shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

|cosα| ≤ 1.Ответ: нет x ∈ R.5.4.В12.⎡ 5π⎤а) f(x)=cos5x–6x, x ∈ ⎢ − , 0 ⎥⎣ 7 ⎦f'(x)=–5sin5x–6393⎡ 5π⎤Т.к. f'(x)<0 на ⎢ − , 0 ⎥ , то функция убывает и fmin=f(0)=1;⎣ 7 ⎦⎡4π ⎤б) f(x)=sin7x+8x, x ∈ ⎢ 0, ⎥⎣ 9 ⎦⎡4π ⎤f'(x)=7cos7x+8, т.к. f'(x)>0 на ⎢ 0, ⎥ , то функция возрастает, тогда⎣ 9 ⎦fmin=f(0)=0.Уровень С.5.4.С01.а) f(x) = 5sin2x – 14x. f′(x) = 10cos2x – 14 < 0;всегда ⇒ f(x) убывает на R ⇒ у нее только один нуль (очевидно, это x = 0).б) f(x) = 2sin4x – 9x. f′(x) = 8cos4x – 9 < 0;всегда ⇒ f(x) убывает на R ⇒ у нее только один нуль (очевидно, это x = 0).5.4.С02.а) f(x) = cos5xcos8x =1(cos3x + cos13x);2⎧cos3x = 1наибольшее значение функции будет при ⎨;⎩cos13x = 1⎧⎪⎪ x =⎨⎪x =⎪⎩2πn3;2πk13на [0; 3π] это x = 0, x = 2π;⎧cos3x = −1;а минимальное ⎨⎩cos13x = −1π 2πk⎧⎪⎪ x = 3 + 3;⎨⎪ x = π + 2πn⎪⎩13 13[0; 3π] это x = π, x = 3π (k = 1, n = 6) и (k = 4, n = 19).Ответ: fmax = f(0) = f(2π) = 1, fmin = f(π) = f(3π) = –1.б) f(x) = cos7xcos6x =1(cosx + cos13x);2⎧ x = 2πn⎧cos = −1⎪; ⎨2πk ;⎩cos13x = 1 ⎪ x =13⎩наибольшее значение функции будет при ⎨на [0; 5π] это будет x = 0, x = 2π, x = 4π,⎧ x = π + 2πn⎧cos x = −1⎪; ⎨π 2πk ;⎩cos13 x = −1 ⎪ x = +13 13⎩а наименьшее ⎨[0; 5π] это будет x = π, x = 3π, x = 5π.Ответ: fmax = f(0) = f(2π) = f(4π) = 1, fmin = f(π) = f(3π) = f(5π) = –1.5.4.С03.а) f(x) = sin ⎛⎜ 2 x −⎝39412π ⎞6π ⎞⎛⎟ + 2 cos ⎜ x −⎟.11 ⎠11 ⎠⎝⎛f ′(x) = 2 ⎜ cos ⎛⎜ 2 x −⎝⎝12 π ⎞6π ⎞ ⎞⎛⎟ − sin ⎜ x −⎟ ⎟ = 0;11 ⎠11 ⎠ ⎠⎝6π ⎞6π ⎞⎛⎛2sin 2 ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ x − ⎟ − 1 = 0 ; D = 1 + 8 = 9;1111 ⎠⎝⎠⎝⎡ ⎛6π ⎞⎢sin ⎜ x − ⎟ = −111 ⎠⎝⎢;⎢ ⎛6π ⎞ 1⎢sin ⎜ x − ⎟ =11 ⎠ 2⎢⎣ ⎝⎡ 6π 3π⎢ x − 11 = 2 + 2πk;⎢⎢ x − 6π = π (−1)k + πk⎢⎣4 65π ⎤21π85π41π⎡ 27 π; − ⎥ попадет: x1 = −; x2 = −; x3 = −;11 ⎦226666⎣ 11в отрезок ⎢ −1 33+ 2⋅=2 221 ⎛3⎞3f(x3) = 2 ⋅ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ − 2 ⋅=− 3−2 ⎝ 2 ⎠2f(x1) = 0; f(x2) = 2 ⋅ ⋅⎛ 85π ⎞3+ 3;23.2⎛ 41π ⎞33.Ответ: max: f ⎜ −+ 3 ; min: f ⎜ −⎟=⎟ = − 3−2⎝ 66 ⎠ 2⎝ 66 ⎠⎝14π ⎞7π ⎞⎛⎟ + 2 cos ⎜ x +⎟.9 ⎠9 ⎠⎝⎛⎝14π ⎞7π ⎞7π ⎞7π ⎞⎛⎛2⎛⎟ − 2sin ⎜ x + ⎟ = 0; 2sin ⎜ x + ⎟ + sin ⎜ x + ⎟ − 1 = 0 ;9 ⎠9 ⎠9 ⎠9 ⎠⎝⎝⎝б) f(x) = sin ⎛⎜ 2 x +f′(x) = 2cos ⎜ 2 x +⎡ 2π 20π ⎤13π25π37πD = 9; x ∈ ⎢ ;⇒ x1 =; x2 =; x3 =;9 ⎥⎦181818⎣912f(x1) = 0; f(x2) = 2 ⋅ ⋅f(x3) = − 3 −333;+2= 3+2223.2⎛ 25π ⎞3⎛ 37π ⎞3Ответ: fmax = f(x2) = f ⎜; fmin = f(x3) = f ⎜.⎟= 3+⎟=− 3−22⎝ 18 ⎠⎝ 18 ⎠5.4.С04.94а) f(x) = x − 6sin943x+9 .4923x= 0;4π3x 1 34 π 8πn⎡ 8π 16π ⎤; т.к.

x ∈ ⎢ − ;.= ; x = ± + 2πn ; x = ±cos+3 ⎥⎦4 2 4393⎣ 320π4π 4π 20π 28π 16πОтвет: −; − ;;;;.999993f′(x) = − cos395153x15 153xx − 5sin − 2 . f′(x) = − cos= 0; cos 3 x = 1 ;424 22224π8π2 π 4 πn⎤ ⇒; т.к. x ∈ ⎡⎢ −;x=±+⎥93⎣ 3 3 ⎦б) f(x) =Ответ: x = ± 2π ; x = ± 10 π ; x = 14 π ; x = ± 2π .99995.4.С05.383x3 33x3x1− 3 3 .

f′(x) = + sin= 0 ⇒ sin = − ;48 444234πkk +1 πk +1 2π+ πk ⇒ x = (−1)+x = (−1).4693а) f(x) = x − cosОтвет: при нечетном k — точка max; при нечетном — min232x2 42x− 4 3 . f′(x) = + sin= 0;33 332x1 2xππ 3πksin= (−1)k +1 + πk ; x = (−1)k +1 +=− ;.32 3642б) f(x) = x − 2cosОтвет: k — нечетное — точка max; четное — min.5.4.С06.а) f(x)=xsin x+cos x+2x2+2sin x+8x+7f'(x)=sin x+xcos x–sin x+4x+2cos x+8=(x+2)cos x+4x+8=0x(cos x+4)=–2(cos x+4) x=–2.Ответ: –2;б) f(x)=xcos x–sin x+x2+3cos x+6x–5f'(x)=cos x–xsin x–cos x+2x–3sin x+6=–xsin x–3sin x+2x+6=0x(2–sin x)=–3(2–sin x) x=–3.Ответ: –3.5.4.С07.а) f(x)=xcos x–sin x–2cos x–1,5x2+6x+1f'(x)=cos x–xsin x–cos x+2sin x–3x+6=–xsin x+2sin x–3x+6=02(sin x+3)=x(sin x+3) x=2.Ответ: 2;б) f(x)=xsin x+cos x–3sin x+x2–6x–1f'(x)=sin x+xcos x–sin x–3cos x+2x–6=xcos x–3cos x+2x–6==(x–3)(cos x+2)=0x=3Ответ: 3.5.4.С08.а) f(x)=(x+12)2sin x+2xcos x–2sin x+24cos x–10f'(x)=2(x+12)sin x+(x+12)2cos x+2cos x–2xsin x–2cos x–24sin x==(x+12)2cos x=0xextr =π2Наименьшее значение достигается либо при x=0, либо при x =396π.2⎛π⎞⎛π⎞2f(0)=14 f ⎜ ⎟ = ⎜ + 12 ⎟ − 2 − 10 > 14⎝2⎠ ⎝2⎠Ответ: 14;б) f(x)=(x–15)2cos x–2sin x–2cos x+30sin x+8f'(x)=2(x–15)cos x–(x–15)2sin x–2sin x2xcos x+2sin x+30cos x==–(x–15)2sin x=0 x=0Аналогично п.

а), рассматриваем x=0, −π.2f(0)=225–2+8=2312⎛ π⎞ ⎛π⎞f ⎜ − ⎟ = ⎜ + 15 ⎟ ⋅ (−1) − π − 30 + 8 < 231⎝ 2⎠ ⎝2⎠Ответ: 231.5.4.С09.а) f(x)=x2–xsin x–cos x+4sin x–8x+3f'(x)=2x–xcos x–sin x+sin x+4cos x–8=2(x–4)–cos x(x–4)==(x–4)(2–cos x)xextr=4 – точка минимума.Ответ: 4;б) f(x)=sin x–xcos x–1,5x2+5cos x+15x–2f'(x)=cos x+xsin x–cos x–3x–5sin x+15=xsin x–5sin x–3x+15==(x–5)(sin x–3)xextr=5 – точка максимума.Ответ: 5.5.4.С10.а) f(x)=sin x–xcos x–x2+3f'(x)=cos x–cos x+xsin x–2x=x(sin x–2)=0xextr=0 f(0)=3 f(–1)=–sin 1–cos 1+2<3Ответ: 3;б) f(x)=cos x+xsin x+2x2–3f'(x)–sin x+sin x+xcos x+4x=x(cos x+4) xextr=0f(0)=–2 f(–1)=cos 1+sin 1–1>–2Ответ: –2.5.4.С11.а) f(x) = 2sin5x – 2 3 cos5x + 7.⎛ π 3π ⎞f′(x) = 10cos5x + 10 3 sin5x = 0; ⎜ ;⎟.⎝6 5 ⎠tg5x = −13; 5x = −π−π + 6πn+ πn; x =;63011π17π⎛ π 3π ⎞; x=.⎟ ⇒x=653030⎝⎠т.к. x ∈ ⎜ ;б) f(x) = 4 sin x − 4 3 cos x + 1 .3339743x3f′(x) = cos + 43x⎛ 5π⎞sin = 0; x ∈ ⎜ ; 9π ⎟ ;33⎝ 2⎠x3 xxxππ; = − + πn ; x = − + 3πn ;= − 3 sin ; tg = −333323611π17π⎛ 5π⎞т.к.

x ∈ ⎜ ; 9π ⎟ ⇒ x =; x=.22⎝ 2⎠cos5.4.С12.а) y(x)=xsin x+cos x–x2–4sin x+8x–5y'(x)=xcos x+sin x–sin x–2x–4cos x+8=xcos x–2x–4cos x+8==(cos x–2)(x–4)y(x) убывает при x ∈ [4; +∞)y(x) возрастает при x ∈ (–∞; 4];б) y(x)=2x2+8x–7+sin x–2cos x–xcos xy'(x)=4x+8+cos x+2sin x+xsin x–cos x=4x+8+2sin x+xsin x==(sin x+4)(x+2)x=–2 – точка минимумаy(x) убывает при x ∈ (–∞; –2]y(x) возрастает при x ∈ [–2; +∞).Уровень D.5.4.D01.а) f(x) = –1 – 7cos3π ⎞ ⎛ 3π ⎞21π3π3π⎛. f′(x) = ⎜ 7sin ⎟ ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = − 2 sin = 0;x ⎠ ⎝ x ⎠xxx⎝1⎧3>3π3 ⎪⎪ n 100 ⎧n < 300= πn ; x = ; ⎨; ⎨⇒ 270 точек.xn ⎪3 1⎩n ≥ 30≤⎪⎩ n 104π16π4π4π4. f′(x) = − 2 sin= 0;= πn ; x = ;б) f(x) = –5 – 4cosxnxxx1⎧4⎪⎪ n > 100 ⎧n < 400–2–1т.к. x ∈ (10 ; 10 ] ⇒ ⎨; ⎨⇒ всего 360 точек.⎩n ≥ 40⎪4 ≤ 1⎪⎩ n 105.4.D02.20⎛ 7π⎞− 19tg x − 4, x ∈ ⎜ − ; − 3π ⎟cos x2⎝⎠−20 sin x1920 sin x + 19−=−y '( x) =cos 2 xcos 2 xcos 2 x⎛ 7π⎞На интервале ⎜ − ; − 3π ⎟ , sin x>0, производная y(x) знакопостоянна,⎝ 2⎠а) y ( x) =экстремумов нет.398б) y ( x) =y '( x) =23⎛ 11π⎞− 11tg x + 4, x ∈ ⎜ −; − 5π ⎟cos x⎝ 2⎠−23 sin x − 11⎛ 11π⎞, при x ∈ ⎜ −; − 5π ⎟cos 2 x⎝ 2⎠sin x>0, y'(x) знакопостоянна, экстремумов нет.5.4.D03.1313cos x7+– 7ctgx + 13.

y′(x) = −= 0;sin xsin 2 x sin 2 x777cosx = ; т.к. x ∈ (–2π; 0) ⇒ Ответ: x = –arccos ; x = –2πk + arccos .13131312cos x312+– 3ctgx + 7. y′(x) = −= 0;б) y(x) =sin xsin 2 x sin 2 x11cosx = ; x = arccos + 2πk; т.к. x ∈ (–2π; 0) ⇒4411Ответ: x = –2π + arccos ; x = –arccos .44а) y(x) =5.4.D04.16а) y ( x) = tg 19 x − 19 x + 1, x ∈ (−∞, 0)y '( x) =191⎛⎞− 19 = 19 ⎜− 1⎟26 cos 2 19 x⎝ 6 cos 19 x ⎠y'(x)=0 при cos19 x = ±ближевсегок16началукооринатбудетточкаx=−11arccos,196принадлежащая (–∞, 0), очевидно, она является точкой экстремума;18б) y ( x) = tg 11x − 11x + 6, x ∈ (−∞, 0)y '( x) =111⎛⎞− 11 = 11⎜− 1⎟28 cos 2 11x⎝ 8 cos 11x ⎠y'(x)=0, при 8cos211x=1, т.е.cos11x = ±ближе12 2всегокначалукоординатбудетточкаx=−11arccos,112 2принадлежащая (–∞, 0), очевидно, она явлется точкой экстремума.5.4.D05.а) y(x) =14133913cos3 x − cos 2 x +.

y′(x) = –14cos2xsinx + sin2x = 0;3442399cosxsinx(13 – 14cosx) = 0; cosx = 0, n ∈ Z; x1 =π+ πn; sinx = 0; x2 = πn, n ∈ Z;21313; x3 = ±arccos + 2πn; y(x1) = 13;141414 13 39 67; x2 = 2πn, n ∈ Z;y(x2) = − + =3 4 4614 13 39 11y(x2) = − − + = ; x2 = π + 2πn, n ∈ Z;3 4 4632⎛⎞ 39 1309114 ⎛ 13 ⎞ 13 ⎛ 13 ⎞.y(x3) = ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜ 2 ⎜ ⎟ − 1⎟ + =⎜⎟ 43 ⎝ 14 ⎠4 ⎝ ⎝ 14 ⎠1176⎠11⎛π⎞Ответ: ymax = y ⎜ + πn ⎟ = 13; ymin = y(π + 2πn) = .26⎝⎠1673б) y(x) = cos3 x − cos 2 x + .322cosx =y′(x) = –16cos2x + sinx + 7sin2x = 0;2sinxcosx(7 – 8cosx) = 0; sinx = 0; x = πn, n ∈ Z;π+ πn, n ∈ Z;27716 7 3 10cosx = ; x = ±arccos + 2πn, n ∈ Z; y(2πn) = − + = ;883 2 2 316 7 322⎛π⎞ 7 3y(π + 2πn) = − − + = − ; y ⎜ + πn ⎟ = + = 5 ;3 2 23⎝2⎠ 2 2cosx = 0; x =32⎞ 3 61716 ⎛ 7 ⎞ 7 ⎛ ⎛ 7 ⎞7; y(x) = ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜ 2 ⎜ ⎟ − 1⎟ + =.⎟ 2 19283 ⎝ 8 ⎠ 2 ⎜⎝ ⎝ 8 ⎠⎠22⎛π⎞Ответ: ymax = y ⎜ + πn ⎟ = 5; ymin = y(π + 2πn) = − .3⎝2⎠cosx =5.4.D06.а) y(x) =y′(x) =2121sin x + 29 91sin x − 7+ .224217221cos x − ⋅⋅ cos x = 0 ;22 21sin x + 29 2⎛ 7⎞π212cos x ⎜1 − ⋅⎟⎟ = 0 ; cosx = 0; x = + πn , n ∈ Z.⎜22⎝ 2 21sin x + 29 ⎠499322; sinx = − = − ;= ; 21sinx + 29 =21sin x + 29 72421421 + 29 917⎛π⎞ 21y ⎜ + 2πn ⎟ = − 7 ⋅+ =− ;22244⎝⎠400218 91 497⎛ π⎞y ⎜ − + 2πn ⎟ = − − 7+ =− 14 = − ;22 444⎝ 2⎠3sin x = − ;1421 37 919 49 91y ( x ) = − ⋅ − 7 ⋅ + = − − + = −4 .2 142 44 2 473⎛⎞⎛π⎞Ответ: ymax = y ⎜ + πn ⎟ = − ; ymin = y ⎜ (−1) k +1 arcsin + πk ⎟ = −4 .144⎝⎠⎝2⎠б) y(x) =y′(x) =1515sin x + 17 55sin x − 5+ .224155215cos x −⋅ cos x = 0;22 15sin x + 17 2⎛2⎞2cos x ⎜ −⎟=0;⎜515sin x + 17 ⎟⎠⎝25cosx = 0; 15sinx + 17 =;2πx = + πn, n ∈ Z.293sinx = − = − ;30103x = (–1)k+1arcsin + πk, n ∈ Z;1055 855⎛π⎞ 15y ⎜ + 2πn ⎟ = − 5 ⋅ 16 +=− 20 = ;22444⎝⎠1555 255⎛ π⎞y ⎜ − + 2πn ⎟ = − − 5 +=−5 = ;2444⎝ 2⎠315 35 559 25 55⎛⎞y ⎜ (−1) k arcsin + πk ⎟ = − ⋅ − 5 ⋅ += − − + = −1 .10210244 24⎝⎠⎛π⎝2⎞⎠Ответ: ymax = y ⎜ + πn ⎟ =5; ymin =43⎛⎞y ⎜ (−1) k arcsin + πk ⎟ = −1 .10⎝⎠5.4.D07.а) y(x) = 18 + 15x + 24(5 – x)3 + 13sin(x – 5).y′(x) = 13 – 72(5 – x)2 + 13cos(x – 5);y′′(x) = 144(5 – x) – 13sin(x – 5) = 0;144(5 – x) = 13sin(x – 5);т.к.

Характеристики

Список файлов книги