atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (546290), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2 а х а х По теореме синусов: а(п 24г в(п(90'-кр) 2япгрсояр сову а =2в|пгр. Примем КА= КВ КС=г. Запипгем теорему синусов а ГЗ лля «КАВС. = 2г,а = 2г — =гч3. яп60' 2 2 я|я г|г Вывод: 2х яп гр = г Г3, г = х, ,Г3 '' В ВЯОК ОК= «ЯО-'ЯК' -,~К'. ВОЯОКОК- ОЯ'-ЯК'- Я' —.', РК+КО= Я,,/х'-у'+ ГЯ'-г' = Я, (ВГх' - г' + ВГя':г')' = я' К-К.К'-К ° г,г '- 'ггя'- гг-К. г,б'-7'ггя'- г-г2 — к, 4 (х' — г')(Я' — г') = 4г' + х' — 4«гхг, 4х'Я' — 4х гг — 4«'Я' + 4г' = 4г' + х' — 4г'х', г х' — 4х Яг 4 4«ЯЯ' = О, х' — 4х'Я' + 4й' — яп'кр х' = О, 3 х (х' — 4Я' + 4Я'- яп гр) = О, х и О, тогда х' = 4Я' — 4Я' - я пгр.
3 3 4 ., ) 3 — 4яп'гр х = РА = 4Я'(1--а! и'гр) = 2Я 3 ) 3 3 — 4япггр АВ = а = 4Я яп сг 3 Глава И. илинд, кон с и ша 264 б) Сечением сферы плоскостью ЬАВС будет окружность, ее радиусы 2япу 3-4з(п'р 4 .- — ~ гя ~ --я рл-нею ,(3 .('3 3 16 Плошадь сечения равна: яг' = — яй' з(п'<р(3-4з!и'<р), 9 № 627.
Известно, что ближайшая точка (А), лежащая на сфере, к точке [М), лежащей вне сферы, принадлежит отрезку ОМ, где О— пентр сферы (рис. 409). Ряс, 409 Примем СВ = г — радиус окружности, АС=х, ВМ= 24 см. ОА = Я = 10 см. Из прямоугольного ЛСВМ: СМ' "' СВ' = МВ, или (16+ х)'+ А = 24' см. Из прямоугольного кзСВСе ОВ' = ОС' + СВ', или (10 — г)'+ А = 1О' см. ((16+х)' а г= 576 Решим систему: ф 0- х)~ + г' = ! 00. (16 + х)'- (10 — х)' = 476, 256+ 32х+ х' — 100 — х'+ 20х = 476. 52х = 576 — 256, 52х = 320, 320 80 х = — = — (см); 52 13 г' = 100 — (1Π— х)' = 100 — 100 + 20х — х' = 20х — х'.
Разные задачи на многог анник, цилинд, кон суша 255 20 80 80 80 16 13-64 1О' !2' 13 13 13 169 13' 10' 12' 1О 12 !20 Г= 13' 13 13 120 240 Длина окружности Е = 2яг, Е = 2п — = — и (см), 13 13 № 628. Я вЂ” радиус внешней сферы; г — радиус внутренней сферы (рис,410). Сечение тела плоскостью, проходящей через центры сфер — кольцо.
Площадь кольца: В = л(Л вЂ” г'). (1? Сечение, плоскостью касательной к внутреннеЙ сфере. По теореме и. 61 ОС= г перпендикулярен к плоскости в сечении, Из прямоугольного йАСО: х= /Л"-г',я,=пх' я(я' — р), (2) Сравнивая выражение (1) и (2), убеждаемся в справедливости утверждения задачи. Рис. 4!О Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус н шар № 629, В окружности основания АВ— диаметр, х'.АС — вписанный, опирающийся на диаметр, значит, хАСВ = 90' (рис. 411). ВС ! СС„образующая СС, перпегпгикулярна основанию; ВС перпендикулярен плоскости АССи По признаку перпендикулярности двух плоскостей (п.23) плоскость АА,С,С перпендикулярна плоскости ВСС,Вг в, Рис 4О 266 Глава РЕ Цилинд, кон с и шв 5 № 630. 50 .1.
А ВСЕ), 50 = Ь = 12 см, $ АВ 8 ем, ВС=6 ем(рис.412). ОА = ОВ= г. Ребра пирамиды равны образукпиим конуса н лежат на поверхности конуса, ВВ = 2г. ВО = У+ 6' = /64+ 36 = и В гг' ы Е" = /)00 =10см --"гг„г 5 (см) ВЯ. „- - Найдем плошадь полной повсрхно- А г В стн конуса. 5.„= гиг = и 25 (см') Из прямоугольного сХ5ОА и-л0'+о~'-л' '-АР г-лиг2з-о( 5 г пгЕ(= 5А,З =и ° 5 13 = 65п(см'). 5„„,„= 5 „+ 5 „= (25 + 65)п = 90и (см') 5'„., = АВ ВС.= 6 8 = 48 (см') Боковые грани попарно равны. Провалам ОКЕ ()А, ОЕ ЕАВ, отрезки 5К и 5Е.
По теореме о трех перпендикулярах 5К Е дА н ВЕ Е АВ. 1 1 ОК= — АВ= 4(см).ОЕ = -ВС= 3(см). ИзЕх5ОК: 2 2 5К= ~/6'+ОК' = Л2' ь4'= /!44+16 = /)60 0= 4/)0(см). 5,„, = — 5К Е!А = — ' 6 44 0 = 12ЛО (см'). 1 1 Из ЫОЕ: ВЕ= /лГ+ОЕ' =,/!44+9=./!53 43 3 17 =3/Г7(см). 5 „— ВЕ 'АВ= — ' 8 ' 347 = 12/!7 (см ). ! 5 = 2(5,„+ 5 „) = 2 12(./(О+ ~Г7) = 24( /(О+ Л7) (см') 5„.,„= 5.„+ 5„, = 24 /ГО + 24~/17 + 48 = 24 ( /) О + /) 7 + 2) (см') Искомое отношение равно: 24( ТО+47+ 2) 4~з/1О+ /17+ 2) 90л 15п № 631. а) г= 2 ем,)г = 4 ем, В = 5 си (рис.413). Примем АС = ВС = АВ = а, слсловательно: Разные задачи на многог ниик, цилин, кон с и ша 267 Рис 4!3 ! О, — К о к Й 2 Рис.
474 Рис. 4!5 б) Примем АВ = а, следовательно Я = —, а = М2 = 51Г2 (см); г = — (рис. 4! 5). а Ь Л2 чГ2 Я= —,а= йчЗ = 5чгЗ(см). О ,/3' а' хГЗ 751/3 5 . = — — (см'); 4 4 А,С, = В,С~ = А В, = Ь. Следовательно г = —, Гз А Ь = г ГЗ = 2 ГЗ Ь'ЛЗ 4 3'ГЗ 12 гЗ 5, = — = — (см') 'ин" 4 4 4 Боковые грани — равные равнобедренные трапеции (рис. 414).
Проведем ОКЗ А,В„ ОК, З.АВ, отрезок К,К. По теореме о трех Ь перпендикулярах К,К 3. АВ. ОК, О, К, — радиусы вписанных окружностейй в йгАВС и ггА,В,С, соответственно. а 5ЛЗ 5 ОК = — = — = — (см), 2Л 2Л 2 Ь 2,ГЗ О,К, = — = — = 1 (см). 2 ГЗ 2ЛЗ 5 3 Провслем К К 3. ОК. К,К = — — 1 = — (см). 2 2 Г, 9 Г 9 Г73 Г73 Иа~хК,КК: КК= )7г'+ — = 1!6+ — = ! — = — (см). 4 ! 4 г/4 2 2 ! ЛЗ ' ч/73 — иВВ к— 4 (см). ' К 5„„, = 5 „+ 5иикг + 5,„ 21,ГЗ,/73 75,ГЗ !2,ГЗ 4 4 4 21Л /73 -87Л ЗЛ = — (7~/73+ 29). 4 4 А 2бб Глава )ст.
илии, кон с и ша К, Гз О, о о оУ Рис. 4ЬЗ К, к о, с Примем А,В, = Ь,следовательно Ь = г Г2 = 2 Г2 (см). В„„я = Ь' = 8 см'. боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Проведем О,К, З. РАи Ок З. ОА, отрезок К К. По теореме о трех перпендикулярах К,К З АР. Ь вЂ” а 5~Г2 ок, =--Л( ); ок=--— 2 2 2 КК=ОК-ОК= — — Г2 = — (см).
5Л 5Л-2Л зЛ 1 ~ ' 2 2 2 Из МККК(рис. 41б): КК= Бо+ К Ко ! 18 Й2 Л22 К,К= !16+ — = / — = — (см), 4 )4 ААО,+АО,КК а+Ь,КК мш о 5,Г2+ 2.Г2,/82 7,Г2,/822 2 2 4 Я ° 45м,ко~7~Г2 1/82; В . = В + ~исо Во,о, ас, Я„= 7Л ' А2 2+ 50 + 8 = 7 Г2 ' /82 + 58 = 14Д! + 58 (см') в) Причем, что сторона верхнего основания равна Ь, нижнего основания равна а, а > Ь; ралиус верхнего основания равен г, нижнего основания — Я (рис. 417).
СледоваМ тельно Ь = г, а = Я. Правильный шестиугольник состоит из б равносторонних треугольников; высота кажло- К го из них равна радиусу вписанной в шесгиупцьник окружности. Радиус вписанной в верхний шестиугольник окружности равен х, а Рис.
477 в нижний шестиугольник — у. Как известно из планиметрии: Ь ГЗ а~ГЗ 2 1ГЗ 5~ГЗ х= —,у= —,х= — = ГЗ(см),у= — (см). 2 2 2 2 Разные з ачи на многог ниик пили, кон и ша 269 Площадь нижнего основания пирамиды равна (1 ') 5зГЗ 75 ГЗ 6 ~ — ау~=3 5 ° — = — (см'); ~2 / 2 2 Площадь верхнего основания пирамиды равна 6 ~ — Ь х) = 3 2 сГЗ= б ГЗ(см'). (! (,2 Все 6 боковых граней — равные равнобедренные трапеции. Найлем высоту трапеции. В плоскости верхнего основания проводим отрезок О,К перпендикулярно к стороне б-угольника в нижней плоскости проводим ОК перпендикулярно одноименной стороне 6-угольника; провелем отрезок К,К (рис. 417).
ОК=у, ОК, =х а,ГЗ Ь,ГЗ,ГЗ,/3 КК, = у — х = — — — = — (а — Ь) = — (Я вЂ” г) = 2 2 2 2 ГЗ 343 — (5 — 2) = — (см). 2 2 Из МККК: ! ЗзГЗ) Г 27 Г64 + 27 /9! К,К= Ь'+ — = 1!16+ — = ! = — (см). 2 ) з~ 4 г' 4 2 о =6 — КК,= 3. (Я+г) — = 3 (2+ 5) а+ Ь Г9 ! зГ91 2 2 2 21 /91 = — (см ) 2 Плошадь полной поверхности: Я = о„. + 8„,„+ Б„„ 21 /91 75 /3 21 /91 о= — +6ГЗ+ — = — = С, 2 2 2 = — = — (7 /91 + 29зГЗ) (см').
87ГЗ 3 2 2 в, № 632. Сфера касается всех граней призмы. Центр се должен быть равноудален от оснований, то есть лежать на середине высоты призмы. Отреизк, соединяющий центры оснований, является высотой приз- лис 418 270 Глава И. илинд, кон с иша мы, и все точки, лежащие на отрезке 0,0, равноудалены от боковых ~раней призмы. (Точки О и О, — центры вписанных в основания окружностей.) Таким образом, серелина 0,0, точка 5, является центром сферы (рис. 418), Я № 633. Возьмем лля простоты треугольную правильную пирамиду. 50 — высота пирамиды. Проведем АЕ3. ВС, отрезок 5Е (рис. 4(9). По теореме о трех перпе1иикуляОц рах 5Е 3. СВ.
Впишем в к.'х50Е подуокружность ОРО, центр 0 которой лежит па катете 50, а луга 0 Е касается сторон ОЕ и 5Е. ЛВЕО вмесге с полуокружностью Отбудем поворачиватыю- С круг 50. Тогла катет ОЕ опишет окружность, Рис 419 вписанную в Г 4ВС, позтому гипотенуза 5Е при вращении остается внутри пирамилы, за исключением трех положений, когда 5Е оулег совпадать с высотой боковых граней. Вывод: сфера, образованная вращением полуокрухоюсти ОГО, будет иметь единственную общую точку с каждой из боковых граней.
Эта сфера касается и основания пирамиды в точке О. Тогда центр вписанной в пирамилу 5АВС сферы лежит на высоте 50. О, Рис 420 № 634. а) Рассмотрим сечение КЕРО, глс точкиК, Е, Р, 0 — середины АА„ВВ„СС, и 00, соответственно. В сечении получим Разные задачи на многог анник, цилинд, кон с и ша 271 квалрат и вписанную в него окружность, се радиус равен радиусу сферы (рис. 420). Пусть ребро куба равно а, а = 2Я. Плошаль олной грани равна а', или 4Я'. 5„. = б 4Я' = 24Я' б) Высота призмы О,О равна лиаметру сферы; точки касания сферы с боковыми гранями принадлежат сечению призмы плоскостью, прохоляшей через середину высоты призмы (центр сферы) перпенликулярно к боковым ребрам (рис.
421). Пусть сторона правильного шссти- 2Я угольника равна а, тогла о = —. боковая /3 грань — прямоугольник, его плонгаль равна Н а 2Я 4 или 2Я вЂ”. = — Я'. ч'3 ГЗ Плошадь боковой поверхности равна; В .=б — Я'=' Я' = Я' =8~ГЗЯ' 4, 24, 24хГЗ 4З ТЗ З Плошадь основания склалывастся из плошадей шести равносторонних треугольников, плошадь кажлого из них равна 1 1 2Я Я' Рис. 42! — аЯ= — — Я= —.
2 2 ГЗ ~ГЗ бЯ' бзГЗ Плошадь основания равна: — = Я' = 2ч~з Я'. ',Гз з 5 . = 8ГЗЯ' ч 243 Я' + 2 ГЗ Я = 12 ГЗ Я'. в) В правилыюи тетраэдре все ребра равны; примем они равны а. Проведем АК 3 ВС, отрезок.0К(рис. 422). В правильном ЬАВСАК проходит через центр ЛАВС, По теореме о трех перпегшикулярах ОК Е ВС. КАКΠ— линейный угол двугранного угла при основании тетраэдра (все лвугранные углы равны).
КОКЕ = ЛОКН, ОК вЂ” биссектриса ~АКР. Из 2х))ВС: лс=,~ОВ - Вк' = ~,' — - — -ек а' охГЗ 4 2 Рис. 422 Глава И. илинд, кон и ша 272 а НК вЂ” радиус вписанной окружности, НК т-, П римем к'.1ЗКН = а. 22«г 3 НК а а«ГЗ 2а 1 В й. РКН: ссс а 2ЗК 2 /3 2 2«/3 /Зл 3 — ! 2Г2 япа= ~1-сов'а = ~1--= —. 9 3 2 Г2 а япа 3 2«Г2 4 2«Г2 3 «/2 ! 2 1+соха 1 1 3 3 3 4 2,/2 3 й а а Л Из йОНК: — = гб —, отсюда НК = = — = Я Г2. НК 2 2«/3 а 2 в= 2 ГЗГ2й 2 Гбл.б „.= — = — й' б ЗК' а'Л 46 ГЗ Все грани правильного тетраздра — равные равносторонние треугольники, поэтому плошадь полной поверхности Я = 45 „= 24 ГЗЯ' Р № б35. РΠ— высота пирамиды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
