shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 52
Текст из файла (страница 52)
f(x) убывает на ⎜ −∞,26 ⎞⎛ 26 ⎤⎟ и на ⎜ , 3⎥ , возрастает на [3, +∞).9 ⎠⎝ 9 ⎦5.5.С09.ex15− 5 , ОДЗ x ≠ −15 + 14 x14⎛ 15 + 14 x − 14 ⎞14 x + 1 x=f '( x) = e x ⎜e2 ⎟++ 14 x) 2151415()(x⎝⎠а) f ( x) =f'(x)=0 при x = −1, в этой точке производная меняет знак с "–" на "+",14значит, это точка минимума;ex7− 3 , ОДЗ x ≠7 − 20 x207 − 20 x + 20 x27 − 20 x xf '( x) =e =e(7 − 20 x)2(7 − 20 x) 2б) f ( x) =f'(x)=0 при x =27, f'(x) в этой точке меняет знак с "+" на "–", значит, это20точка максимума.5.5.С10.а) f ( x) =4e x + 54e x (5e x + 4) − (4e x + 5) ⋅ 5e x. f′(x) == 0;x5e + 4(5e x + 4)220e2x + 16ex – 20e2x – 25ex = –9ex < 0.Ответ: функция убывает при x ∈ R.б) f ( x) =11e x + 611e x (6e x + 11) − (11e x + 6) ⋅ 6e x. f′(x) == 0;x(6e x + 11)26e + 1166e2x + 121ex – 66e2x – 36ex = 85ex > 0.415Ответ: возрастает при x ∈ R.5.5.С11.а) f(x) = (–2x – 1)e2x–7 + e–1.f′(x) = –2⋅e2x–7 – 2x⋅2e2x–7 – 2e2x–7 = 0;e2x–7(–4 – 4x) = 0; x = –1;+x––2Ответ: при x ∈ (–∞; –1] функция возрастает;при x ∈ [–1; +∞) функция убывает.б) f(x) = (3x – 1) e3x–5 + e4.
f′(x) = 3⋅e3x–5 + 3x⋅3⋅e3x–5 – 3e3x–5 = 0;9x⋅e3x–5 = 0; x = 0;+–x0Ответ: при x ∈ (–∞; 0] функция убывает;при x ∈ [0; +∞] функция возрастает.5.5.С12.а) f(x) = (4x2 – 5x)e–5x–2. f′(x) = e–5x–2(–20x2 + 25x + 8x – 5) ≥ 0;20x2 – 33x + 5 ≤ 0;⎡ 33 − 689 33 + 689 ⎤;⎥ — промежуток возрастания.4040⎣⎢⎦⎥x∈⎢⎡ 33 − 689 33 + 689 ⎤;⎥.4040⎣⎢⎦⎥Ответ: ⎢б) f(x) = (–5x – 4)2e–4x–5. f′(x) = (–10(–5x – 4) – 4(–5x – 4)2)e–4x–5 ≥ 0;(–5x – 4)(10x + 8 – 5) ≥ 0; (5x + 4)(10x + 3) ≤ 0;––+−45−310x⎛⎝4⎤⎡ 3⎣⎞⎠Ответ: возрастает x ∈ [–0,8; –0,3]; убывает: x ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎢ − ; +∞ ⎟ .510Уровень D.5.5.D01.1 3x −4 x +51 3x −4 x +52 3x −8 x + 22 3x −8 x + 2.
y′(x) = (x2 – 4) ⋅ 2 3⋅ ln2 = 0;а) y(x) = 2 3x = ±2; среднее геометрическое брать нельзя.б) y(x) = 2 3; y′(x) = (2x2 – 8) 2 3⋅ ln2 = 0x = ±2 среднее геометрическое брать нельзя.5.5.D02.416⎦а) f(x) = −3 − 5 ( x + 3) 4 e x −1 .⎛ 4⎜ 5⎝f′(x) = ⎜ − ( x + 3)45x+3+55−15⎞− 5 ( x + 3)4 ⎟ e x −1 = 0;⎟⎠( x + 3)4 = 0 ;4 + 5(x + 3) = 0; x = −34— экстремум.5Производная не определена при x =–3, значит, x =–3 — критическая точка.45Длина отрезка равна 3 − 3 =44.
Ответ: .55⎛⎜⎝66б) f(x) = −7 − 2( x − 3) 7 e x − 5 . f′(x) = e x − 5 ⎜ −2( x − 3) 7 −61− ⎞12( x − 3) 7 ⎟ = 0;⎟7⎠1−66( x − 3) 7 + ( x − 3) 7 = 0 ; x − 3 + = 0 ;771x = 2 — экстремум.7Производная не определена при x =3, значит, эта точка критическая.17Длина отрезка равна: 2 − 3 =66. Ответ: .775.5.D03.а) f(x) = (x – 6)12ex+5 – 4.f′(x) = ex+4((x – 6)12+12(x – 6)11) = 0;(x – 6)11(x – 6 + 12) = 0;++–x6–6x = ±6.Ответ: x = ±6; x = 6 — min; x = –6 — max.б) f(x) = (x – 4)8ex+3 – 5.f′(x) = ex+3((x– 4)8 + 8(x – 4)7) = 0;(x – 4)7((x – 4) + 8) = 0;++––44xx = ±4.Ответ: x = 4 — min; x = –4 — max.5.5.D04.а) f(x) = (x – 4)12e3x+2 – 5.f′(x) = e3x+2(3(x – 4)12 + 12(x – 4)11) ≥ 0;417(x – 4)11(3x – 4 + 4) ≥ 0;++–x40при x ∈ (–∞; 0] ∪ [4; +∞) — возрастает, x ∈ [0; 4] — убывает.Ответ: возрастает: x ∈ (–∞; 0] ∪ [4; +∞); убывает: x ∈ [0; 4).б) f(x) = (x – 10)10e5x–6 + 1.f′(x) = e5x–6(5(x – 10)10 + 10(x – 10)9) ≥ 0;(x – 10)9(x – 10 + 2) ≥ 0;++–x108при x ∈ (–∞; 8] ∪ [10; +∞) — возрастает, x ∈ [8; 10] — убывает.Ответ: возрастает: x ∈ (–∞; 8] ∪ [10; +∞); убывает: x ∈ [8; 10].5.5.D05.а) f(x)=(x–5)5(x–10)10exf'(x)=5(x–5)4(x–10)10ex+10(x–5)5(x–10)9ex+ex(x–5)5(x–10)10==ex(x–5)4(x–10)9(5(x–10)+10(x–5)+(x–5)(x–10))==ex(x–5)4(x–10)9(15x–100+x2–15x+50)=ex(x–5)4(x–10)9(x2–50)f'(x) меняет знаки в точках x=10, x = ± 50 .Они и будут точками экстремума;б) f(x)=(x–10)10(x–8)8exf'(x)=10(x–10)9(x–8)8ex+8(x–8)7(x–10)10ex+ex(x–10)10(x–8)8==(x–10)9(x–8)7ex(10(x–8)+8(x–10)+(x–10)(x–8))==(x–10)9(x–8)7ex(18x–160+x2–18x+80)=(x–10)9(x–8)7ex(x2–80)f'(x) меняет знаки в точках x=8, x=10, x = ± 80 .Они и будут точками экстремума.5.5.D06.а) y(x) = (x – 3)e–x – 2.
y′(x) = e–x(3 – x + 1) = 0;–+x44 – x = 0; x = 4.Ответ: возрастает: x ≤ 4; убывает: x ≥ 4 ⇒x = 4 — точка максимума; f(4) = e–4 – 2;область определения = R.б) y(x) = (x – 5)e–x – 4.y′(x) = e–x(5 – x + 1) = 0;–+6x6 – x = 0; x = 6.Ответ: область определения = R; возрастает: x ≤ 6; убывает: x ≥ 6;418x = 6 — точка максимума, f(6) = e–6 – 4.5.5.D07.а) y(x) = (x + 1)ex – 2.y′(x) = ex(x + 2) = 0;+–x–2x + 2 = 0; x = -2.Ответ: область определения = R; возрастает: x ≥ –2; убывает: x ≤ –2 ⇒x = –2 — минимум, f(–2) = –e–2 – 2.б) y(x) = (x + 3)ex + 4.y′(x) = ex(x + 4) = 0;+––4xx + 4 = 0; x = –4.Ответ: область определения = R; возрастает: x ≥ 4; убывает: x ≤ –4 ⇒x = –4 — точка минимума, f(–4) = –e–4 + 4.5.5.D08.а) y(x) = (x2 + 4x + 5)e–x – 3.y′(x) = e–x(2x + 4 – x2 – 4x – 5) ≥ 0;–x2 – 2x – 1 ≥ 0; (x + 1)2 ≤ 0;x = –1 — корень второй кратности ⇒ y(x) всегда убывает.Область определения = R.Экстремумов нет; x = –1 — критическая точка.Ответ: D(y) = (–∞; ∞), x = –1 — критическая точка, экстремумов нет, убывает на всей числовой оси.б) y(x) = (x2 – 2x + 2)e–x – 1.
y′(x) = e–x(2x – 2 – x2 + 2x – 2) ≥ 0;x2 – 4x + 4 ≤ 0;x = 2 — критическая точка кратности 2 ⇒y(x) убывает на области определения, равной R, экстремумов нет.Ответ: D(y) = (–∞; ∞), x = 2 — критическая точка, экстремумов нет, убываетна всей числовой оси.5.5.D09.2e 2 x2e2 x (2 x 2 − 2 x)x( x − 1)1−.y′(x)=≥ 0;≥0;24xxx4++–x10а) y(x) =Ответ: при x ∈ (0; 1] — убывает; при x ∈ (–∞; 0) ∪ [1; +∞) — возрастает;x = 1 — точка минимума, y(1) = 2e2 – 1;область определения R \ {0}.б) y(x) =4e 2 x4e 2 x (2 x 2 − 2 x)x( x − 1)− 3 . y′(x) =≥ 0;≥0;2xx4x4419++–x10Ответ: при x ∈ (0; 1] — убывает; x ∈ (–∞; 0) ∪ [1; +∞) — возрастает;область определения = R \ {0};x = 1 — точка минимума, y(1) = 4e2 – 3.5.5.D10.а) f(x) = e–3x+2 – 3x.f′(x) = –3e–3x+2 – 3 ≥ 0;e–3x+2 + 1 ≤ 0 — решений нет ⇒ убывает на R.f(x) = e–3x+2 – 3x = e−317 + 2− 3 17 = f( 17 ) ; Очевидно, x =17 .Ответ: функция убывает на R; x = 17 .б) f(x) = e5x+3 + 4x.Сумма двух возрастающих функций ⇒f(x) возрастает на R.f(x) = e5x+3 + 4x = e55 +3+4 5 = f( 5 ) ; Очевидно, x =5.Ответ: функция возрастает на R, x = 5 .5.5.D11.а) f(x) = e–4x+5 – 4x3.Сумма двух убывающих функций ⇒f(x) убывает на R.f(x) = y–4x+5 – 4x3 > e–4ln2+5 – 4ln32 = f(ln2).Очевидно, x < ln2.Ответ: функция убывает на R; x < ln2.б) f(x) = e2x+3 + 4x3.Сумма двух возрастающих функций ⇒f(x) — возрастает на R.f(x) = e2x+3 + 4x3 < e2ln3+3 + 4ln33 = f(ln3).Очевидно, x < ln3.Ответ: функция возрастает на R; x < ln3.5.5.D12.а) y(x) =e 2 x + e −2 x−3.2Область определения равна R.y′(x) =1(2e2x – 2e–2x) = e2x – e–2x ≥ 0; e2x = e–2x; 2x = –2x ⇔ x = 0.2Ответ: возрастает: x ≥ 0; убывает: x ≤ 0; x = 0 — экстремум (min), f(0) = –2.Множество значений y(x) ≥ –2.420–11–2e4 x + e −4 xб) y(x) =−4 .3Область определения равна R.13y′(x) = (4e4x – 4e–4x) = e4x – e–4x ≥ 0Ответ: возрастает: x ≥ 0; убывает: x ≤ 0; D(y) = (–∞; +∞);⎡⎣1313⎞⎠x = 0 — минимум, f(0) = −3 ; E ( f ) = ⎢ −3 ; +∞ ⎟ .–11−313§ 6.
Логарифмическая функцияУровень А.5.6.А01.⎛1⎝3⎞⎠1952а) y ( x) = ⎜ x3 − 5 x 2 + 25 x ⎟ ln x − x3 + x 2 − 25 x − 211y '( x) = ( x 2 − 10 x + 25) ln x + x 2 − 5 x + 25 − x 2 + 5 x − 25 =(x–5)2lnx33y'(x)=0 при x=1, x=5.y'(x) меняет знак с "–" на "+" в точке x=1, это точка минимума;⎛4⎝3⎞⎠49б) y ( x) = ⎜ x3 − 6 x 2 + 9 x ⎟ ln x − x3 + 3x 2 − 9 x + 944y '( x) = (4 x 2 − 12 x + 9) ln x + x 2 − 6 x + 9 − x 2 + 6 x − 9 =(2x–3)2lnx333y'(x)=0 при x = , 1.2421y'(x) меняет знак с "–" на "+" в точке x=1 это точка минимума.5.6.А02.⎡ 16 ⎤а) y(x) = 13x – 16lnx – 7, ⎢1; ⎥ .⎣ 13 ⎦y′(x) = 13 –1616= 0; x > 0; 13x = 16; x = ;x3+–163⎡ 16 ⎤⎛ 16 ⎞На ⎢1; ⎥ y(x) убывает, т.е.
max y(x) = y(1); min y(x) = y ⎜ ⎟ .⎣ 13 ⎦⎝ 3⎠y(1) = 13 – 16ln1 – 7 = 6;1616⎛ 16 ⎞y ⎜ ⎟ = 16 − 16 ln − 7 = 9 − 16 ln .1313⎝ 13 ⎠16⎛ 16 ⎞Ответ: ymax = y(1) = 6; ymin = y ⎜ ⎟ = 9 − 16ln .13⎝ 13 ⎠⎡2⎤б) y(x) = 5x – 2lnx + 23, ⎢ ; 1⎥ .⎣5 ⎦y′(x) = 5 –22= 0; x>0; x =x5+–25⎡2 ⎤На ⎢ ; 1⎥ y(x) возрастает, т.е. max y(x) = y(1);⎣5 ⎦⎛2⎞min y(x) = y ⎜ ⎟ .⎝5⎠222⎛ ⎞y ⎜ ⎟ = 2 − 2ln + 13 = 15 − 2ln ; y(1) = 5 – 2ln1 + 13 = 18.55⎝5⎠⎛2⎞⎝ ⎠2Ответ: ymax = y(1) = 18; ymin = y ⎜ ⎟ = 15 − 2ln .555.6.А03.x227− 12 x + 27 ln x + 15 .
y′(x) = x – 12 += 0;x212 + 612 − 6x2 – 12x + 27 = 0; D = 144 – 4⋅27 = 36; x1 == 9; x2 == 3;22а) y ( x) =++3–9xОтвет: [3; 9] — промежуток убывания.422x218– 19x + 18lnx – 8. y′(x) = x – 19 + = 0;2xб) y(x) =x2 – 19x + 18 = 0; x > 0; x1 = 1; x2 = 18;++10–x18Ответ: промежуток возрастания: (0; 1] ∪ [18; ∞].5.6.А04.⎛ 2⎝ 3⎞⎠29а) y ( x) = ⎜ − x3 + 14 x 2 − 98 x ⎟ ln x + x3 − 7 x 2 + 98 x − 6 .23y′(x) = –2x2lnx – x3111 2+ 28xlnx + 14x2 – 98lnx – 98x + x2 – 14x + 98 = –xxx 32x2lnx + 28xlnx – 98lnx = lnx(–2x2 + 28x – 98) = 0;⎡ ln x = 0; x > 0;⎢2⎣ −2 x + 28 x − 98 = 0x = 1;D = 282 – 4⋅2⋅98 = 784 – 784 = 0; x =−28= 7;−4+01–7–xОтвет: функция возрастает при x ∈ (0; 1]; функция убывает при x ∈ [1; +∞).4 3x + 12x2 – 48x – 15.34y′(x) = 12x2lnx + 4x2 – 48xlnx – 24x + 48lnx + 48 – 3x2 + 24x – 48 =3б) y(x) = (4x3 – 24x2 + 48x)lnx –= (12x2 – 48x + 48)lnx = 0;⎡ ln x = 0; x > 0;⎢ 2⎣12 x − 48 x + 48 = 0x = 1; x = 2++–x120Ответ: функция возрастает при x ∈ [1; +∞);функция убывает при x ∈ (0; 1].5.6.А05.а) y(x)=5x–2lnx2, y(x) возрастает при y'(x)≥0x25 1⎡2⎞т.е.
5 − ≥ 0, ≥ , x ∈ ( −∞, 0 ) ∪ ⎢ , + ∞ ⎟2 xx⎣5⎠y '( x) = 5 −423⎡2⎞т.е. y(x) возрастает на x ∈ (–∞, 0) и на ⎢ , + ∞ ⎟ ;⎣5⎠б) y(x)=4x–3lnxy '( x) = 4 −3, y(x)xпри y'(x)≤0 т.е. 4 −33≤ 0, 4 ≤xx4 1⎛ 3⎤≤ , x ∈ ⎜ 0, ⎥3 3⎝ 4⎦⎛⎝3⎤т.е. y(x) убывает на ⎜ 0, ⎥ .4⎦5.6.А06.а) y(x) = (18x2 – 89x)lnx – 9x2 + 89x + 14.y′(x) = 18x211+36lnx – 89x – 89lnx – 18x + 89 = (36x – 89) lnx = 0;xx⎡ ln x = 0⎢36 x − 89 = 0 ;⎣89x = 1; x =;36++–1Ответ: xmin =x893689; xmax = 1.36б) y(x) = (40x2 – 31x)lnx – 20x2 + 31x + 13.y′(x) = 40x211+ 80xlnx –31x –31lnx – 40x + 31 = lnx(80x – 31) = 0;xx⎡ ln x = 0⎢80 x − 31 = 0 ;⎣x = 1;x=31;80++3180–x1Ответ: xmin = 1; xmax =31.80Уровень В.5.6.В01.а) f(x) = x – 5ln(x + 1), [0; 8].424f′(x) = 1 – 51= 0;x +1x + 1 = 5; x = 4;+–x4f(4) = 4 – 5ln5;f(0) = 0;f(8) = 8 – 5ln9.Ответ: fmin = f(4) = 4 – 5ln5;fmax = f(0) = 0.б) f(x) = x – 4ln(x + 3), [–2; 6].f′(x) = 1 –4= 0; x + 3 = 4; x = 1;x+3+–x1f(1) = 1 – 4ln4;f(–2) = –2;f(6) = 6 – 4ln9.Ответ: fmin = f(1) = 1 – 4ln4; fmax = f(–2) = –2.5.6.В02.а) f(x) = ln(x + 2) + ln(28 – x).f′(x) =11= 0; D(f) = (–2; 28);−x + 2 28 − xx + 2 = 28 – x; 2x = 26; x = 13;+13–xfmax = f(13) = ln(15) + ln(15) = 2ln15.Ответ: 2ln15.б) f(x) = ln(x + 4) + ln(20 – x).f′(x) =11−= 0;x + 4 20 − xx + 4 = 20 – x; D(f)=(-4;20).2x = 16; x = 8;+8–xfmax = f(8) = ln12 + ln12 = 2ln12.Ответ: 2ln12.5.6.В03.а) y(x)=4x2lnx+3xlnx–2x2–3x+4, ОДЗ x>0y'(x)=8xlnx+4x+3lnx+3–4x–3=8xlnx+3lnx=lnx(8x+3)42538Точки экстремума x=1, x = − , но y(x) определена при x>0.y(1)=–1;б) y(x)=2x2lnx+5xlnx–x2–5x+7, ОДЗ x>0y'(x)=4xlnx+2x+5lnx+5–2x–5=lnx(4x+5)y'(x)=0 при x=1, x = −5, но y(x) определена при x>04x=1 – экстремумy(1)=1.5.6.В04.а) y(x) = ln(x – 5) –y′(x) =x– 4.311− = 0; x > 5;x−5 3x – 5 = 3; x = 8;+58–xОтвет: функция возрастает при x ∈ (5; 8]; функция убывает при x ∈ [8; +∞).б) y(x) = ln(x – 3) –y′(x) =x– 2.411− = 0;x−3 4x – 3 = 4; x = 7;+–x37Ответ: функция возрастает при x ∈ (3; 7];функция убывает при x ∈ [7; +∞)5.6.В05.а) f(x)=ln(x+2)+ln(x+3)–1,5x–3, ОДЗ x>–2f '( x) ==113 2( x + 2 + x + 3) − 3( x + 2)( x + 3)=+− =x+2 x+3 22( x + 2)( x + 3)4 x + 10 − 3x 2 − 15 x − 183x 2 + 11x + 8(3x + 8)( x + 1)=−=−2( x + 2)( x + 3)2( x + 2)( x + 3)2( x + 2)( x + 3)Учитывая, что x>–2 имеем одну точку экструмума x=–1;б) f(x)=ln(x–3)+ln(x–2)–1,5x+10, ОДЗ x>2f '( x) ==113 2( x − 3 + x − 2) − 3( x − 3)( x − 2)=+− =x−3 x−2 22( x − 3)( x − 2)2 x − 10 − 3x 2 + 15 x − 183x 2 − 17 x + 28(3x + 4)( x − 7)=−=−2( x − 3)( x − 2)2( x − 3)( x − 2)2( x − 3)( x − 2)учитывая, что x>2, получим одну точку экструмума x=7.4265.6.В06.⎛ 19 11 ⎞а) f(x)=ln(19x+2)+ln(11–19x), ОДЗ x ∈ ⎜ − , ⎟⎝ 2 19 ⎠f '( x) =⎛ 11 − 19 x − 19 x − 2 ⎞1919−= 19 ⎜⎟=19 x + 2 11 − 19 x⎝ (19 x + 2)(11 − 19 x) ⎠⎛⎞38 x − 9⎟⎝ (19 x + 2)(11 − 19 x) ⎠9точка экстремума x =38= −19 ⎜т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
