atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (546290), страница 21
Текст из файла (страница 21)
По формуле (2) п, 67 ь !' = / 5(х) ь(х, где а = 0; Ь = 1 (рис. 472). 5(х) = я( /х)' = ггх. ь' )'= !и ь! =п1хь)к =ив 2 )„2 № 675. Объем данной фигуры равен объему фиьурьи полученной вращением заштрихованной фигуры на рис. 473 вокруг оси Ох !' ) 5(х) ь/х, где 5(х) = п(х')' ь Рис, 472 и= ) пх' ь(х = я — ~ = -. 5~, 5 № 676.
Проведем из точки А, перпендикуляр А,М к плоскости гЗАВС. 4А,АМ = 60' (рис. 474). 8/3 Из.гзА,АМ: А,М.= Ь = 8 з(п 60* = — = 4 ГЗ(сч). А, Рас. 473 5 „,= 10+ 10+! 2 32 Р= = — = ! 6(см), 2 2 5, = /!6.6.6 4 = 4 6 2 = = 48(см'). и=б „Ь к'= 48 . 4 ГЗ = 192 ГЗ (см ). № 677. 5 „.= —. По уса' ГЗ В ь ~ьь Рис 474 ловиьо задачи плоскость АВВА перпендикулярна плоскости ЛВС.
Проведем В,К 3 АВ. В К= Ь вЂ” высота призмы (рис. 475). Из РьАВ,К: АК = /Ь' -Ь' Из ЛВ КВ. КВ /аь Ьь зоо Глава ктл Обьемы тел № 678. Провелем А,О перпендикулярный плоскости АВС, точка Π— пептр правильного ЛАВС. Отрезок ОА — радиус описанной около ЬАВС окружности (рис. 476). По теореме синусов: ВС = 2В = 2АО, отсюда з)п с.'А т т т АО= Я= 2 з1п 60' ГЗ ГЗ 2 Из прямоуголызого з"ь4,ОА: высота призмы Рис. 475 Рис. 47б А,О = Я ~8 <р = — !8 ср. Гз лг зГЗ 5 =;Р'=В „ 4 т2 ~ГЗ т 18ср т'!Вср 4 43 4 ПГоллуги ни уравнение: АК + КВ = А В = а.
ъЬ -Ь~ + Га~ Ь2 а — "- ь'+ 2ЯР:ст с:~з -.'. н~д7-'7тс:~) = ы -ы'. Ь' 2Ь' — Ь'а О,Ь'а —, Ь - —. 2 зГ2 4ГЬ'а' — Ь'Ь' — а Ь' + Ь ) = 4Ь + Ь вЂ” 4ЬьЬ, В 4Ь'и' — Ь' = 4а'Ь'; Ь'(4а' — Ь') 4и' Ь Ь = — 44а'-Ь', 2а а',ГЗ )'=В Ь= — х л~м 4 В „К4а' — Ь' аЬ ) ~~ — ЗЬ'. 2а 8 08. Объем наклонной л измы, ои амиды и кон са 301 с, № 679.
Наклонные А,В, А,А, А,С равны по условию. Следовательно их В, проекции на ьцюскость АВС тоже рав- ны, то есть проекция точки А на плос- кость АВС вЂ” точка О будет центром описанной около ЬАВС окружности, тогла, точка Π— середина гипотенузы ВС (рис. 477), А,О 1. ВС. А,Π— высота призмы, ЛА,ОА — равнобедренный прямоугольный, А,О = АО.
ВС = ч' 7' а 24' =,/49 ч. 576 = = 4б25 = 25 (см). 25 ОС= ОВ = ОА = — (см). 2 25 Высота призмы ОА, = — (см). 2 ) 724 5 .= — АВ АС= — 84(сл~'). 2 2 )'= 5 „. ° ОА, = 84 — = 42 25 = ) 050 (см ). 25 А С В А 7 Рис 477 № 680. Проведем В,М 2 ВА и В,й.ь ВС. ЬВ,ВМ= 7зВ,В74 (по гипотенузе и острому углу).
Значит, В,М = В,йг. Проведем В,О перпензи кулярно плоскости А ВС, отрезки О)У и ОМ (рис. 478). Следоватслыю, из равенства наклонных В М и ВАГ следует равенство их проекций, ОМ = О/Ч, то есть точка О, лежит на биссектрисе угла АВС. Рис 478 002 Глава ИЬ Обьемы тел Из ЬВ,ВМ: ВМ = с сох Чз, ВО = ВМ /2 = с Г2соыр. И Р У ВЮ 8О-,ГГ8,'- ~~' =,""-и" р-.Л-т,'р-,'-.
и (2гр > 90', сох 2гр < О, — соз 2у > О) В,Π— высота параллелепипеда. Ю„,е„= аЬ: )т= Ю„„в В,О= аЬс /-соь2у . № б81. Ю„„.„= — АС ВР = — б 8 24 (см'). 1 1 Найдем высоту парачлелепипеда. Боковое ребро ВВ, составляет со смежными сторонами основания равные углы; примем ~В,ВА=~В,ВС= р. Проведем В,М3 ВА и В,Я 3. ВС. ЬВ,ВМ= тзВ,ВЫ(по гипотенузе и острому углу), тогда В,М = В,Ф. Проведем В,О перпендикулярно плоскости АВСР, отрезки О%и ОМ. Из равенства наклонных В Ми В Уследует равенство их проекций, Ой ОМ, Точка Оравноудалена от сторон ромба ВС' и ВА, то есть она лежит на биссектрисе угла АВС, а в ромбе биссектрисой угла служит диагональ ромба, значит, точка О лежит на диагонали ромба РВ, В,Π— высота параллелепипеда (рис.
479). В Р, Рис 479 По свойству диагоналей ромба к'.А,ЮВ = 90' и В,Я = 3, А,Ю = 4. Следовательно сторона ромба В,А, = ч 3' -4' = 5 (см). Хм„„= ВА. ВМ= 24, 5 ВМ= 24, ВМ= — (см). 24 Из прямоугольного ЛВ,МВ: зоз 3. Обьемнаклоннойп изми, пи амидыикон оа ( 24'( ) 625 — 576 7 ВМ ВВ'-ВМ' = 5'-~ — ~ = ~ = — (см) 'х5) ! 25 5 Из сзА ВР; соз !) = —; где )3 = ЛРВМ 4 5 7 5 7 Из с'.хМОВ: ВО = ВМ вЂ” = - - =— созб 5 4 4 Из прямоугольного сзВ,ОВ; ВО ВВ'-ВО'-(5' — - — =- 39( ).
Г, 49 25.16 49,/35! 3 !6 16 4 4 1'=-5„а В,О= 24 — = 18,/39(см'). а — Гсмааа» «акаюнак Фаазлю № 682. Проведем плоскостьу, перпендикулярно боковым ребрам призмы. Далее, осуше«таим параллельный перенос фигуры, ограниченной плоскостями !), у и боковыми ребрами призмы так, чтобы плоскость и совместилась с плоскостью !3. Тогда мы получим прямую призму, боковая сторона которой равна боковой стороне исходной призмы, а основание является сечением исходной призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам (рис. 480). В силу свойства аддитивности объема 1', = У„где У, и У, соответственно объемы исходной и полученной призмы. У, = 5.
l, где 5 — плошадь основания. ч, т. д. Рис. 480 № 683. Примем! — длина бокового ребра призмы, а расстояние между боковыми ребрами равны а, Ь, с. В Согласно замечанию в и. 68, объем призмы можно вычислить по формуле Рис. 4а) 804 Глава (4!!. Обьемы тел № 684. (рис.482), а) 5. = 3' = 9 (м'), 1 ! И = -5,„6 = — 9 2 = 6 (и'); 3"" 3 б) 6 = 22 м = 220 см. ! 5,„= — ВА ВС а) и 30' = ь к = — 20 3,5. — = 67,5 (см'), ! 2 2 1 1' = - 5„„6 = — 67,5.
220 = 3"" 3 = 22,5 220 = 4950 (см'). № 685.!~ = 12см, а = 13 см. а' ~/3 13' чгЗ 169тГЗ 4 4 4 1 1 !69чГ3 И= — 5„„6 = — — 12 =169тГЗ(см'). 3""34 Рис. 482 № 686. а) )30 — высота пирамиды. Из прямоугольного Л~А!)О: ВО= Н= (з(п <р. Точка Π— центр тЗАВС, ОА — радиус описанной около ть4ВСокружности (рис. 483).
По теореме синусов: ВС ып60' = 20А, ОА = )сов чь ,Гз ВС= 2 — ! сов ср= ! 73сомр. 2 Рис. 483 И=5 1,ге с — и л 5,— площадь перпепдикулярного (к боковым ребрам) сечения призмы. Треугольиик, составленный из отрезков а, Ь, и сваляется перпендикулярным сечением (рис. 481). Ж- Х~-~Х~-4 2 2 НМ 5,= и~О лХФ изХ40 Зч 4В'3'2т'~0" 20'9 енО( ).
5,„=! (а+6+с) ! 80,значит! 80=480,т.е. 1=6 и = 5, ! = 180 б = 1080 (с м,) 0З. Объемнакпоннойп измы, пи емиды икон се ВС' /3 (ч/3) /' сок'срч/3 Зч/3 4 4 4 1 1 3~/3/'сок'ср . чЗ, )с=-5 „. Н = — /к(пср = — /'япсрсок'ср= 3 " 3 4 4 ч/3, = =/' яп 2срсояр 8 Зоб б) В правильной пирамилс боковые ребра равны; ЬА,0С вЂ” равнобслрснпый. к.'0 = 180' — 2а (рис. 484). По теореме косинусов; АС" =. Р+ /- 2 / / сок(180 — 2 а) =- = 2/(1+ сок 2а) = 2/'(1+ 2сок'а- 1) = 4с сок'а А С АС= ч/4/с сок'а = 2/!сок а) = 2/сок а; Рис 484 АС'Л (2/сока)сЛ 5,= — = ' — =/' /Зсок'а. 4 4 Найлем ллину отрезка ОА, ОА = В, тле Р— радиус окружности, описанной около ЬАВС, — =2АО,ОА === — = ' . Из с'.КАРО: АС АС АС 2/сока яп60' з/3 чсЗ ч/3 2 сс-В- ЗО'-~0'- 0 — - Л-т 4Р сок'а / 3 /3 7* У= — Х„„ // = — — ч/3-4сок'а /'ч/Зсок'а = 3 "'" зТЗ ! ) = — /'сок'а 3-4сок'а, 3 в) ОВОС вЂ” равнобелренный.
По теореме косинусов: ВС'=/'+/' — 2/ / сок|3 = 2Р(! — сок В) = 2/'2яп —. 2 ВС= /4/ яп' — = 2!яп —. Р 2 2 ВС*,/3 4/' '- ~3 н 5 = /'ч/3 к!и' —, 4 4 2 Глава УИ. Объемы тел 306 В ЬАВС ОА — радиус описанной окружности: 2! яп— '. б =2АО, ОА =— яп60' 43;ГЗ /3 2 Из прямоугольного г3АОО: 4! яп — )3) -41 яп— 2)З ~ з ~ а!3 Н= /АВ'-АО7= П- 3 3 2Р— 3-4з!п —. ° /3 2 К=-Я .
Н = — ! ~За)п — —, 3-4яп — = ), -.,0 1 3 "' 3 2 73 2 — ) яп — 3-4яп —. !3 ~!3 3 2 2 На 687. Из ЬВСР найдем боковос ребро. Примем ВВ = ОС= ОА = )(рис. 485). По теореме косинусов: а' Г + /' — 2/' соз ~р = 2Г(! — соз <р) = 2('2яп' —; 2 а = 2)а)п —, l = 'Р 25)п— 2 Проведем ОО перпендикулярно плоскости АВС. )З ОО = Н = У -ОА', ОА — радиус окружности, описанной около ЛАВС. По теореме синусов; с а а = 2ОА, ОА = яп60' 2 яп60' ГЗ 3-4яп' . Н= "~ 4а)п' — 2яп †.~/3 2 2 а' ГЗ И= — Я, . Н. В = —, поэтому 3 ""~ " 4 Рис 485 83.
Объем наклонной и измы, пи амиды икон са 307 .Ф, ~ .,~р ! а 43 2 У 2 3-4з)п' — а .(3-4х)п — и 2 а(п — /3 24 а!и- 2 2 И 688. Пусть Π— точка пересече- ния диагоналей. Проведем ОЕ3. 0С (рис. 486). По теореме о трех перпен- дикулярах ХЕ3. 0С. Таким образом, МОЕЯ = () — линейный угол двугран- ного угла при основании. Н а) ОЕ = — = Н с!8 !3, Ф А А0 = 2ОЕ = 2Н сгй !). 5;„., = АЗ' = 4 Н'сгй' )3, ! ),, 4 и= -Ю .
Н = — 4Н'сгй )з Н = — Н'сг8 !). 3 "и" 3 3 Рис 4бб 0 аг г Рис. 487 б) ХО = Н вЂ” высота пирамиды Провелем ОЕ 3. ОС, отрезок ХЕ (рис. 487). По теореме о трех перпендикулярах ЯЕ !. 0С. В неправильной пирамиде боковые ребра равны, Л05С вЂ” равнобедренный, высота ЕЕ является биссектрисой и медианой. лг ! а м Из Е,05Е: — — = зй —, КЕ = 2 ЮЕ 2 2 Глава И!. Объемы твл 308 е' е' и ь юе сс - ы - Лс ' — Ое ' = 4|~а 4 2 1 е|,а т — — -! = — (с!8' — -!=в ,~х 21 2 2 Ц 2 т~/сова а 25!и- 2 1 1, е /сова т' /сова 3"""3.а.а 2з!и — бяп- 2 2 8 № 689. 50 перпендикулярен плоскости АВСО,Ю вЂ” высота пирамиды. В правильной пирамиде все боковые ребра равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
