Диссертация (786059), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Электрические параметры принимаемтакими же, как и в § 2.9, а начальные значения электромагнитного поля таковыми:e 0  r  2, E0  r .rВозмущение на внутренней поверхности имеет вид (3.9.30).(3.9.38)171Привычисленииинтеграловиспользоваласьквадратурнаяформулапрямоугольников с числом шагов по пространственной переменной nr  25 и повремени n  50 .На рис. 3.9.1 и 3.9.2 [92] представлены распределения перемещений инапряженности E  Er электрического поля по координате r в различныемоменты времени.

Сплошные кривые соответствуют учету шести первых членовряда разложений (3.2.1), а штриховые – нулевым членам u0  r ,   и e0  Er 0 .Отметим, что результаты, полученные с учетом только нулевых членов рядов,соответствуют несвязанной задаче электромагнитоупругости. При этом на рис.3.9.2 в момент времени   0.7 наблюдается следующий эффект: в случаенесвязанной задачи перемещения перед фронтом волны, находящимся в этотмомент в точке r  1.7 , отсутствуют, в то время как в случае связанной задачи онине равны нулю. Это объясняется индуцированием их электромагнитным полем.Кроме того, следует отметить существенное количественное различие результатовдля связанной и несвязанной задач.Рис.

3.9.1Рис. 3.9.2На рисунках 3.9.3 и 3.9.4 представлены зависимости перемещений инапряженности электрического поля от времени в точке с координатой r  1.5 .Здесь сплошные и штриховые линии имеют тот же смысл, что и на предыдущих172двух рисунках.Рис.

3.9.3Рис. 3.9.4Сходимость рядов разложений по малому параметру проиллюстрирована нарис.3.9.5и3.9.6.Здесьизображеныраспределенияперемещенийинапряженности электрического поля по координате r в момент времени   3.5 :кривые с номером «0» соответствуют учету только нулевых членов рядов; сномером «1» – нулевых и первых членов; с номером «2» – нулевых, первых ивторых членов и т.д. Видно, что кривые, построенные при учете пяти и шестичленов рядов, практически не отличаются.Рис.

3.9.5Рис. 3.9.6173В качестве альтернативного построенным выше аналитическим решениям длявсехуказанныхвышеизображенийиспользуемчисленноеобращениепреобразования Лапласа [60,61,67,92,93].Для численного обращения преобразования Лапласа применяем формулубыстрого преобразования Фурье [196]:f () 2  e  Re  f L (  i)  cos()d  ,0(3.9.39)где   0 - произвольный вещественный параметр.В стандартных программах численного обращения преобразования Лапласа,для интегрирования используются методы трапеций или прямоугольников,имеющие недостаточную скорость сходимости.

В отличие от них воспользуемсясредствамиширокораспространенногопакетаMaple.Такойподходпредставляется рациональным в смысле того, что эти алгоритмы имеютпроцедуры анализа подынтегральной функции, и в зависимости от ситуациивыбирают наиболее подходящий метод с учетом контроля размера шага, сильнойосцилляции, наличия особенностей и др. При этом формула (3.9.39) заменяетсяприближенным аналогомf () 2  e  Re  f L (  i)  cos()d  ,0(3.9.40)где  - достаточно большое положительное число.Следует отметить, что точность всех без исключения алгоритмов численногообращения, основанных на приближенном вычислении интеграла (3.9.39),существенно зависит от значения параметра  .

Единых рекомендаций по еговыбору не существует, т.к. численное обращение преобразования Лапласаявляется некорректной задачей. Поэтому на практике предварительно проводитсяподбор значения параметра  , обеспечивающего сходимость по числу шаговразбиения промежутка интегрирования и по значению  .При использовании встроенных алгоритмов Maple эта процедура сводится кдвум этапам. Первый из них состоит в подборе такого значения параметра  , прикотором с увеличением  в два раза относительная погрешность результатов,174полученных по формуле (3.9.40), составляет менее 5%, что обеспечиваетсходимость алгоритма.

Кроме того, результаты должны изменяться мало прималом изменении параметра  , что обеспечивает практическую устойчивостьалгоритма по Ляпунову. Поэтому на втором этапе проводится проверкаустойчивости по этому практическому критерию. Полученные значения  и проверяются на тестовых примерах численного обращения изображенийфункций, оригиналы которых известны.Полученныетакимобразомрезультатыпрактическисовпадаютсполученными выше. Однако сложности с подбором значений  и  все жеговорят в пользу аналитических методов, если они возможны.

Поэтому далее вболее сложных задачах остановимся на их применении.В качестве второго примера рассмотрим толстостенную сферу с теми же,геометрическимихарактеристиками.Электрическиепараметрыпринимаемследующими:   5,06;   0,0806 (материал алюминий, E  100в м ). Начальноеэлектрическое поле характеризуется параметрами (3.9.34), а перемещениявнутренней поверхности имеют вид:U 0      ,(3.9.41)что, согласно (3.4.14), приводит к следующему равенствуU0s   11  e  H    .(3.9.42)Аналогичные представленным на рис.

3.9.1 – 3.9.4 результаты расчетовприведены на рис. 3.9.7 – 3.9.10. Кривые, изображённые сплошной иштрихпунктирной линиями на рис. 3.9.7, 3.9.8 соответствуют нулевымприближениям соответственно при   0.7 и   1.8 . Кривые, изображённыесплошной линией на рис. 3.9.9, 3.9.10 соответствуют нулевому приближению приr  1.5 . Очевидно, что в силу меньшего параметра  в этом примере рядысходятся значительно быстрее.175Рис. 3.9.7Рис. 3.9.8176Рис. 3.9.9Рис. 3.9.10177Глава 4Нестационарные волны в электромагнитоупругом пространстве со сферической полостью§ 4.1.

Электромагнитоупругое пространство со сферической полостью поддействием нестационарных поверхностных возмущенийВ качестве частного случая результатов главы 3 рассматриваем осесимметричное движение электромагнитоупругого пространства со сферической полостью радиуса r0 [88,58]. При этом остаются в силе предположения (3.1.1), (3.1.2),(3.1.8) и начальные условия (3.1.3).

Граничные условия (3.1.4) или (3.1.5) преобразуются так:u r r  U 0  ,  , v r r  V0  ,   , E00r  r0 e00  ,   .(4.1.1) er 00  ,   ,(4.1.2)илиu r r  U 0  ,  , v r r  V0  ,   , Er00r  r0К ним добавляются условия ограниченности компонентов напряженнодеформированного состояния и электромагнитного поля на бесконечности.Решение этой задачи по-прежнему представляем в виде рядов (3.1.6) и (3.1.7).Для коэффициентов рядов остаются в силе все соотношения (3.1.9) -(3.1.18). Граничные условия (4.1.1) или (4.1.2) аналогично (3.1.20) или (3.1.21) с использованием разложений (3.1.19) их правых частей переходят в следующие равенстваотносительно коэффициентов рядов:1   rH n  e2 h0 V0 n    , e00     n  1 ,r  r0r r r r(4.1.3)0vnr  r0 V0 n    ,unr  r0 U 0n     n  0 .илиvnunn  n  1Hnrr  r0 V0 n    ,r  r0 U 0n    n  0. e2 hr 0 U 0 n    , er 00 n    r  r0r  r0 n  1 ,(4.1.4)При этом функции U 0    и er 000    не являются независимыми и связанымежду собой соотношением (3.1.22).178Дополнительным условием является ограниченность этих коэффициентов набесконечности.В пространстве преобразований Лапласа по времени  остаются в силе все соотношения (3.1.23) - (3.1.27), а вместо граничных условий (3.1.28) или (3.1.29)имеют место следующие равенства:1   rH n V s,r rLLn r r0vunLvnLunLr  r0r  r0r  r0L0nL e2 h0L V0Ln  s  , e00n  s r  r0 n  1 ,(4.1.5)r  r0 U 0Ln  s   n  0  ; V0Ln  s  ,n  n  1r e2 hrL0 U 0Ln    , erL00 n  s  H nLr  r0r  r0 n  1 ,(4.1.6) U 0Ln  s   n  0  .К ним опять же добавляются условия ограниченности изображений на бесконечности.Для решения поставленной задачи так же, как и в главе 3, используются разложения (3.2.1) искомых функций в степенные ряды по малому параметру  .

Дляих коэффициентов остаются справедливыми (3.2.2) – (3.2.10).Соответствующие граничные условия принимают следующий вид:unL0Lunmr  r0r r0 U 0Ln  s   n  0  , vnL0L vnmL1   rH n 0 rrr r0r  r0 V0Ln  s L 0  n  0, m  1 , vnmr r0L e2 h0L V0Ln  s  , e00n  s  n  1 ; 0  n  1, m  1 ;r  r0 n  1 ;(4.1.7)(4.1.8)(4.1.9)r  r01   rH nm rrL 0  n  1, m  1 .(4.1.10)r  r0В случае граничных условий (4.1.2) последние два соотношения согласно(4.1.6) записываются так:179n  n  1r e2 hrL0 U 0Ln    , erL00 n  s  H nL0r  r0r  r0 n  1 ;n  n  1 LH nm 0  n  1, m  1 .rr r(4.1.11)(4.1.12)0К ним опять добавляется требование ограниченности всех искомых функций.Так же, как и в главе 3, задача (3.2.2), (3.2.6), (4.1.7) является чисто упругой.Ее решение подобно (3.2.17) записываем так:Lu00 r , s   GuuL 00  r , s U 0Ln  s  ,LLLLunL0  r , s   Guun0  r , s U 0 n  s   Guvn 0  r , s V0 n  s  ,(4.1.13)LLLLvnL0  r , s   Gvun0  r , s U 0 n  s   Gvvn 0  r , s V0 n  s   n  1 ,LLLLгде Guun0  r , s  , Guvn 0  r , s  , Gvun 0  r , s  и Gvvn 0  r , s  - поверхностные функцииГрина, т.е.

ограниченные решения следующих краевых задач:- при n  0s 2GuuL 00  l110  GuuL 00  , GuuL 00r r0 1;(4.1.14)- при n  1LLL2 LLLs 2Guun0  l11n  Guun 0   l12 n  Gvun 0  , s Gvun 0  l21n  Guun 0   l22 n  Gvun 0  ,LGuun0r  r0L 1, Gvun0r  r0 0;LLL2 LLLs 2Guvn0  l11n  Guvn 0   l12 n  Gvvn 0  , s Gvvn 0  l21n  Guvn 0   l22 n  Gvvn 0  ,LGuvn0r  r0L 0, Gvvn0r  r0 1,(4.1.15)(4.1.16)Далее по аналогичным сформулированным в § 3.2 соображениям везде за исключением § 4.8 полагаем, чтоU 0  ,    0, V0  ,    0 .(4.1.17)При этом эта задача (3.2.2), (3.2.6), (4.1.7) становится однородной, и, следовательно, ее решение тривиальное, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации