Диссертация (786059), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Покажем, что они являются правильными. Из (П.2.20) и(П.3.16) следует, что степени указанных там многочленов таковы:149deg Rn0  z   n, deg Rn1  z   deg Rn3  z   n  1 .(3.6.10)Учитывая эти равенства, последовательно находим степени экспоненциальныхмногочленов аргумента s в (П.3.20)deg E00 n  s, s   2n, deg E11n  s, s   deg E33n  s, s   2  n  1 ,deg E10 n  s, s   deg E30 n  s, s   2n  1;(3.6.11)и в (3.6.1) и (П.5.19) - (П.5.21):deg Luun  s, s   deg Lvvn  s, s   2  n  1 , deg Lvun  s, s   2n  1; (3.6.12)deg Lzn  s, s   deg Lun1  s, s, s   4  n  1 ,deg Lun 2  s, s, s   deg Lvn1  s, s, s   4n  3.(3.6.13)Отсюда получаем, что степень знаменателя в (3.6.3) равна 6n  7 , а степеничислителей определяются следующим образом:deg Fuun  s   deg Fvvn  s   6  n  1 , deg Fvun  s   deg Fuvn  s   6n  5 .

(3.6.14)Таким образом, оригиналы каждого из слагаемых в (3.6.9) могут быть найденыточно с помощью соответствующих теорем операционного исчисления.Окончательно для оригиналов искомых функций влияния при n  1 в соответствии с (3.5.24) и (3.5.25) получаем следующие равенства:Guun  r , ,    2 Guun  r , ,   H    r   Guun  , r ,   H  r     ,Gvun  r , ,    2 Gvun  r , ,   H    r   Guvn  , r ,   H  r     ,Guvn  r , ,    n  n  1  2 Guvn  r , ,   H    r   Gvun  , r ,   H  r     ,(3.6.15)Gvvn  r , ,    2 Gvvn  r , ,   H    r   Gvvn  , r ,   H  r     .Как показано в (3.5.17) – (3.5.20) функцию влияния Guu 0  r , ,   можно находить, используя первое равенство в (3.6.15) при n  0. Однако удобнее ее вычислять непосредственно как оригинал изображения (3.5.8):Guu 0  r , ,    2 Guu 0  r , ,   H    r   Guu 0  , r ,   H  r    .(3.6.16)С этой целью аналогично проделанному ранее, используя (П.3.20) и (П.4.36),выразим входящую в (3.5.8) функцию GuuL 0  r , , s  через экспоненциальные многочлены:150GuuL 0  r , , s  E110  r1s, s  E110  r0 s, rs 2s 3 r 2 2 E110  r0 s, r1s ,(3.6.17)E110  x, y   R01  x  R01   y  e y  x  R01   x  R01  y  e x  y .Далее преобразовывая знаменатель подобно (3.6.5)E110  r0 s, r1s   R01  r0 s  R01  r1s  e hs 1  X 10  r0 s, r1s  e 2 hs  ,R01   x  R01  y X 10  x, y    B10  x, y  R01  x  R01   y (3.6.18),окончательно аналогично (3.6.9) записываем функцию GuuL 0  r , , s  так:Luu 0G1 r , , s   2 22r 4 Q   s  el  0 1luu 0  hl   r ,   s,(3.6.19)гдеQuu 0  s  1lR01  r1 s  R01  s  R01  rs s R01  r1s 3Quu 0  s   2lQuu 0  s   3lQuu 0  s  4lR01  s  R01  rs X 10l  r0 s, r1s  ,3X 10l 1  r0 s, r1s  ,3X 10l  r0 s, r1s  ,sR01  s  R01  rs sR01  s  R01  r0 s  R01  rs s R01  r0 s 3X 10l  r0 s, r1s  ,1  r ,      r  r1  r0 , 2  r ,      r  h, 3  r ,    r    h,4  r ,    r1  r0    r , hl   2l  1 h. l Поскольку функции Quu0  s  являются правильными рациональными дробями,то оригинал каждого слагаемого в (3.6.19) находится с помощью соответствующих теорем операционного исчисления.В качестве примера рассмотрим сферу с радиусами r0  1, r1  2 , материал которой является алюминием, что соответствует параметру   2,04 [112].На рис.

3.6.1-3.6.4 [50] приведены построенные при   0.5 и   1.5 графикираспределения функций влияния Guun , Gvun , Guvn и Gvvn по радиусу: сплошныекривые соответствуют n  1 , а штриховые - n  2 .151Рис. 3.6.1.Рис. 3.6.2.Рис. 3.6.3.152Рис. 3.6.4.§ 3.7. Нестационарное движение упругой толстостенной сферы под действием объемных силРассмотрим вспомогательную задачу об осесимметричном движении упругойтолстостенной сферы под действием объемных сил с радиальной Fr  r , ,   итангенциальной компонентами F  r , ,   [50]. Ее движение описывается уравнениями (1.5.25). Аналогично (3.1.3) полагаем, что в начальный момент возмущенияотсутствуют:u 0  u 0  v 0  v 0  0.(3.7.1)С учетом замечания (3.2.21) полагаем, что соответствующие граничные условия в (3.1.4) однородные ( k  0,1):u r r  v r r  0 .k(3.7.2)kТогда с использованием разложений (3.1.6) из (3.2.23) и (3.2.24) получаем следующие интегральные представления для изображений коэффициентов рядов дляперемещений:- при n  0r1L0u r , s    GuuL 0  r , , s  FrL0  , s  d  ;r0(3.7.3)153- при n  1r1uLnr1L r , s    G  r , , s  F  , s  d    Guvn r , , s  FLn  , s  d ,LuunLrnr0r0r1r1r0r0(3.7.4)LLvnL  r , s    Gvun r , , s  FrnL  , s  d    Gvvn r , , s  FLn  , s  d .В пространстве оригиналов эти формулы преобразовываются так:- при n  0r1u0  r ,     Guu 0  r , ,    Fr 0  ,   d  ;(3.7.5)r0- при n  1r1r1r0r0r1r1r0r0un  r ,     Guun  r , ,    Frn  ,   d    Guvn  r , ,    Fn  ,   d ,(3.7.6)vn  r ,     Gvun  r , ,    Frn  ,   d    Gvvn  r , ,    Fn  ,   d .Ядра этих представлений определяются формулами (3.6.15) и (3.6.16).В качестве примера движения сферы с указанными в предыдущем параграфехарактеристиками рассмотрим действие на нее объемной силы, направленной пооси Oz (см.

§§ 1.4, 1.5): F1  F2  0, F3  H    . Тогда ненулевые координаты вектора объемной силы в сферической системе координат определяются так:Fr  r , ,    H    cos  , F  r , ,     H    sin  , что соответствует следующимкоэффициентам рядов [1, 111]:Fr1  r ,    H    , F1  r ,     H    ,Fr 0  r ,   Frn  r ,    Fn  r ,    0, n  2 .При этом, согласно (3.7.5) и (3.7.6), имеет место поступательное движениесферы:u  r , ,   u1  r ,  cos , v  r , ,    v1  r ,   sin  . Графики распределенияфункций u1  r ,   и v1  r ,   по радиусу представлены на рис. 3.7.1 и 3.7.2.

Номеракривых отвечают следующим моментам времени: 1 -   0.5 ; 2 -   1 ; 3 -   1.5 ; 4-   2.154Рис. 3.7.1.Рис. 3.7.2.§ 3.8. Распространение осесимметричных нестационарных поверхностныхвозмущений в электромагнитоупругой толстостенной сфереПостановка этой задачи приведена в § 3.1. Ее решение представлено в видерядов (3.1.6) по углу  и (3.2.1) по малому параметру  .

Как показано в §§ 3.2 –3.7, коэффициенты этих рядов при каждом n определяются независимыми рекуррентными системами интегральных соотношений. Для нулевых коэффициентоврядов (3.1.6) ( n  0 ) при выполнении условий (3.2.21) из (3.2.22), (3.4.12), (3.4.13)и (3.7.5) с учетом (3.1.17) получаем следующие соотношения:u00  r ,    0,0 m  r ,    1  2r e 0 Ls u0 m  r ,    , Er 0 m  r ,     Ls u0 m  r ,    ;r 2 r(3.8.1)r1u0 m  r ,     Guu 0  r , ,    E0    0,L m 1  , s  d   m  1 ,r0которые приводят к тривиальным равенствам при любом m  0 :u0m  r ,    0m  r ,    Er 0m  r ,    0 .(3.8.2)Поэтому далее рассматриваем только n  1 .

Из (3.4.11) - (3.4.13), (3.4.15) и(3.7.6) с учетом (3.1.25), (3.2.21) и (3.2.24) получаем следующую рекуррентнуюсистему:155- при m  0un 0  r ,    0, vn 0  r ,    0 (n  0),H n 0  r ,    2eErn 0  r ,    1 G  r   e     e   ,k 0cHnkn  n  1r0 kn0 kn1c r  e0 kn   , n0  r ,    0, GHnk(3.8.3)k 01En 0  r ,      cHnk  r  e0 kn     n  1 ;k 0- при m  1r1r1r0r0r1r1r0r0unm  r ,     Guun  r , ,    fun,m1  ,   d    Guvn  r , ,    f vn,m1  ,   d ,(3.8.4)vnm  r ,     Gvun  r , ,    fun,m1  ,   d    Gvvn  r , ,    f vn,m1  ,   d ,гдеfun,m1  ,    e 0    Ern,m1  ,    E0    n,m1  ,   ,f vn,m1  ,    e 0    En,m1  ,    E0    H n,m1  ,   ;r1cH nm  r ,      GHn r ,   lH unm  ,   , vnm  ,   d ;2e(3.8.5)r0n  n  1 r1 cErnm  r ,    r GHn  r,   lH unms  ,   , vnms  ,   d  ;r0(3.8.6)r1Enm  r ,     cHn  r ,   lH unms  ,   , vnms  ,    d   e 0    vnms  r ,   ;(3.8.7)r0nm  r ,    ln unms  r ,   , vnms  r ,   ;(3.8.8)unms  r ,    unm  r ,    e  unm  r ,   , vnms  r ,    vnm  r ,    e  vnm  r ,   .

(3.8.9)Как следует из (3.1.14) и (3.1.17), в соотношения (3.8.5) - (3.8.8) входят производные по радиусу. Для того чтобы избежать этого дифференцирования, в формулах (3.8.5) - (3.8.7) преобразовываем их с помощью интегрирования по частям.Для этого, учитывая вид оператора lH и граничные условия (3.2.12), рассматриваем следующие интегралы:156r11 c  GHn  r ,  r0rce 0    vnm  ,    d   vnm  ,   e 0    GHn r ,   r10 r1  e 0    vnm  ,  r0 1 c GHn  r ,    d   r1   e 0    vnm  ,   r0r11 c   Hn  r ,  r0(3.8.10) 1 c GHn  r ,    d ; r1e 0    vnm  ,    d   e 0    vnm  ,    cHn  r ,   r0r1  e 0    vnm  ,   r0 1 c  Hn  r ,    d   r1   e 0    vnm  ,   r0(3.8.11) 1 c  Hn  r ,    d . Тогда представления (3.8.5) – (3.8.7) можно записать так:r1ccH nm  r ,      e 0    GHun r ,   unm  ,    GHvn r ,   vnm  ,   d ; (3.8.12)2er0Ernm  r ,    n  n  1rr1  e 0    GcHun r ,   unms  ,    GcHvn r ,   vnms  ,   d ;(3.8.13)r0Enm  r ,    e 0  r  vnms  r ,   r1  e 0    cHun  r ,   unms  ,     cHvn  r ,   vnms  ,    d ;(3.8.14)r0где1ccGHun r ,    GHnc  r ,   , GHvn r ,     1GHnc  r ,   ,1cHun  r ,     cHn  r ,   ,  cHvn  r ,      1 cHn  r ,    .(3.8.15)Явный вид этих ядер находим, используя формулы (3.3.41), (3.4.5) и (3.4.8):157cGHun r ,     GHnc  r ,   H    r   GHnc  , r  H  r    ,cccGHvn r ,     GHvn1  r ,   H    r   GHvn 2  r ,   H  r     ,(3.8.16)гдеcGHvn1  r,   n  r0 , r   n  r1 ,   2n  1 r n1n1n  r1 , r0 c, GHvn2  r,   n  r1 , r   n  r0 ,   2n  1 r n1n1 n  r1 , r0 ;cHun  r ,     cHun1  r ,   H    r    cHun 2  r ,   H  r    ,cHvn  r ,     cHvnr  r ,        r  ,(3.8.17)cHvnr  r ,     cHvn1  r ,   H    r    cHvn 2  r ,   H  r    ,гдеcHun1  r ,    n  r1 ,    n  r , r0 ,  cHun 2  r ,   n  r0 ,    n  r1 , r , 2n  1 n r n  2  n  r1 , r0  2n  1 n r n 2  n  r1 , r0 n  n  1  n  r1 ,    n  r , r0  cn  n  1  n  r0 ,    n  r , r1 cHvn1  r ,    ,r,.Hvn2 2n  1 r n  2  n  r1 , r0  n 2n  1 r n  2 n  r1 , r0  nПри этом соотношение (3.8.14) записывается так:1Enm  r ,      cHnk  r  e0 kn    k 0r1  e 0     cHun  r ,   unms  ,     cHvnr  r ,   vnms  ,   d .(3.8.18)r0Для устранения производной в формуле (3.8.8) отметим, что имеет место следующее равенство:21   r e 0u  n  n  1ln  u, v   2e 0 v  e 0u  e 0 n  u, v  ,rrr(3.8.19)где функция n  u, v  определена в (П.2.24).Тогда необходимо дополнительно построить интегральное представление дляnm  n  unm , vnm  .

Характеристики

Список файлов диссертации