, s  Pu 0  r0 s, rs  Qe 0  r0 s, r1s Pu 0  r0 s, r1s  Qe 0  r0 s, r1s s(3.5.29)Pu 0  r1s, s  Pu 0  r0 s , rs Pu 0  r0 s, r1s ,что полностью соответствует формуле (3.5.8).§ 3.6.

Оригиналы объемных функций влияния для упругой толстостеннойсферыДля вычисления оригиналов функций влияния в (3.5.24) и (3.5.25) используемформулы (П.5.19) – (П.5.21) и аналогично преобразованные выражения в (3.5.12)и (3.5.20):Ruun  x, y  Rvun  x, y  Ruvn  x, y  Rvvn  x, y   1n22 n 1 x n  2 y n 1 1n22 n 1 x n  2 y n 1 1n 122 n 1 x n  2 y n 1 1n22 n 1 x n  2 y n 1Luun  x, y  ,Lvun  x, y  ,(3.6.1)Lvun  y, x  ,Lvvn  x, y  .гдеLuun  x, y   2 n 1 E11n  x, y   n  n  1 E00 n  x, y  ,Lvun  x, y   E30 n  x, y   2 n 1 E10 n  y, x  ,Lvvn  x, y   E33n  x, y   n  n  1 2 n 1 E00 n  x, y  .146Далее, используя (П.3.20), записываем экспоненциальные многочлены в (3.6.1)в явном виде: x yLuun  x, y    Puun Puun  x, y  e  x, y  e12 x  y  yx Puun Puun   x,  y  e   x,  y  e12 x yLvun  x, y    Pvun Pvun  x, y  e  x, y  e12 Pvun   x,  y  e1yx Pvun   x,  y  e2 x  y  y  x (3.6.2), yx Pvvn Pvvn   x,  y  e   x,  y  e1, 2 x yLvvn  x, y    Pvvn Pvvn  x, y  e  x, y  e1 x  y  y  x 2 y  x ,где 2 n 1PuunRn1   x  Rn1  y  , Puun  x, y     x, y   n  n  1 Rn 0  x  Rn 0  y  ,12 2 n 1PvunRn1  y  Rn 0   x  , Pvun  x, y     x, y   Rn 3  x  Rn 0  y  ,12 2 n 1PvvnRn 0   x  Rn 0  y  , Pvvn  x, y   n  n  1   x, y   Rn 3  x  Rn 3  y  .12Подставляя теперь в (3.5.16) и (3.5.23) равенства (3.6.1), (3.6.2) и (П.5.19) –(П.5.21),приходимкследующимпредставлениемфункцийвлиянияLLLLGuun r, , s  , Gvun r, , s  , Guvn r, , s  : r, , s  и GvvnLuunGLvunG r , , s    r , , s   LGuvn r , , s   LvvnG r , , s    1Fuun  s n2 n 1 n  2 n  2 2 n  32r 1sFvun  s n2 n 1 n  2 n  2 2 n  32r 1sr 1srLzn  r0 s, r1s Fvvn  s n2 n 1 n  2 n  2 2 n  32Lzn  r0 s, r1s Fuvn  s n2 n 1 n  2 n  2 2 n  32Lzn  r0 s, r1s sLzn  r0 s, r1 s ,,(3.6.3),,гдеFuun  s   Luun  r1s, s  Lun1  rs, r0 s, r1s   n  n  1 Lvun  r1s, s  Lun 2  rs, r0 s, r1s  ,Fvun  s   Luun  r1s, s  Lvn1  rs, r0 s, r1s   Lvun  r1s, s  Lun1  r1s , r0 s , rs  ,Fuvn  s    Lvun  s, r1s  Lun1  rs, r0 s, r1s   Lvvn  r1s, s  Lun 2  rs, r0 s, r1s  ,Fvvn  s   n  n  1 Lvun  s, r1 s  Lvn1  rs, r0 s, r1s   Lvvn  r1s, s  Lun1  r1s, r0 s, rs  .147Входящие в последние равенства функции Lun1 , Lun 2 и Lvn1 определяются формулами (П.5.20) и (П.5.21).Функции Fuun  s  , Fvun  s  , Fuvn  s  и Fvvn  s  в формулах (3.6.3) согласно (3.6.2)и (3.6.3) имеют структуры экспоненциальных многочленов 1Fuun  s    Puun rs, s  e 1 r , s1Fuvn  s    Puvn 3  rs, s  e 2, Fvun  s    Pvun rs, s  e 2 r ,  s,23  r ,   s3, Fvvn  s    Pvvn 4  rs, s  e 4  r ,   s(3.6.4),4конкретный вид которых находится методами компьютерной алгебры в проLLLцессе вычисления оригиналов функций Guun r, , s  , Gvun r, , s  , Guvn r, , s  иLGvvn r, , s  .Для замыкания алгоритма определения оригиналов этих функций, используя(П.5.22), представляем экспоненциальный многочлен в знаменателе так:4Lzn  r0 s, r1s    Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  1   Bkn  r0 s, r1s  e zk s  e  hs (3.6.5) k 1где z1  2h,  z 2   h,  z 3  2h,  z 4  2 h   z1   z 3 ,B1n  x, y   B3n  x, y   Dn   x, x  Dn  y,  y Dn  x, x  Dn   y,  y Dn  x,  x  Dn   y, y Dn  x, x  Dn   y,  y , B2 n  x, y  , B4 n  x, y  8n  n  1 2 n 1 x 2 n 1 y 2 n 1Dn  x, x  Dn   y ,  y Dn   x,  x  Dn  y , y Dn  x, x  Dn   y ,  y ,.Отметим, что при n  0 с учетом (П.5.24) выражение (3.6.5) существенноупрощается:Lz 0  r0 s, r1s    D0  r0 s, r0 s  D0  r1s, r1s   1  B10  r0 s, r1s  ez1s  1  B30  r0 s, r1s  e z 3 s  e hs .(3.6.6)Далее аналогично (3.4.25), (3.4.26), принимая во внимание, что в некоторойправой полуплоскости Re s   имеет место неравенство4 B  r s, r s  ek 1kn01 zk s 1,(3.6.7)148получаем следующий ряд [1]:1Lzn  r0 s, r1s 41l s 1   l;   e  Bknlk  r0 s, r1s ,Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  l  0 lk 1(3.6.8)44l!   l1 , l2 , l3 , l4  ,    lk ,  l ;   ,    z 2    zk lk ,l1 !l2 !l3 !l4 !k 1k 1где  - мультииндекс;  - его модуль;  l ;   - мультиномиальный коэффициент.Окончательно изображения (3.6.3) принимают следующий вид:LuunGLvunG r , , s   r , , s  LGuvn r , , s  LvvnG r , , s   1n22 n 1r n  2 n  2 1n22 n 1r n  2 n  2 1n22 n 1r n  2 n  2 1n22 n 1r n  2 n  2  1  Qll 01   l1l uun  1  Qll 02  l 2 l vunl 03   l 3 l uvn  1  Ql 0l4  l  1  r ,    s s e,  2  r ,    s,(3.6.9)  1   Ql s e 4l vvn s e  3  r ,    s s e  4  r ,    s,,где4 l;   Puun rs, s Quun  s   2 n  3Bknl  r0 s, r1s ,s Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  k 14 l;   Pvun   rs, s  l Qvun  s   2 n  3Bknl  r0 s, r1s ,s Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  k 14 l;   Puvn   rs, s  l Quvn  s   2 n  3Bknl  r0 s, r1s ,s Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  k 14 l;   Pvvn   rs, s   l Qvvn  s   2 n  3Bknl  r0 s, r1s .s Dn  r0 s, r0 s  Dn  r1s, r1s  k 1 l kkkk l  l  l  l Очевидно, функции Quun s  , Qvun s  , Quvn s  , Qvvn s  являются рацио-нальными дробями.

Характеристики

Список файлов диссертации