shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 55
Текст из файла (страница 55)
a ≥11.202) −4 − 2 3a − 3 = −7 + 20a − 11 .9 = 12a − 12 + 20a − 11 + 4 3a − 3 20a − 11 ;32 − 32a = 4 60a 2 − 93a + 33 = 12a − 12 ;4a2 – 35a + 31 = 0;D = 1225 – 496 = 729; a =35 ± 2731; a1 = 1; a2 =;843) −4 + 2 3a − 3 = −7 + 20a − 11 .9 + 12a − 12 + 12 3a − 3 = 20a − 11 ;12 3a − 3 = 8a − 8 ;27a – 27 = 4a2 – 8a + 4;4a2 – 35a + 31 = 0;то же самое.4) −4 + 2 3a − 3 = −7 − 20a − 11 ;нет решений, т.к. корень ≥ 0.31.4⎧⎪ x + 5 y = −5.6.1.D11. а) ⎨22⎪⎩( x + 8 y ) − 12ax − 96ay + 45a + 66a + 121 = 0Ответ: a1 = 1, a2 =x = –5y – 5;9y2 – 30y + 25 + 60ay + 60a – 96ay + 45a2 + 66a + 121 = 0;9y2 – 6y(5 + 6a) + 45a2 + 126a + 146 = 0;(3y – 5 – 6a)2 + 9a2 + 66a + 121 = 0;9a2 + 66a + 181 = 0;D−3311= 1089 – 1089 = 0; a ==− ;49311.3⎧⎪ x − 2 y = 5.б) ⎨22⎪⎩( x + 2 y ) − 18ax − 36ay + 85a + 20a + 25 = 0Ответ: a = −⎧⎪ x = 5 + 2 y;⎨22⎪⎩16 y + 40 y + 25 − 90a − 36ay − 36ay + 85a + 20a + 25 = 016y2 + 8y(5 – 9a) + 85a2 – 70a + 50 = 0;DD= 4a 2 + 20a + 25 ;=0;44−55.
Ответ: a = − .4a2 + 20a + 25 = 0; a =224476.1.D12. а) x2 + 6x + a2 = x2 – ax + 36.x(6 + a) = 36 – a2, т.е. a ≠ –6;x = 6 – a > a2;a2 + a – 6 < 0;a ∈ (–3; 2). Ответ: a ∈ (–3; 2).б) x2 + 8x + 4a2 = x2 + 2ax + 64.x(8 – 2a) = 64 – 4a2, т.к. a ≠ 4;x = 8 + 2a ≤ a2;a2 – 2a – 8 ≥ 0;a ∈ (–∞; –2] ∪ [4; +∞);но a ≠ 4 ⇒ a ∈ (–∞; –2] ∪ (4; +∞). Ответ: a ∈ (–∞; –2] ∪ (4; +∞).§ 2.
Рациональные функции77a. ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –8;=xx2 + 8x6.2.D01. а)7x = 7ax2 + 56xa;ax2 + 8xa – x = 0;1 − 8a>0;a⎛ 1⎞a ∈ ⎜ 0; ⎟ .⎝ 8⎠x=⎛1⎞Ответ: a ∈ ⎜ 0; ⎟ .⎝ 8⎠б)84a.=xx 2 + 3xОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –3;2x = ax2 + 3ax, т.к. x ≠ 0, a ≠ 0;2 − 3a>0;a⎛ 2⎞a ∈ ⎜ 0; ⎟ .⎝ 3⎠x=⎛⎝Ответ: a ∈ ⎜ 0;6.2.D02. а)2⎞⎟.3⎠2x= 5ax + 5a10a= x . ОДЗ: x ≠ –5a;x + 5ax(2 – 5a) = 25a2;225a 2⇒ x=;52 − 5a10a(2 − 5a)25a 2=;222 − 5a25a + 10a − 25aa≠448(2 – 5a)2 = (5a)2; a = 0,2;Ответ: a = 0,2.3x= 2ax + 2a6a= x . ОДЗ: x ≠ –2a;x + 2aб)3x = 2ax + 4a2;x(3 – 2a) = 4a2;a≠3;2x=4a 2;3 − 2a6a(3 − 2a)4a 2;=4a 2 + 6a − 4a 2 3 − 2a3(2a)2 = (3 – 2a)2; a = = 0,75;4Ответ: a = 0,75.6.2.D03.6 1= axx 671= ax .
ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ a;x−a 667;=x x−aа)6x – 6a = 7x;x = –6a;61= ⋅ a ⋅ (−6a) ;−6a 61− = −a 2 ; a = 1; Ответ: a = 1.a73б) = − axx783= − ax . ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –3a;x + 3a778;=x x + 3a7x + 21a = 8x;x = 21a;13= − ⋅ a ⋅ 21a ;3a71= −9a 2 , т.к. a ≠ 0;3a4491327a3 = –1, a = − ;13Ответ: a = − .6.2.D04. а)x 2 + x − 12<0.x − (a − 4) x − 4a2x2 + x – 12 = 0;x = –4, x = 3;x2 – (a – 4)x – 4a = 0;D = a2 – 8x + 16 + 16a;a − 4 ± (a + 4); x1 = a, x2 = –4;2( x + 4)( x − 3)< 0 при a < –4, x ∈ (a; –4) ∪ (–4; 3);( x + 4)( x − a)x1,2 =Ответ: a < –4.б)x2 − 5x − 6<0.x − (a − 1) x − a2x2 – (a – 1)x – a = 0;D = (a + 1)3, x1 = a, x2 = –1;( x − 6)( x + 1)< 0 при a < –1, x ∈ (a; –1) ∪ (–1; 6);( x − a )( x + 1)Ответ: a < –1.6.2.D05.
а)x 2 − (a + 6) x + 6a<0.x 2 − (a − 3) x − 3aПо теореме Виета получаем:( x − a )( x − 6)< 0 , при a ∈ (–3; 6) x ∈ (–3; a) ∪ (a; 6);( x − a )( x + 3)Ответ: a ∈ (–3; 6).б)x 2 − (a − 1) x − a<0.x 2 − (a − 5) x − 5aПо теореме Виета получаем:( x − a )( x + 1)< 0 , при a ∈ (–5; 21) x ∈ (–5; a) ∪ (a; –1);( x − a )( x + 5)Ответ: a ∈ (–5; –1).6.2.D06. а)6>a.x−a6 − ax + a 2>0;x−aax − a 2 − a<0;x−a450a = 0,6> 0 , x > 0;xa ≠ 0, a > 0, т.к.⎛a2 + 6a2 + 6 ⎞> a , то x ∈ ⎜⎜ −∞;⎟ ∪ ( a; +∞ ) ;aa ⎟⎠⎝Ответ: a = 0, x > 0;⎛a > 0, x ∈ ⎜⎜ a;⎛a2 + 6 ⎞a2 + 6 ⎞⎟⎟ ; a < 0, x ∈ ⎜⎜ −∞;⎟ ∪ ( a; +∞ ) .a ⎠a ⎟⎠⎝⎝5> 4a .б)x − 4a4ax − 16a 2 − 5<0;x − 4a5a = 0: − < 0 , x > 0;xa ≠ 0: a > 0, т.к.a < 0, т.к.⎛16a 2 + 516a 2 + 5 ⎞> 4a , то x ∈ ⎜⎜ 4a;⎟;4a4a ⎟⎠⎝⎛16a 2 + 516a 2 + 5 ⎞< 4a , то x ∈ ⎜⎜ −∞;⎟ ∪ ( 4a; +∞ ) ;4a4a ⎟⎠⎝Ответ: a = 0, x > 0;⎛a > 0, x ∈ ⎜⎜ 4a;⎝⎛16a 2 + 5 ⎞16a 2 + 5 ⎞⎟⎟ ; a < 0, x ∈ ⎜⎜ −∞;⎟ ∪ ( 4a; +∞ ) .4a ⎠4a ⎟⎠⎝6.2.D07.31> .ax + a 515 − ax − a>0;(ax + a )5ax + a − 15<0;5(ax + a )а)При a = 0 решений нет.⎛15⎞При a > 0, x ∈ ⎜ −1; −1 +15 ⎞⎟.a⎠При a < 0, x ∈ ⎜ −1 + ; −1⎟ .a⎝⎠⎛⎝⎛15⎞⎛15 ⎞Ответ: a = 0 — решений нет; a < 0 x ∈ ⎜ −1 + ; −1⎟ ; a > 0 x ∈ ⎜ −1; −1 + ⎟ .aa⎠⎝⎠⎝б)13> .ax − a 44514 − 3ax + 3a> 0 ; ОДЗ: a ≠ 0, x ≠ 1;(ax − a )3a + 4x−3a < 0 ;x −1⎛ 3a + 4 ⎞⎛ 3a + 4 ⎞; 1⎟ ;a > 0, x ∈ ⎜ 1;⎟ ; a< 0, x ∈ ⎜3a ⎠⎝⎝ 3a⎠Ответ: a = 0 — решений нет;⎛⎝a > 0 x ∈ ⎜1;3a + 4 ⎞⎛ 3a + 4;⎟ ; a < 0 x∈⎜3a ⎠⎝ 3a⎞1⎟ .⎠6.2.D08.а) g ( x) =2x2 + 7 x + 7>0.12 x − (9b − 8) x + 12212x2 – (9b – 8)x + 12 = 0;D = 81b2 – 144b + 64 – 576 < 0;81b2 – 144b – 512 < 0;D= 5184 + 41472 = 46656;4⎛ 72 − 216 72 + 216 ⎞⎛ 16 32 ⎞b∈⎜;⎟ ; b∈⎜− ;⎟;81 ⎠⎝ 81⎝ 9 9 ⎠⎛ 16 32 ⎞Т.к.
числитель всегда > 0, то при b ∈ ⎜ − ;⎟ g(x) > 0.⎝ 9 9 ⎠⎛ 16 32 ⎞Ответ: b ∈ ⎜ − ;⎟.⎝ 9 9 ⎠12 x 2 + 3 x + 5б) g ( x) = 2>0.2 x − (10b − 9) x + 2Т.к. числитель > 0 всегда, то g(x) > 0 ⇔2x2 – (10b – 9)x + 2;D = 100b2 – 180b + 81 – 16 < 0;100b – 180b + 65 < 0;D= 8100 – 6500 = 1600;4⎛1⎞b ∈ ⎜ ; 1,3 ⎟ .⎝2⎠⎛ 1 13 ⎞⎟.⎝ 2 10 ⎠Ответ: b ∈ ⎜ ;6.2.D09.⎧1 2⎪ x + y = 2a⎪. Пустьа) ⎨⎪ 5 + 12 = 1 − 3a⎪⎩ x y452⎧1⎪⎪ x = m;⎨2⎪ =n⎪⎩ y⎧ m + n = 2a;⎨⎩5m + 6n = 1 − 3a⎧n = 1 − 13a;⎨⎩m = 15a − 1⎧1⎪⎪ x = 15a − 1;⎨2⎪ = 1 − 13a⎪⎩ yОтвет: a ≠1⎧⎪⎪ x = 15a − 111; a≠ ; a≠ ;⎨21513⎪y =1 − 13a⎩⎪11, a≠ .1513⎧1 1⎪ x + y = 4a⎪б) ⎨.⎪ 4 + 5 = 1− a⎪⎩ x y⎧1⎪⎪ x = m;⎨1⎪ =n⎪⎩ y⎧ m + n = 4a;⎨⎩4m + 5n = 1 − a⎧n = 1 − 17a;⎨⎩m = 21a − 11⎧⎪⎪ x = 1 − 17a11; a≠; a≠.⎨11721⎪y =21a − 1⎩⎪11Ответ: a ≠, a≠.1721( x − a − 4)( x − 4a − 16)6.2.D10.
а)≤0.( x + a)(5 x + 2a)нули: x1 = a + 4, x2 = 4a + 16;x3 = –a, x4 = −2a.5Чтобы в решение входила изолированная точка, нули числителя должнысовпадать.a + 4 = 4a + 16 ⇔ a = –4;Получаем неравенство:x2≤0.( x − 4)(5 x − 8)453⎛8⎝5⎞⎠x ∈ {0} ∪ ⎜ ; 4 ⎟ .Ответ: a = –4.б)( x − a − 1)( x − 2a − 2)≤0.( x + 2a)(3x + 2a)нули: x1 = a + 1, x2 = 2a + 2, x3 = –2a, x4 = −2a;3Чтобы в решение входила изолированная точка, нули числителя должнысовпадать.a + 1 = 2a + 2 ⇔ a = –1;Получаем неравенство:⎛2⎝x2≤0.( x − 2)(3x − 2)⎞⎠x ∈ {0} ∪ ⎜ ; 2 ⎟ . Ответ: a = –1.31⎧ 1=−⎧x − 3y = a⎪4 .и ⎨ x + 3y⎩ x − 2 y = −1 + a⎪ x − 3 y = a2 − a⎩6.2.D11.
а) ⎨⎧ y = −1;⎨⎩x = a − 31⎧ 1=−⎪4 ;⎨a − 3−3⎪a − 3 + 3 = a 2 − a⎩1⎧ 1=−⎪4;⎨a − 6⎪ a 2 − 2a = 0⎩⎧a − 6 = −4; Решения совпадают при a = 2.⎨⎩a = 0, a = 2Ответ: a = 2.⎧ 4 x + y = 2a1⎧−1⎪⎪( x − 6 y ) = −б) ⎨ 11 и ⎨10 .⎪7 x − 2 y = 2a⎪ x − 4y = − 6⎩⎩⎧ 4 x + y = 2a;⎨⎩ x − 4 y = −68a − 6⎧⎪⎪ x = 17;⎨⎪ y = 2a + 24⎪⎩17454⎧ 8a − 6 12a + 144= −10⎪⎪ 17 −17;⎨⎪ 56a − 42 − 4a + 48 = 2a⎪⎩ 1717−4a−150=−170⎧;⎨⎩52a − 90 = 34a⎧4a = 20; Решения совпадают при a = 5.⎨⎩18a = 90Ответ: a = 5.6.2.D12.
а)x2 + 4 x + 9=a.x2 + 5x + 9x2 – ax2 + 4x – 5ax + 9 – 9a = 0;x2(1 – a) + x(4 – 5a) + 9 – 9a = 0;1) a = 1; –x = 0; x = 0;2) a ≠ 1;D = 25a2 – 40a + 16 – (9 – 9a)(1 – a)4 =25a2 – 40a + 16 – 36(1 – a)2 ≥ 0;(5a – 4)2 ≥ 36(a – 1)2;11a2 – 32a + 20 ≤ 0;⎡10 ⎤a ∈ ⎢ ; 2⎥ ;⎣ 11 ⎦⎡10Ответ: a ∈ ⎢ ;⎣ 11б)⎤2⎥ .⎦x2 − 2 x − 1=a.x2 − 2x + 2x2(1 – a) – 2x(1 – a) – 1 – 2a = 0;При a = 1 решений нет;D=1 – 2a + a2 + (1 – a)(2a + 1) ≥ 0;4–a2 – a + 2 ≥ 0;a2 + a – 2 ≤ 0;a ∈ [–2; 1], но при a = 1 решений нет, значит, a ∈ [–2; 1).Ответ: a ∈ [–2; 1).§ 3. Иррациональные функции6.3.D01. а) 5ax + 3a = 5 x + 3 .3x≥− ;525x2 + x(–5a + 30) + 9 – 3a = 0;D = 900 + 25a2 – 300a – 900 + 300a = 0;a = 0.Ответ: a = 0.4553ax + 5a = 3x + 5 .5x≥− ;3б)9x2 + x(30 – 3a) + 25 – 5a = 0;D = 900 – 180a + 9a2 – 900 + 180a = 9a2 = 0;a = 0 ⇒ при a = 0 одно решение.Ответ: a = 0.6.3.D02.
а) ( x − a + 4) x + 3a − 2 ≤ 0 . ОДЗ: x ≥ 2 – 3a;⎧x ≤ a − 4;⎨⎩ x ≥ 2 − 3aa – 4 ≥ 2 – 3a;a≥3;2a – 4 – 2 + 3a = |a|;4a – 6 = a, т.к. a > 0;a = 2; Ответ: a = 2.б) ( x − 3a − 2) x + 3a − 5 ≤ 0 .⎧ x ≥ 5 − 3a;⎨⎩ x ≤ 3a + 23a + 2 ≥ 5 – 3a;a≥3;73a – 2 – 5 + 3a = |a|;6a – 3 = a, т.к. a > 0;a=3;5Ответ: a =3.56.3.D03. а) 4a 2 − x 2 ≥| x − 2a | .4a2 – x2 ≥ (x – 2a)2; (x – 2a)2 + (х – 2a)(х + 2a) ≤ 0;(x – 2a)(x + 2a + x – 2a) ≤ 0;2а(x – 2a) ≤ 0;a = 0;Ответ: a = 0.б) 3a 2 − x 2 ≥| x + a | .3a2 – x2 ≥ (x + a)2;2x2 + 2ax – 2a2 ≤ 0;x2 + ax – a2 ≤ 0;D = a2 + 4a2 = 0 ⇒ a = 0;Ответ: a = 0.4566.3.D04.а) ( x + 4a) x − 4a − 32 = 0 .⎧ x = −4a;⎨⎩ x = 4a + 32Нам необходимо, чтобы получилось одно решение, чтобы4a + 32 ≥ –4a ⇒ a ≥ –4.Ответ: a ≥ –4.б) ( x + 3a) x − 2a − 25 = 0 .⎧ x = −3a;⎨⎩ x = 2a + 25Чтобы был один корень, необходимо, чтобы2a + 25 ≥ –3a;a ≥ –5;Ответ: a ≥ –5.6.3.D05.
а) (ax2 – (a2 + 1)x + a) x + 4 = 0.1) a = 0; − x x + 4 = 0 — подходит;2) a ≠ 0;Необходимо, чтобы меньший корень квадратного уравнения был≤ –4, т.о.:ax2 – (a2 + 1)x + a = 0;D = a4 + 2a2 + 1 – 4a2 = (a2 – 1)2;x1,2 =a 2 + 1 ± (a 2 − 1)1; x1 = a; x2 = ;2aaa = ±1 — подходит.a ≤ –4;1⎡ 1 ⎞≤ −4 ; a ∈ ⎢ − ; 0 ⎟ ;a⎣ 4 ⎠⎡ 1⎞Ответ: a = 0; a = ±1; a ≤ –4; a ∈ ⎢ − ; 0 ⎟ .⎣ 4 ⎠б) (ax2 – (a2 + 12)x + 12a) x + 5 = 0.1) a = 0; −12 x x + 5 — подходит;2) a ≠ 0;Необходимо, чтобы меньший корень квадратного уравнения был ≤ –5.ax2 – (a2 + 12)x + 12a = 0;D = a4 + 24a2 + 144 – 48a2 = (a2 – 12)2;x1 = a; x2 =12;aa = ±2 3 — подходит.12a ≤ –5;≤ −5 ;a45712 + 5a⎡ 12 ⎞; a ∈ ⎢− ; 0 ⎟ ;a⎣ 15 ⎠⎡ 12⎞Ответ: a ≤ –5; a = ±2 3 ; a ∈ ⎢ − ; 0 ⎟ .⎣ 15 ⎠6.3.D06.a.4aa2x2 + 7x = x2 + x + ;216а)x2 + 7 x − x =a ⎞ a2⎛x⎜7 − ⎟ =;2 ⎠ 16⎝a ≠ 14;x=a2≥0;8(14 − a)a ∈ [0; 14);a2≤ −7 ;8(14 − a)a 2 − 56a + 784≤0;14 − a(a − 28)2≤0;14 − aa ∈ (14; +∞);Ответ: a ∈ [0; 14) ∪ (14; +∞).б)x2 + 8x = x +a2a.2x2 + 8x = x2 + x +a2;4a ⎞ a2⎛x⎜8 − ⎟ =;2⎠ 4⎝a ≠ 16;x=a2≥0;2(16 − a)a ∈ [0; 16);a2≤ −4 ;16 − aa 2 − 4a + 64≤ 0 ; a > 16;16 − aОтвет: a ∈ [0; 16) ∪ (16; +∞).4586.3.D07.
а) ( x + a − 1) x − 3a ≤ 0 .⎧x = 1− a⎪⎨ x = 3a ;⎪ x ≥ 3a⎩Чтобы был один корень, необходимо, чтобы 1 – a < 3a; a >Ответ: a >1.41.4б) ( x − a − 4) x − 4a ≤ 0 .⎧x = a + 4⎪⎨ x = 4a ;⎪ x ≥ 4a⎩Чтобы был один корень, необходимо, чтобы a + 4 < 4a ⇒ a >Ответ: a >4.34.36.3.D08. а) ( x + a + 1) x − 4a + 3 ≤ 0 .Чтобы решением был отрезок, необходимо, чтобы x + a + 1 = 0 при x ≥ – 3 +4a ⇒ x = –a – 1 ≥ –3 + 4a ⇒ a ≤2.52отрезок превращается в точку.52Ответ: a < .5При a =б) ( x + a + 2) x − a − 1 ≤ 0 .Чтобы решением был отрезок, необходимо, чтобы x + a + 2 = 0 при x ≥ a + 132⇒ x = –a – 2 ≥ a + 1 ⇒ a ≤ − .При a = −3отрезок превращается в точку.2Ответ: a < −3.26.3.D09.
а) ( x − 14a − 5) x 2 − 4a 2 ≥ 0Решение этого неравенства можно записать в виде⎧ x ≥ 14a + 5 − луч⎨⎩ x ∉ (−2 | a |, 2 | a |)Решением будет объединение луча и точки, не принадлежащей лучу, если14a+5=–2|a|т.е. a = −5;12459б) ( x − 6a − 1) x 2 − a 2 ≥ 0Аналогично, решение этого неравенства выглядит так:⎧ x ≥ 6a + 1⎨⎩ x ∈ (−∞, − | a |] ∪ [| a |, + ∞)Оно будет объединением луча и точки, не лежащей на этом луче: если6a+1=–|a|15Итак, a = − .6.3.D10. а) 7 x 2 + 2ax − 5a 2 = x + a .7x2 + 2ax – 5a2 = x2 + 2ax + a2;x ≥ –a;6x2 – 6a2 = 0;x = ±a;⎧ x = ±a; a ≥ –a ⇔ a ≥ 0.⎨⎩ x ≥ −aЕсли a = 0, то решения совпадают, значит, a > 0.Ответ: a > 0.б) 5 x 2 + 6ax − 27a 2 = x + 3a .x ≥ –3a;4x2 = 36a2;x = ±3a;⎧ x = ±3a; 3a ≥ –3a ⇔ a ≥ 0.⎨⎩ x ≥ −3aЕсли a = 0, то решения совпадают, значит, a > 0.Ответ: a > 0.6.3.D11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
