Диссертация (786059), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

(3.9.6)Начальные условия для перемещения к этой системе следуют из (3.2.17):1u0  r ,     Guu 0 k  r ,    U k    .(3.9.7)k 0Для остальных функций с учетом этого равенства используем (3.9.4) и (3.9.5),а также (П.2.24):1Er 0  r ,    e 0  r   Guu 0 k  r ,    U ks   ,k 010  r ,     e 0  r  uu 0 k  r ,    U ks     e 0  r  Guu 0 k  r ,    U ks    ,(3.9.8)k 011  2 LL r Guu 0 k  r , s   .uu0 GuuL 0 k  r , s  , v   20k  r, s  ssr r ЗдесьU ks     U k     e  U k    , U ks     U k     e  U k    .(3.9.9)Принципиальное отличие от рассмотренных выше задач заключается в необходимости дополнительного построения поверхностных функций влиянияGuu 0 k  r ,   и uu 0 k  r ,   .Явный вид изображения ядра Guu 0  r , ,   в (3.9.2) указан в (3.6.19). Там же изложен алгоритм определения оригинала.

Изображение ядра в (3.9.3) определяетсясоответствующим равенством в (3.8.33):165uL0  r , , s   uL01  r , , s  H    r   uL02  r , , s  H  r    .(3.9.10)Составляющие этой формулы находим, полагая n  0 в формулах (3.8.36) ииспользуя (3.6.1), (3.8.35), (П.3.17), (П.4.37), (П.4.39) и (П.5.19):uL01  r , , s   uL02  r , , s   E100  r0 s, rs  E110  r1s, s 2rsE110  r0 s, r1 s E110  r0 s, s  E100  r1s, rs 2rsE110  r0 s, r1 s ,(3.9.11).Эти функции подобно (3.8.39) записываем в аналогичной (3.6.19) форме (здесьиспользованы также формулы (П.2.20), (П.3.16) и (П.3.20)):1  4  l      r ,   sQu 01  s  e  hl   ,2r l  0 1 uL01  r , , s  R01  r1s  R01  s Qu 01  s   1lQu 01  s  2lsR01  r1 s R01  s sQu 01  s   4lX 10l  r0 s, r1s  ,X 10l 1  r0 s, r1s  , Qu 01  s  3lR01  r0 s  R01  s sR01  r0 s R01  s sX 10l  r0 s, r1s  ,X 10l  r0 s, r1s  ,(3.9.12)E100  x, y   R01  x  R00   y  e y  x  R01   x  R00  y  e x  y ,E110  x, y   R01  x  R01   y  e y  x  R01   x  R01  y  e x  y ,R00  z   1, R01  z   R10  z   z  1;uL02  r , , s  1  4  l       , r  sQu 02  s  e  hl   ,2r l  0 1Qu 02  s   Qu 01  s  , Qu 02  s   Qu 01  s  ,1lQu 02  s  2l1l4lR01  s s4lX 10l 1  r0 s, r1s  , Qu 02  s  3l(3.9.13)R01  s sX 10l  r0 s, r1s  .В рациональных функциях Qu 01l   s  с учетом (П.2.20) и (П.3.16) выделяем целые части:166Qu 01  s     Qu 01r  s  , Qu 01r  s   Qu 01  s       1, 2  ,llllQu 01  s     Qu 01r  s  , Qu 01r  s   Quu 01  s       3, 4  ,llll(3.9.14)Qu 02r  s   Qu 01r  s  , Qu 02r  s   Qu 01r  s  , Qu 02  s     Qu 02r  s  ,1l1l4l4l2l2lQu 02r  s   Qu 02  s   , Qu 02  s     Qu 02r  s  , Qu 02r  s   Qu 02  s   ,2l2l3l3l3l3lТогда ядро в (3.9.10) можно представить в виде суммы регулярной и сингулярной частей:u 0  r , ,    u 0r  r, ,    u 0b  r, ,   ,(3.9.15)где u 0 r  r , ,     u 01r  r , ,   H    r    u 02 r  r , ,   H  r    ,1  4  l      r ,   sQu 0 jr  s  e  hl    j  1, 2  ,2r l  0 1  u 0b  r , ,         hl  4  r ,         hl  1  r ,    2r l  0 sign    r       hl  3  r ,          hl   2  r ,    .2rl 0 uL0 jr  r , , s  И формула (3.9.3) приобретает следующий вид:r1 m    u 0 r  r , ,    e 0    Er , m 1  ,    E0    m 1  ,    d  r01    J l 4 m  r0 , r1 ,    J l1m  r0 , r1 ,    J l 3m  r , r1 ,   2r l  0 J l 2 m  r , r1 ,    J l 3m  r0 , r ,    J l 2 m  r0 , r ,    ,(3.9.16)yJ lm  x, y,      e 0    Er , m 1  , t   E0    m 1  , t   t xhl  r ,   H    hl    r ,    d.Для построения функций Guu 0 k  r ,   и uu 0 k  r ,   сначала находим решениекраевой задачи (3.2.18).

Общее решение уравнения согласно (3.5.1) имеет следующий вид:GuuL 0k  r , s   A10  s  X10  rs   A20  s  X 20  rs  .(3.9.17)167Подставляя его в граничные условия, получаем систему уравнений относительно A10  s  и A10  s  :A10  s  X 10  r0 s   A20  s  X 20  r0 s   k 1,1 ,(3.9.18)A10  s  X 10  r1s   A20  s  X 20  r1s   k 1,2 .Ее решение записывается так (см. (3.5.6)):k 1,1 X 20  r1 s   k 1,2 X 20  r0 s A10  s  ,Pu 0  r0 s, r1 s A20  s  k 1,2 X 10  r0 s   k 1,1 X 10  r1 s Pu 0  r0 s, r1 s (3.9.19).Учитывая его в (3.9.17), приходим к следующему результату:Pu 0  rs, r1s  k 1,1  Pu 0  r0 s, rs  k 1,2GuuL 0 k  r , s  Pu 0  r0 s, r1s .(3.9.20)Отсюда находим изображение функции uu 0 k  r ,   , используя ее определениев (3.9.8) и (П.4.16):Luu0k  r, s  Sun  r0 s, rs  k 1,2  Sun  r1s, rs  k 1,1Pu 0  r0 s, r1s .(3.9.21)Далее подробно рассмотрим только случай k  0 (второй вариант исследуетсяаналогично).

Явные выражения функций в (3.9.20) и (3.9.21) через экспоненциальные многочлены получаем с помощью формул (П.4.2), (П.4.36) и (П.4.37):Luu 00GLuu 00 r, s   r, s  r02 E110  rs, r1s ;(3.9.22).(3.9.23)r 2 E110  r0 s, r1s r02 sE100  r1s, rs rE110  r0 s, r1s Для вычисления их оригиналов используем аналогичные (3.6.19), (3.9.12) и(3.9.13) ряды:Luu 00Gr02 r, s   2rQuu 00  s  1l Q   s  el 0R01  rs R01  r0 s 1luu 00r1  r  s Quu 00  s  e2lX 10l  r0 s, r1s  , Quu 00  s   2l  r1  r  s e hl s ,R01  rs  R01  r1s R01  r0 s  R01  r1s (3.9.24)X 10l  r0 s, r1s  ;168Luu 00r02 r, s  rRuu 00  s  1lRuu 00  s  2l  R   s  el 01luu 00sR01  rs R01  r0 s  R01  r1 s sR01  rs R01  r0 s  R01  r1 s r1  r  s Ruu 00  s  e2l  r1  r  s e hl s ,X 10l  r0 s, r1s  ,(3.9.25)X 10l  r0 s, r1s  .В присутствующих в этих формулах рациональных функциях выделяем целыечасти:Quu 00  s  1lrr11l1l Quu 00 r  s  , Quu 00 r  s   Quu 00  s   ,r0r0Quu 00  s   2lrr2l2l2l Quu 00 r  s  , Quu 00 r  s   Quu 00  s   ,r0r0rr1l1l1lRuu 00  s    Ruu 00 r  s  , Ruu 00 r  s   Ruu 00  s  ,r1r0r1r01l Ruu 00  s  2l(3.9.26)rr2l2l2l Ruu 00 r  s  , Ruu 00 r  s   Ruu 00  s  .r1r0r1r0Тогда ядро функции Guu 00  r ,   и uu 00  r ,   можно представить в виде суммырегулярной и сингулярной частей:r0      hl  r1  r       hl  r1  r ,r l 0 (3.9.27)r0 uu 00  r ,    uu 00 r  r ,         hl  r1  r        hl  r1  r  ,r1 l  0Guu 00  r ,    Guu 00 r  r ,   гдеLuu 00 rGr02 r, s   2rLuu00 r  r , s  20rr Q   s  el 01luu 00 r  R   s  el 01luu 00 rr1  r  s Quu 00 r  s  er1  r  s Ruu 00 r  s  e2l2l  r1  r  s e hl s ,  r1  r  s e hl s .Тогда приU1     0 .(3.9.28)начальные условия (3.9.7), (3.9.8) к рекуррентной системе уравнений записываются так:169ru0  r ,    Guu 00 r  r ,    U 0     0rU   ,0ll 0Er 0  r ,    e 0  r  Guu 00 r  r ,    U 0 s    r0 e 0  r rU   ,l 00 ls(3.9.29)0  r ,    e 0  r  uu 00 r  r ,    U 0 s     e 0  r  Guu 00 r  r ,    U 0 s    r0 e 0  r r1U    l 00 lsr0 e 0  r rU   ,l 00 lsгдеU 0l     U 0    hl  r1  r   U 0    hl  r1  r  ,U 0ls     U 0l     e  U 0l    .ЕслиU0    H   ,(3.9.30)тоU 0s     e H    , U 0s          e .(3.9.31)И, следовательно, нулевое приближение для поверхностных зарядов содержитсингулярное слагаемое:0  r ,     0 r  r ,     0 b  r ,   ,0 b  r ,   r0 e 0  r r1     l 0hl r1  r        hl  r1  r   e 0  r  r0e 0  r   0 r  r ,    e 0  r  uu 00 r  r ,    r0  U 0ls    r r1 l 0  e 0  r  uu 00 r  r ,    e 0  r  Guu 00 r  r ,     U 0 s    .(3.9.32)Для устранения этой сложности с использованием (3.1.2), (3.1.9) иинтегрирования по частям преобразуем соотношение (3.9.2) следующим образом:4  E0 Er , m 1  um  r ,     Guu 0  r , ,     E0 Er , m 1  d r0r1r1  E0    G1  r , ,    Er , m 1  ,   d ,r0где(3.9.33)170G  r , ,  4.G1  r , ,    Guu 0  r , ,    uu 0Это равенство вместе с (3.9.4) образует рекуррентную систему уравнений приm  1 .

Начальным условием для нее является первые два равенства в (3.9.29). Дляиспользования этой системы уравнений дополнительно нужно построить ядроG1  r , ,   . Во-первых, учитывая, что в соответствии с (3.8.20) и (П.2.24)21   r Guu 0  Guu 0 2u 0  r , ,    0  Guu 0 , v   2 Guu 0 ,rrrr(3.9.34)получаем следующий результат:8G1  r , ,    Guu 0  r , ,    u 0  r , ,   .(3.9.35)Затем, учитывая (3.9.15), приходим к явной формуле для ядра G1  r , ,   :G1  r , ,    G1r  r , ,    u 0b  r , ,   .(3.9.36)где8G1r  r , ,    Guu 0  r , ,    u 0 r  r , ,   .Тогда рекуррентное соотношение (3.9.33) приобретает такой вид:r1um  r ,     E0    Gsr  r , ,    Er ,m1  ,   d  r0r1   2    E0    Er ,m1 ,   hl    , r   d  2r l 0  1 r0(3.9.37)   E0    Er ,m1 ,   hl    , r   d  .3 r04rВ качестве примера рассмотрим толстостенную сферу с такими же, как и в §3.7 геометрическими характеристиками.

Характеристики

Список файлов диссертации