atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (546290), страница 22
Текст из файла (страница 22)
00 — проекция о0 на плоскость основания, с'.о00 = 9 (рис. 488). с Из8Ю0 ВО = е ялмар,00= теодор; ВО = 00, В(3 2т сов вь Примем сторонуоснования равной В а. Следовательно а~/2 = 2е сов <р, а = Рыс 488 = ~/2тсощ. У = — 5„„.,Ю = — 2т сов у е яп д = — е сов уз(п<р, ! 1,, 2 3"" 3 3 Ха 690.
Проведем ОВ 3 А,А„. По теореме о трех перпендикулярах ВВ 3 А,Аы ОВ = г, г — радиус вписанной в основание окружности; г=6: 2=3(см). Примем, что а — сторона основания (рис. 489). в~/3 Как известно, г = —, отсюда 2 2г 2 3 га = — = — = 213 (см). /3,/3 1 ! 5 = — АА ОВ= — аг 2 ' ' 2 Рис. 489 ВЗ. Объем наклонной п измы, пи амиды и кон са 309 М 691.
Проведем Ю псрпенликулнрно плоскости АВС; Ю— высота пирамиды. Л50А = гх50В = Ь50С, они прямоугольпыс, Ю вЂ” общий катет, они имеют равный острый угол, тогда, ОВ = ОС = ОА = Я, где Я вЂ” ралиус описанной окружности (рис. 490). АС вЂ” =2В, Я яп 4.В АС 10 5 2яп~В 2яп~В з(п~В за" По теореме косинусов в х'.хАВС: !О'= 13'+ 13' — 2 13 13.
созк'В, 100 = 2 13' — 2.!3' созЛВ, В е„---~ т-и С 73 ' 2 169 созк'.В = 338 — 100, з ~-- 238 !19 и 7О СО54.В = — = —. 2.169 169 ° в - я:.'зв А Рис. 490 В 1 119 169 -119 4!4400 120 169' 169' 169 169 5 м =- 2~ГЗ 3= 343(см'). 1 5„„=- 65,„,„= 6 3 ~/3 =. 18 /3 (см'). Найдем высо пирамид из Л50В. Ю= 5В'-ОВ' = ЛВ' — г' =45В'-9. Из равнобедренного Л5А,А„найдем 5В.
(Т.к. 5 — высота в равнобедренном треугольнике, то она является медианой, А,В= ВА, = — а= 43 (см). 1 ЯВ,(я'-ВА; "~зЗ'-(за) =,%9-3- ЯЪ( . 8 Из Л5ВО: Ю = 466-9 = 4')57 (см), 1 1 !'=-5'.„Ю=-!8 43 К57 =6447~ (см'), 3 " 3 Найдем площадь боковой поверхности.
5, = 6 5„, . 5 м = — А,А„ВВ = — о 5В = — 2Л .7166 = ъ~3.166 = х)498 1 1 8 = 6Д98 (см'). Глава Иl. Обьемы гвл 310 № 692. Проведем высоту пирамиды РЕ. Поскольку все ребра одинаково наклонены к плоскости основания„то ~зРЕА = ЬРЕВ= ПРЕС (по катету и острому углу). Поэтому ЕА = ЕВ = ЕС = = В,  — ралиус описанной окружности. Таким образом, точка Š— середина гипотенузы АВ, плоскость АРВ перпендикулярна плоскости АВС(рис. 491), 1 5 = — аЬ; 2 АВ = з/а' + Ь'; ВЕ = —.Га' ь Ь'. 1 2 Уис.
49! РЕ = !8 88! ВЕ „, /а'+Ь' гур 2 / '+ь' 3 ы 3 2 2 аЬ г2 —, х гур = — гдгрч а + Ь . 12 № 693. 50 — высота пирамиды РЕ. Л50Л = К50В = Л50С = ~зЮР (по катету и острому углу). Отсюда ОА = ОВ = ОС = ОР, высота просктиру- Уиг. 492 5 169 169 Значит Я = ОВ =— 120 24 В 169 Из Ь50В найдем высоту Ю: Ю = — = Вз/3 = — ~/3 (см).
!830' 24 5 = р(р-!0)(р-13)(р-13),гаер= 10+13+13 36 АЯФ' 2 2 = — = 18(см). 5, = /!8 8 5 5 = /25.9 2 8 = 5 3 4 = 60(см'), 1 1 169 /3 169 /3 5 845 /3 'г'= -5„50 = — 60 — = = — (см'). 3 "~ 3 24 32 6 З|1 93. Обьемнаклонной п измы, пи амиды икон са ется в точку пересечения лиагоналсй прямоугольника АВСР (рис. 492). ВО = ОА = — — по свойству диагоналей' прямоугольника.
Ь 2 В,м„= — ОВ ОА . а(п а., В = — ВО ОС ггл(180'-а) =- ВО ОС япа 1 2 2 В +В .= — ОВ ОА япа.+ — ВО ОС а1па= 1 . 1 2 2 1 1, 1 Ь 2 — ° ВО япа(ОА+ОС) = — ВО яла АС=- — япа Ь= 2 2 2 Ь' . Ь'япа = — япа; В„,=2 В „.= 4 Ю Ь 2 к.'ОАЯ = <р, следовательно гй Чг = — = Ю: — = — Ю. АО 2 Ь У= -В,ВО, У= — — Ю, Ю = —, 1 1 Ь япа 6У 3 '"~' 3 2 Ь'япа 2 6У 12 У гйгр = Ь Ь'а(па Ь'япа 12 У <р =- его|а Ь'япа № 694. Построим линейные углы двугранных углов при основании.
Про- ведем высоту пирамиды Ю; ОФ./ РС, ОК 3. ВС, ОЕ .Е АВ и ОМ 3 АР. По теореме о трех перпендикулярах А В|У Л. РС, ВК 3 ВС, Я 3 А В, ВМ.1. АР. ЬЮМ= а$0И= МОК= Е Ю(. (По катету и острому углу). Значит, ОМ = Ой( = ОК = ОР = г, г — радиус вписанной в основание окружности (рис. 493). ЛВО)У вЂ” равнобедренный, Ю= ОЖ= 1,5 см. М Р В К С М О Риг. 493 Ззг Глава )Г)/, Объемы гел Ю„„=АР МК=6(1,5 2) 6 3 18(см'). )г= 3 В 50 = — !8. 1,5 б 1,5 9(см'). 3 "~" 3 № 695. а) Проведем высоту РЕ, отрезки ЕА, ЕВ, ЕС.
ГлРЕА = ЬРЕВ= = гзРЕС (по катету и острому углу). Отсюда ЕА = ЕВ = ЕС = Я,  — радиус ок- В ружности, описанной около Е,АВС. Значит, точка Еявлястся серелиной ВС, плоскость СРВ перпснликулярна плоскости АВС; СЕ = ЕВ = — (рис. 494). с 2 РЕ с Из Л РЕВ: — = !8 О, РЕ = — !8 9. ЕВ 2 Рис 494 3 АВ, ОК ! СА, ОМ.!. СВ. трех перпендикулярах 0Е 3 АВ, РМ3. СВ, РК3 СА.
ЛРОЕ = ~ХРОК= КРОМ. Тогла ОМ = = ОК = ОЕ = г. г — ралиус вписанной в ЛАВСокружности (рис. 495). Х 10 ч 10.ь 12 г= —,р= =16(см). В Ю= р(р — 10Кр — ! ОКр — 12)= /!б б 6.4 48 (см'). 48 г= — = 3 (см). 16 Из с~РОЕ: РО = ОЕ = 3 (см).
—.48 3 = 48 (см'). 1 3 б) Проведем ОЕ По теореме о Р Рис 495 )г= — 5 РО = 1 В ЛАВС. 'АС = с яп <р, А В =. с соз 881 1 1 В =.—.АС АВ= — с'япрсояр. 2 2 1 1 1, . с с 180яп2<р !'= — Я 0Е = — — с'яп<рсоыр — !80 = 3 3 2 2 24 63. Объем наклонной п измы, пи амиды икон са в) А53 5С, А5д 5В. А5 перпендикулярен плоскости В5С, А5 — высота пирамиды (рис. 496). 1 5. = -аЬ.
лсвв 1, 1 1 або У= — 5' А5 =- — абс = —, 3'"" 32 6 313 № 696. РА — высота пирамиды (линия пересечения двух плос- В костей перпендикулярных к Рис. 49б третьей плоскости есть пердеюикуляр к этой плоскости). Проведем АКЗ. ВС, отрезок РК. По теореме о трех нерпе| гдикулярах РК 1. ВС, сАКР = 60' — линейный угол двугранного угла РВСА (рис. 497). 5 „„.
Р(р — АВ)(р — АС)(р — ВС) Р= 20+ 29+ 21 2 = 35 (см), в В "3ВВ35 В.Н- ввв523вв-в 5 32-2!в( 1с вв в в 5 = — АК.ВС=2!О,АК= — ~ = — =20(см). 1 25 . 2 210 2 ВС 21 Из сз РАК: — = !я 60' = зГЗ, РА = гозГЗ (см). 0А АК У=-5 РА=-.грз 2О.,ГЗ =70 2ОГЗ= !4ООГЗ(см'). № 697. У= — А~5+ 5, +,/55,), 1 А, В, где (в = 0,0, 5 = 5,„,, 5, = 5 Проведем МТЗ АЙ (рис. 4в98). и ТЮ = 07вг — О,М, А ~ ~и В ВС В,С, а ОЛ' = —,О,М = — '' .
ОФ =— о гзГЗ 243 243 !а а С О,М= 2 гчгз 4зГЗ Рис. 498 Рис. 497 814 Глава Иг. Объемы тел а а а Т1т' = — — — =— 2 /3 4 /3 4 /3 48а' - а' а Г47 и китти~-оо-~~~'-тн'-1 48 411 3 а'43 а' ГЗ ~2/ а' /3 4 ' гаво 4 16 а /47 (а' ГЗ а' /3 а' /3 а' /3 У=- — — — + — + 3 4 ~/3 ~ 4 1б 4 16 а/47 7(а' 3 а Л а' /3 ~ а' /47 77 7 /477а' 3.4 /31 4 16 24/ 4 344 192 № б98.
Проведем С,М.Е А,В„и СМ 3. АВ, оарезок М74. Поскольку АВ Л. СФ и АВ 1. С,С. то плоскость СС,ФМ перпендикулярна АВ, МФ 3 АВ, МФ- апофема. Проведем МТ 3. Сл1, МТ вЂ” высота пирамиды. 4'.МНТ ~р линейный угол дву~ранного угла МАВС (рис. 499 а, б). и гв С,М = МВ, = —; С1т' = л1В =— 2 Рие 499 а в л т-л Т1т' = С1Ч вЂ” С, М = — — — = —. 2 2 2 МТ И1 -И 8 аМТл1: — = 18 ц, МТ = Т1т' 18 = — 18 р. ТН 2 с, М Рис 499 б 316 93. Обьемлаклоннойп измы, ли ам ыикон св АВ = АСч'2, а = АС ) 2, АС = л(г' 5 .= — — = —,Х 2 2 4 ~ч 4 У= ~.чт(В.„-В воч.,~5 „В „); 1 а-и (а' и' ~а*л') а-и У=- — гур — + — + ~ — = — х 3 2 )4 4 !44~ 6 (а'+л' ти ! 1 т' -и' х!я — + — = — !ур(а -л)(а' + ал + и') = ° !ур.
4 4 ) 24 24 № 699. Провслем высоту пирамиды Р РО. КРОА = ЬРОВ = ЬРОС (по гипотенузе и катету) (рис. 500), Тогда ОА = ОВ = ОС точка О равноудалсиа от вершин йАВС, то есть является центром Мс- -- В, описанной около зХАВС окружности. В А, прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на ссре- С дине гипотенузы, Ф ЬЛ В,С, — !'.АВС (т.к. плоскости А,В,С, и АВС параллельны по условию, значит, А В )!АВ, В,С, !1ВС, А,С, ! АС), гас'Ю0 ' ,(,М, В,С,' ' А,С,' поэтому — ' 1В ВС АС' ЛРО,В, -ЛРО — они имеют обгций острый угол при РО, ОВ, РВ, вершине Р,— ' = — ' РО ОВ РВ ! Е~РА,В, - ~ХРАВ,— '= — ' РА, А В, РВ, ! РА АВ РВ РВ 2 И), АВ, 1 Значит, — ' = — '' = —.
Плошади подобных фигур относятся РО АВ 2 как квадраты сходственных сторон, поэтому Вл~,ао А,В, 1 ! — — Я = — 24 18 = 216 (лм'). Глава И(. Объемы тел 316 5 = -В = — = 54(лм') 1 216 ,'и,/,с, 4 «и 4 Найдем высоту усеченной пирамиды 0,0. ВВ ГВО' ОВ' 24'+(В' 0//0 (24,900 /О( (. с/АО — равнобслренный, 0А = 0В = 25 (дм). И ОООВ:ОО=/ОВ( — ОВ' 0/5'-(/'-/400 20И. (', 00= — 00= 10(дм). 1 2 )/=-0,0(5.,м+ Вы я, + т~5„, . 5,, ); У= — (0(2(4 5 ° '2И 5И вЂ” (1/О 2/ 2 4 1/ // 1 1О 3 3 (270+ 27 4) = — (270 + 108) = 10 126 = 1260 (лм'). 10 3 В/0 С № 700. А,д, = 4 см, А0 б см, А, 5„(, = 15 см', 0 54„.0= АО"' = б' = 36 (см'). Ф-»-- --~ С Х =А О'=4'=16 (см').
4,/,с, (4 ΠΠ— высота пирамиды (рис.501). А,С, !! АС поэтому сечение АА,С,С— А 0 равнобслренная трапепия. )/ис. 50! В .=15= '' 00,где ВОС,( 2 0,0 — высота пирамиды и высота сечения. А,С, = 4Л; АС = би(2. 15 = 0,0 = 5 Г20,0, 0,0 = 4 Г2+ 6/Г2 15 3 2 ' ' 5 2 ч2 1 (/=-0,0(В ~,+Я,„яс/„е ~Х „, 5 ас„); 3 !'= —.— (36+ 16+ (36.16) = — (52+ 24) = — = 1 3 1 76 7бч2 3»Г2 ~Г2 0Г2 2 = 38 Г2 (см'). 317 03. Обьем наклонной и иамы, пи миды и кон са № 701. а) 0 = 3 си, « = 1,5 см. У= -лг'и = -л 2,25 3 = 2,25л (см ); 1, ! 3 3 1 б) г= 4 ем, У= 48л ем'.
У -лгй, 3 31' 3.48л л = —,. — = 9 (см). лг' л 16 А в) л = а, У = р. У = — лги, р = — лг'гл, 3 3 йlв лгл Ряс 502 № 702. Ю = 5 см, Ю, = 2 см; РΠ— высота конуса. Г~ РО,А, — Е РОА, О,А, = г„ Ю,РО255 А,О, ОА'г, ОА г 1, 1,, 36 У = -лг'РО = 24,-лг' 2 = 24,г'= —, 3 ' ' 3 ' ' л 6 2 5 65 15 г, = — (см).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
