atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (546290), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3 3 222 ззо Глава У!Ь Объемы тел № 726. Примем стороны параллелепипела за а, Ь, с (рис. 527). Составим систему уравнений: е '+ с' =81 а'-Ь' =17 Ь'+ с' =64; 2+ Ь2 =49 а'+ Ь' =49 2а'=66, а'= 33, а=х/33; Ь' = 49 — 33 = 16, Ь = 4; с' = 64 — 16 = 48, с = 4~ГЗ. У=аЬс; У= /33 ° 4 4х(3=16 (3 31! =48/!1(см'). № 727.
Сечение заштриховано, его сторона равна х. Размеры ребер указаны на рисунке 528. х' = (), х = Я. у' + а' = х', у' + а' = ! ), у = Я вЂ” а'. У= хуи; У=аЯ.Я вЂ” а' = аЯ' — а'Д Рис. 528 № 728. В основании параллелепипеда — параллелограмм, а боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания (рис.
529). В С ЗЯ~| .ье ~/' Рис. 529 В0 — меньшая днагонгль, т.к, хА = 45', а х'.В =! 35', поэтому В0 < АС. САВВ,0 — прямоугольный, ВВ, = В0. По тсореме косинусов из Е 4В0: Дополнительные задачи ВР' = 49 + 18 — 2 7 ЗчГ2 = 49 + 18 — 42 = 7 + 18 = 25; 1 72 ВР = 5 (см).
5,=5„и„=7'Зс/2 а|п45'=7 ЗчГ2 -р =2! (см). У= Я ВВ, = 2! 5 = 105 см'. № 729. А,ВСР, — параллелограмм, в котором диагонали пер- А, пендикулярны, Значит, А,ВСР,— ромб. ПосвойствуциагоналейромбаА,О=ОСи ВО= ОРи Потеореме ПиФагора из и А,ОВ: А,В = 5 (см). Из прямоугольного ЬА,АВ: АА, = /25-9 =4 (см). Найдем площадь основания. Из (зА,АС: ~с 7тс'-АА'- В'-и-,йг 4 э( ).
По теореме косинусов в ЬАВС 7 (4~ГЗ)'= 3 + 5' — 2 3 5сов х.В;сов хВ = — —, 15 49 476 з(в ~В= 1-соз'~В = (1- — = —. Ю„„= 3 225 15 = с/! 76 (ем'). У= 5 „АА, = 4Л776 6= 4ч((6 1! = 16Л( (см'). Рис 530 ,,() 76 15 881 с, с Рис 537 № 730, Примем ВС= ВС, = АС= А С, =х, Из прямоугольного ГАВС: х'+ х' = а, х = /2 У Я„АА — а а а 4 4 ззг Глава ИЬ Объемы тел Примем а < Ь, | !ас= 3 -вЬс = 3 1 2 Л+ Ь' с=З/5 (!) (2) (3) Из (1) и (2)получаем: ас — Ь= 3, 1 2 1 3 — Ь = 3, Ь = 2. Из уравнений (!) и (3): 2 ! и'с' =9 с'а'+4с' =45. 9 + 4с' = 45, 4с' = Зб, с' = 9 (с > О), ! 3 поэтому с = 3. а = — = 1. Итак, а = 1, 3 Ь= 2,с= З.АВ= /Р+ 2' = /5 (м), В Рис. 533 < ас = 3 с /в' + 4 = 3 /5 Хе 732.
Примем ВС, = г(, СС, = Ь. Проведем ВР 1. АС, отрезок С Е он является проекцией ВС, на плоскость боковой грани АА,СС, к.ВС,Е= гр. Из прячоугольного ЛРС,В: РВ = В 51П ф. РВ 2с(з|п<р АВ=— яп 60' /3 АВ'~ГЗ (2с(япгр1 ./3 4 х ~/3 ) 4 4сК' яп'гр Л Л = — — = — Н' яп'<р 34 3 Рис. 533 № 731. Примем АС = Ь, ВС = а, слеловательно АВ = /и' + Ь'. Примем А,А = с. Площади боковых гг!аней, которые являются прямоугольниками, равны ас; Ьс; с /а' + Ь'. Т. к. з/а + Ь' > Ь и ~/а'+ Ь' > и, то наибольшую площадь имеет грань со сторонами 1 т/а'+Ь' ис.
$, =5, = — аЬ. А 1 2 / Дополнительные задачи № 733. АВСА,В,С, — треугольная призма, В,В параллелен плоскости АА,СС. Проведем В,Рперпсндикулярно плоскости АА,С С. Отрезок В, Гость рассзоянис от грани АА,С С до параллельного сй ребра В,В. Теперь лостроим данную призму до параллслспипс- даАВОСА,В Р,С, 1рис. 534), Будем считать основанием параллслспипела ~рвньАА СС, слслоьчпельно его высотой будет отрезок В,К Плоскость С,СВВ, лслит параллслспипел падве равновеликие призмы, тогла объем каждой из них составляет 1 1 Рис. 554 №734.
а))Ь!!с, АЛ,=ВВ,=ССс Известно (см, залачу 733), что объем треугольной призмы раасн половине произвслсния плошади боковой грани на расстояние от атой грани до параллельного ей ребра. Рис 555 1 1 Вмп Найдем высоту призмы С,С = Ь. ЕС = — АС = — АВ = 2 2 чГ3 3 (лз)п<р) Из прямоугольного сзСГС Ь = (с)спад) -~ ~,ГЗ 3 В'мп'Ф ~3соз'<р-в)п'Ю вЂ” лп сосу ~р— ... лс,гз У=В,, В = — сР з)п'~р В. — '— сР а)п'~а — 3соз|~р -з)п'~р, 3 334 Глава У//.
Объемы тел Примем за основание грань АА,В,В, из точки С, проведем отрезок С,г перпендикулярно плоскости АА,В,В. Отрезок С,Г -высота призмы. Величина отрезка С,г" — величина постоянная при заданном положении а, Ь, с. Расстояние между параллельными прямыми а и Ь, а значит, и между отрезками АА, и ВВ, не меняется, тогда высота параллелограмма АА,В,Весть величина постоянная. Поэтому плошаль 5„„„= сопя!, значит У = сопл!.
№ 735. Примем Ь вЂ” коэффициент пропорциональности, 5„5„ 5, — плошали боковых граней наклонной призмы. Слеловательно 5,=Ь 20,5,=Ь 37,5с=Ь 51.5 =5,+5,+5,=108(дм). 10,8 = /с 20 + /с 37 + Ь 5 1 = 108/с, /с = — ' 10,8 1 108 !О Значит5, = — 20 = 2(дм'); 5, = — 37 = 3,7(дм ); 1 с 1 10 !О 5, — 51 = 5,1(дм'). 1 10 В замечании к п. 68 сказано, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на плошадь перпендикулярного ему сечения. Примем, что боковые грани пересечены плоскостью, перпендикулярной к ним. Линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями будут высотами боковых граней, то есть высотами параллелограммов. Примем, что у боковых граней с плошадями 5„5„5, высоты равны Ь„Ь„Ьг Слсловательно: '2 3,7 2=Ь 0,5,Ь = — =4(дм);3,7=И 0,5,Ь = — '(дм); 5,1 5,! = Ь 0,5, Ь = — '(дм). 0,5 Полупериметр перпендикулярного сечения равен: 1 ( 37 51 1 1 ( 881 108 54 р = — ~4+ — + — /1 = — ~4+ — /1 = —.
= — (лм). 2( 5 53 2~, 5/ 2 5 5 Плошадь псрпесшикулярного сечения; 5=т/р(р — И )(р-Ь,)(р-Ьс)=~ — ( — -4~( — — — ~~ — — — ) = 335 Дополнигельныезалачи 54 34 17 3 1 , !7 17 18 — — — — — — 54 17' 2 3 = — 6 3= — (лм'). 5 5 5 5 25 25 25 17 18 ! 153 1'= Б . 0,5 = — — = — = 6,12 (дм'). 25 2 25 № 736.
ЕΠ— высота пирамиды, Х О- центр правильного ЬАВС. Провелем АК3 ВС, отрезок ВК (рис. 1 1 536). По теореме огрех перпенлику- 1 1 лирах ВК3. ВС, поэтому кАЯК= у — линейный угол лвугранного угла «5 при основании. „С Проведем АЕ перпендикулярно А ""-- -дзплоскости ВЕС Поскольку плоскость АВК перпендикулярна плоскости ВЗС, то АЕ принадлежит плоскости АВК. гас. 53б Из прямоугольного ЬАЕК: т АК=— яп ~р Примем с~орону основания равной а, следовательно из Е АВК: и /3 ан'3 т 2т АК = а яп 60' = —. Тогда — = —, а = 2 2 ялмар 13 в)п<р а' ГЗ 4т' Л т' (3 4 Зь!и'(р 4 Зв!и'гр В 2тАВС ОК- радиус вписанной окружности, а 2т 1 т 2зГЗ ГЗв!п<р 2~ГЗ Зв!пгр 81зЕО»: — = !8 р, ЕО= ОК!Вгр = Ю т а пир т ОК 35(пгр сояр Зсояр 1 1 т'зГЗ т т' ГЗ 3 ' 3 Зяп'<р Зсояр 27з!и'<рсояр № 737. Ю вЂ” высота пирамиды, Π— точка пересечения лиагоналей квадрата АВСР.
Примем сторону основания равной а. К— середина ребра ЮС, КЕ перпендикулярен плоскости АВСР, КЬ =- т, Глава Иб Объемы твл 336 т.к, плоскость ЮС перпендикулярна плоскости АВСО и К приналлсжит плоскости 50С. Кб— срслняя линия в Л50С, поэтому Ю= 2т1рис.537). С ЕС= —,ОС.= 2СЕ = —, 18(р гбао 4т АС = 20С = —. гбгР Из прямоугольного сзАВС: 4т 4т ачба = —,а = —. 18ч ч2М 1 8т' 1бт' Р'=- -Х„,„Ю = — —, ° 2т = —,—. 3 "'" 3 18'<Р 318'~Р А а В Рис.
537 1бт' 8т' 218'д 18'~р В № 738. ОΠ— вьюота пирамиды, 1а плоскость ВОС перпендикулярна М плоскости АВС. Проведем ОМ 3. ОС, через точку 0 проведем Кб ~~ АВ, отрезки Мь и МК, КЕ перпенликуляи С рен плоскости ООС, значит, -4- ОМ Л. БС по построению. Значит, плоскость КЕМ перпендикулярна ВС В и поэтому ЕМ 3. 2)Си КМ.) дС. ЗнаРис. 538 чит, и'.КМЕ = 2<р, ЬКОМ= с310М, значит ЕКМО = с'.с'.МО = ~р. Причем ~02)М = а, следоватслыю из прямоугольного сзООМ: ОМ = Ь а)и а. Причем КО = ОЕ = у, следовательно из прямоугольного ЛБОМ: = 18 гр (1) Вяла Рассмотрим с' АВС.
В нем ОС вЂ” ралиус описанной окружности, ОС= В, а Оà — радиус вписанной окружности. ОЕ = и. Примем, что а сторонаоснования равна а, слсловательноАР= РВ = —. 2 Из полобия треугольников ЕСВ и ОС). имеем: азу Дополнительные задачи у и и)г па а а К 2(Н + г) 2()(+ г) -. Д 3 гз 2 а ГЗ Я+ г= РС = из!и бб' = —. 2 1 а Возвращаясь к (!), имеем: (2) ла!пгх 3 Я и Из г1ООС: — = !я а, или — = !да, поэтому и =6 Гзгб а. й ',Ъ Подставим в (2); )г»ГЗ (ла г- з)па =!а<9;Ьчз — = !а!р Зб з!па,т, е.
Зсоза !йгр= Д, 36 з!па сова Д (г Ь згур гсоаа = —, боковое ребро ОС равно — = — = 9 за гй!р. 3!й!р соза ~ГЗ Найлом с~арену основания гл — = )1, с другой стороны, из 43 ~ ро~д=,г~ -г,г-звчь-Р -ьдч~-'~;.. =й4Ящ-~, ар ВД 43гь"гр-1 з(3 аД Гз Ю, =; я,, = — й- 'З(З!я' р-1). 4 " 4 )г=-5, й=- — (3!Ь!9-1) б= — )!'(Згб!9-1). 1 ! 3чЪ', ГЗ 3 ' 3 4 4 Я № 739. оΠ— высота пирамиды.
В основании лежит правильный л-угольник, Π— его иснтр. ОА, = ОА, = ... = ОА„= Л', где г! — радиус описанной окружности. а 180' 2з!и -— л Примем боковое ребро пирамиды равным х. Слсловательно из х'.хА,ЯА, по теореме синусов; А, а А, Рас 539 338 Глава )ЛЬ Обьемы тел азш(90 — — асоза ~'~ сг 2) 2 ыпа ~ ~90' — ) и а . а 2 Яп — соз — 2 ып— 2 2 2 5!пгх Из прямоугольного сзА ОЮ: 2 Найлом плошадь основания. Из планимстрии известно, яго плошаль правильного л-угольника выражается: 5„= — —,. У -Х Ь=— ла' 1 1 ла' а ! 1 180 3 3 180 2 2а . 2180 4г8— 4гя — з)п' — ып' л л 2 л 0 № 740.
сз 0ОА = Л0ОВ = ЛООС (по катету и острому углу). Тогла, 0А = 0В= 0СиОА =ОВ= ОС= = В, Л вЂ” радиус окружности, описанной около сзАВС (рис. 540). 6 Из ЛАО0: — = 18 <Р„ ОА ОА = К = Ь 1РР ~ Рассмотрим сзАВС. По теореме синусов: а Ь с ып(~р, +~р,) з!п<р, ь)гор, 2Ь = 28= —. 1811 с Рис. 540 2Ь . 2Ь а = — ып <рв Ь = — ып <рс 18гр1 гУР~ 339 ополнигельные задачи № 741. У=-5 „Н, ! 3 Из прямоугольного ЙР00; Ю Н Н вЂ” =!Пу,— =137,ОО=— 00 00 !Ву Из прямоугольного 11РОС: Ю Н Н вЂ” =!3(3,— =!В !),ОС= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
