shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 45
Текст из файла (страница 45)
y′(x) = 3x2 + 6x = 3x(x + 2).Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на (–∞;–2] и [0; +∞).Убывает на [–2; 0].Точки экстремума: –2 и 0.Экстремумы: 24 и 20.Множество значений: (–∞; +∞).347y2420x–232б) y(x) = x + 6x – 4.y′(x) = 3x2 + 12x = 3x(x + 4).Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на (–∞; –4] и на [0; +∞).Убывает на [–4; 0].Точки экстремума: 0 и –4.Экстремумы: –4 и 28.Множество значений: (–∞; +∞).y=8x–4–4175.1.D04. а) y(x) = − x3 + 9 x − .
y′(x) = –x2 + 9.33Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на [–3; 3].Убывает на (–∞; –3] и на [3; +∞).348Точки экстремума: –3 и 3. Экстремумы: −20Множество значений: (–∞; +∞).1523y–3x3− 201312и 15 .331323б) y(x) = − x3 + 16 x + . y′(x) = –x2 + 16 = (4 – x)(4 + x).Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на [–4; 4]. Убывает на (–∞; –4] и на [4; +∞).13Точки экстремума: –4 и 4. Экстремумы: –42 и 43 .Множество значений: (–∞; +∞).1433y–44x–42135.1.D05. а) y = x3 – 2x2 + 3x – 5.
y′(x) = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3).Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на (–∞; 1] и на [3; +∞). Убывает на [1; 3].Точки экстремума: 1 и 3.349Экстремумы: −32и –5.3Множество значений: (–∞; +∞).y1−3x323–513б) y = x3 + 3x2 + 8x + 2. y′(x) = x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4).Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на (–∞; –4] и на [–2; +∞).Точки экстремума: –2 и –4.Экстремумы: −421и −3 .33Множество значений: (–∞; +∞).–4yx–2132−43−35.1.D06. а) y(x) = x3 – 12x – 7.
y′(x) = 3x2 – 12 = 3(x – 2)(x + 2).Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на (–∞; –2] и на [2; +∞).Убывает на [–2; 2].Точки экстремума: –2 и 2.Экстремумы: 9 и –23.Множество значений: (–∞; +∞).350y9–2x2–23б) y(x) = x3 – 3x – 7. y′(x) = 3x2 – 3 = 3(x – 1)(x + 1).Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на (–∞; –1] и на [1; +∞).Убывает на [–1; 1].Точки экстремума: –1 и 1. Экстремумы: –5 и –9.Множество значений: (–∞; +∞).y–1x1–5–95.1.D07. а) f(x) = −x44 x34+ 4x – 1,7. f′(x) = −+ 4 = − ( x3 − 5) ;555)При x ≥ 3 5 f′(x) ≤ 0 ⇒ f(x) убывает на ⎡⎣ 3 5; +∞ ;(При x ≤ 5 f′(x) ≥ 0 ⇒ f(x) возрастает на −∞;31+ 6 6 и(3)35 ⎤⎦ .7 лежат в ⎣⎡ 3 5; +∞ , к тому же 1 + 6 6 > 3 7 ; в силу возрастания f,) ( 7) > 0 .f 1+ 6 6 − f3351б) f(x) = −x44 x34⎛21 ⎞+ 3x + 0,2.
f′(x) = −+ 3 = − ⎜ x3 − ⎟ ;77⎝4⎠7При x ≥ 3⎡ 21⎞21f′(x) ≤ 0 ⇒ f(x) убывает на ⎢ 3 ; +∞ ⎟⎟ ;4⎣⎢ 4⎠При x ≤ 321f′(x) ≥ 0 ⇒ f(x) возрастает на43⎛−∞;⎜⎜⎝321 ⎤⎥.4 ⎦⎥⎡ 21⎞7, 25 и 1 + 7 7 лежат в ⎢ 3 ; +∞ ⎟ ⇒ в силу возрастания f из неравенства⎟⎣⎢ 4⎠1 + 7 7 > 2 > 3 7, 25 следует f(3) ()7, 25 − f 1 + 7 7 > 0 .5.1.D08. а) x0 ∉ [–4; 2] ⇒ x0 ∈ [–5; –4)∪(2; 7]=M.Найдем все такие x, что (x+4)(x–2)>0Ответ: +.x ∈ (–∞; –4)(2; +∞) ⊃ Mб) Из условия следует, что x0 либо больше 3, либо меньше –1.Отсюда, (x0 + 1)(x0 – 3) > 0.5.1.D09. а) Пусть A(x0, f(x0)).Тогда площадь треугольника будет: S =1⋅ 4 ⋅ f(x0) = 2(x04 – 4x0 + 55).2f′(x) = 4x03 – 4 = 4(x03 – 1);Точка 1 — точка минимума, т.к. f′(x) меняет знак с «–» на «+».Минимальная площадь при x0 = 1, A(1; 52).
S = 2 ⋅ 52 = 104.б) Пусть A(x0, f(x0)).Площадь треугольника: S =1⋅ 6 ⋅ f(x0) = 3(x04 + 32x0 + 49).2f′(x) = 4x03 + 32 = 4(x03 + 8); Точка (–2) — точка минимума.Минимальная площадь при x0 = –2, A(–2; 1).Минимальная площадь S = 3 ⋅ 1 = 3.5.1.D10. а) y(x) = x4 – 2x3 + 7x2 + 12.y′(x) = 4x3 – 6x2 + 14x = 2x(2x2 – 3x + 14). Область определения (–∞; +∞).Возрастает при x ∈ [0; +∞). Убывает при x ∈ (–∞; 0].Точка экстремума: 0. Экстремум: 12. Область значений: [12; +∞).y120352xб) y(x) = x4 + 2x3 + 8x2 + 5. y′(x) = 4x3 + 6x2 + 16x = 2x(x2 + 3x + 8).Область определения (–∞; +∞).Возрастает на [0; +∞).Убывает на (–∞; 0].Точка экстремума: 0.Экстремум: 5.Область значений: [5; +∞).y50x5.1.D11.
а) f(x) = (7x – 5)3(3x + 2)4.f′(x) = 3⋅7(7x – 5)2(3x + 2)4 + 4⋅3(7x – 5)3(3x + 2)3 == (7x – 5)2(3x + 2)3(3⋅21x + 3⋅14 + 4⋅21x – 4⋅15) = (7x – 5)2(3x + 2)3(147x – 18);249и;36249— точка минимума.− — точка максимума,36Точки экстремума: −++––x4952673б) y(x) = (2x – 1)5(5x + 7)6.y′(x)=((2x – 1)5(5x + 7)6)′ = 30(5x + 7)5(2x – 1)5 + 10(2x – 1)4(5x + 7)6== 10(5x + 7)5(2x – 1)4(6x – 3 + 5x + 7) = 10(5x + 7)5(2x – 1)4(11x + 4);74Точки экстремума: − и − ;51174− — точка максимума, −— точка минимума.511−+++–7−5x4−11575.1.D12.353а) y(x) = x3(x2 – 5) + 1.y′(x) = 3x2(x2 – 5) + = 3x4 – 15x2 + 2x4 =()()= 5x2(x2 – 3) = 5x2 ( x − 3 + 3 .Область определения (–∞; +∞).Возрастает на (–∞; − 3 ] и на [ 3 ; +∞).Убывает на ⎡⎣ − 3;3 ⎤⎦ .Точки экстремума:3 и − 3.Экстремумы: 6 3 + 1 и −6 3 + 1 .y1+ 6 3− 331− 6 3б) y(x) = 2x3(x2 – 6) + 1 = 2x5 – 12x3 + 1.y′(x) = 10x4 – 36x2 = 2x2(5x2 – 18) =⎛= 10x2 ⎜⎜ x −⎝18 ⎞⎛18 ⎞⎟⎜ x +⎟.5 ⎟⎜5 ⎟⎠⎠⎝Область определения: (–∞; +∞).⎛Возрастает на ⎜⎜ −∞; −⎝Экстремумы: 1 ±1296 2;25 5Точки экстремума: −354⎡ 18⎞18 ⎤; +∞ ⎟ .⎥ и на ⎢⎟5 ⎦⎥5⎣⎢⎠18и518.5xy18−5185x§ 2.
Рациональные функцииУровень А.2 x3 − 3x 2 + 1 1 3 −1 1 −3= − x + x8 x34 483 −2 3 −4 3(2 x 2 − 1)1f '( x) = x − x =x=±488x421 33−− +1 1+− 2 1+ 1 21⎛ 1 ⎞2222f ⎜−==xmax = −.⎟=4442⎠⎝2−25.2.А01. а) f ( x) =12+;4 87 x3 − 3x 2 + 9 7 3 −1 9 −3б) f ( x) == − x + x5 x35 553 −2 27 −4 3x 2 − 27 3( x − 3)( x + 3)f '( x) = x −x ==555x45x47 1 1 21 + 3 − 1 23xmax=–3 f (−3) = + − ==5 5 1515159 x2 + 7 x − 35.2.А02. а) f(x) =. ОДЗ: x ≠ 0.13xОтвет:Ответ:23.15Для исследования функции на монотонность найдем f′(x) и ее корни, такженайдем интервалы знакопостоянства, что нам дает возможность найтиинтервалы возрастания и убывания.f′(x) =(18 x + 7)13x − (9 x 2 + 7 x − 3) ⋅13=169 x 2355=234 x 2 + 91x − 167 x 2 − 91x + 39 9 x 2 + 3 3( x 2 + 1);==169 x 213x 213x 2Учитывая, что x2 + 1 > 0 ∀x и 13x2 ≥ 0 ∀x, то f′(x) > 0 ∀x ∈ ОДЗ ⇒ f′(x) > 0∀x ≠ {0} ⇒ функция возрастает на интервалах (–∞; 0) и (0;+∞).Ответ: функция возрастает на интервалах (–∞; 0) и (0; +∞).б) Аналогично с а).ОДЗ: x ≠ 07 x 2 + 13x − 5.12 x(14 x + 13) ⋅12 x − 12(7 x 2 + 13x − 5) 14 x 2 + 13x − 7 x 2 − 13x + 5 7 x 2 + 5f ′( x) ==;=144 x 212 x 212 x 2f(x) =f′(x) > 0 ∀x ∈ ОДЗ ⇒Ответ: функция возрастает на интервалах (–∞; 0) и (0; +∞).5.2.А03.
а) f(x) =−4 x 2 + 16 x − 3. ОДЗ: x ≠ 0.5x2Для нахождения наибольшего и наименьшего значений f(x) на интервале⎡3 3⎤a = ⎢ ; ⎥ , рассмотрим ее значение в краевых точках и значения в⎣8 4 ⎦критических точках (экстремумы) ∈ нашему интервалу, и выберем из нихнужные нам значения.′⎛ −4 x 2 + 16 x − 3 ⎞ (−8 x + 16) ⋅ 5 x 2 − 10 x(−4 x 2 + 16 x − 3)=⎟⎟ =5x225 x 4⎝⎠f′(x) = ⎜⎜−8 x 3 + 16 x 2 + 8 x3 − 32 x 2 + 6 x −16 x 2 + 6 x −2 x(8 x − 3) −2(8 x − 3)=;==5x45x45x45 x33f′(x) = 0 ⇒ x1 = ∈ a.8=Рассмотрим f (от краевых точек интервала):⎛3⎞f⎜ ⎟=⎝4⎠−4 ⋅9393+ 16 ⋅ − 3−4 ⋅ + 16 ⋅ − 31252⎛ 3⎞164648; f⎜ ⎟=.==995815⎝⎠5⋅5⋅1664⎛ 3⎞Т.к. краевая точка совпала с критической, то рассматриваем только f ⎜ ⎟⎝8⎠⎛3⎞и f ⎜ ⎟ , т.к.
f′(x) ≠ 0 на интервале a и значит функция монотонна, т.е.⎝4⎠523при x = ;128123при x = .наименьшее значение f(x) =54Ответ: наибольшее значение f(x) =356б) f(x) =−2 x 2 + 18 x − 3. ОДЗ: x ≠ 0.5x2(−4 x + 18) ⋅ 5 x 2 − 10 x(−2 x 2 + 18 x − 3)=25 x 41⎞⎛−18 x ⎜ x − ⎟−4 x3 + 18 x 2 + 4 x3 − 36 x 2 + 6 x −18 x 2 + 6 x3⎠⎝==;=5x45x45x41x1 = 0 — не подходит ∉ ОДЗ, x2 = .31142−2 ⋅ + 18 ⋅ − 3−2 ⋅ + 18 ⋅ − 373⎛1⎞⎛2⎞9393f⎜ ⎟==5, f ⎜ ⎟==.1420⎝ 3⎠⎝3⎠5⋅5⋅991Ответ: наибольшее f(x) = 5 при x = ;3732наименьшее f(x) =при x = .203Решение аналогично пункту а): f′(x) =5.2.А04.а) ОДЗ: x ≠ {1; 8}.Найдем y′(x) и найдем x, удовлетворяющие условию y′(x) = 0.′′⎛ 1 ⎛ 1 ⎞′⎞71 ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟−1−1 ′⋅⎜+⋅⎜= 7⎜=⎟ = 7 ( x − 8) ( x − 1)⎟⎟⎜ x − 8 ⎝ x −1 ⎠ x −1 ⎝ x − 8 ⎠ ⎟⎝ ( x − 8)( x − 1) ⎠⎝⎠⎛(y′(x) = ⎜)⎛ 1 ⎛⎛⎞1 ⎞1 ⎛1 ⎞ ⎞⎟11⎟+⎟ = 7⎜ −−⋅⎜ −⋅⎜ −=222 ⎟⎜ x − 8 ⎜ ( x − 1) ⎟ x − 1 ⎜ ( x − 8 )2 ⎟ ⎟(x−1)(x−8)(x−1)(x−8)⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎠⎝= 7⎜9⎞⎛−14 ⎜ x − ⎟⎛ 2x − 9 ⎞111 ⎞2⎠⎛ 1⎝+= −7 ⋅;⎜⎟=⎜⎟ = −7 ⋅( x − 1)( x − 8) ⎝ x − 1 x − 8 ⎠( x − 1)( x − 8) ⎝ ( x − 1)( x − 8) ⎠ ( x − 1) 2 ( x − 8)2y′(x) = 0 ⇒ x =9.2Рассмотрим участки монотонности y(x):–+92при x =–1–8x494⎛9⎞мы имеем; y ⎜ ⎟ = − .
Ответ: − .727⎝2⎠б) аналогично пункту а):ОДЗ: x ≠ {5; 8}.357y(x) = −3.( x − 5)( x − 8)′′⎛ 1 ⎛ 1 ⎞′1 ⎞1 ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟⎛ 1⋅⋅⎜⎟ = −3 ⎜⎜⎟ +⎜⎟ ⎟=x −5 ⎝ x −8⎠ x −8⎝ x −5⎠⎝ x −5 x −8 ⎠⎝⎠y′(x) = −3 ⎜⎛ 1 ⎛1 ⎞1 ⎛1 ⎞⎞⋅⎜ −+⎜−2 ⎟2 ⎟⎟⎟=⎝ x − 5 ⎝ ( x − 8) ⎠ x − 8 ⎝ ( x − 5) ⎠ ⎠= −3 ⎜⎜⎛ 13 ⎞6⎜ x − ⎟⎛ 2 x − 13 ⎞31 ⎞33⎠⎛ 1⎝;=+⎜⎟=⎜⎟=( x − 5)( x − 8) ⎝ x − 8 x − 5 ⎠ ( x − 5)( x − 8) ⎝ ( x − 5)( x − 8) ⎠ ( x − 5)2 ( x − 8) 2x1 =13.3Исследуем на монотонность:+–5133при x1 =x8134⎛ 13 ⎞ 4мы имеем min; y ⎜ ⎟ = . Ответ: .33⎝3⎠ 35.2.А05.а) Найдем y′(x) и рассмотрим интервалы знакопостоянства y′(x):′⎞ 2( x + 2)( x − 5) − (2 x − 3)(2 x − 3)2x − 3=⎟ =( x + 2)2 ( x − 5)2⎝ ( x + 2)( x − 5) ⎠⎛y′(x) = ⎜=2 x 2 − 6 x − 20 − 4 x 2 + 12 x − 9 −2 x 2 + 6 x − 29=;( x + 2)2 ( x − 5)2( x + 2) 2 ( x − 5) 2y′(x) ≠ 0 ∀x, и даже y′(x) > 0.∀x ∈ ОДЗ ⇒ исследуем на знакопостоянство:–––2–5xфункция убывает.Ответ: y(x) убывает на интервалах (–∞; –2), (–2; 5), (5; +∞).б) ОДЗ: x ≠ –6.y(x) =2x + 5.( x + 6)( x + 1)аналогично пункту а):y′(x) =3582( x + 6)( x − 1) − (2 x + 5)(2 x + 5) 2 x 2 + 10 x − 12 − 4 x 2 − 20 x − 25==( x + 6)2 ( x − 1) 2( x + 6) 2 ( x − 1) 2=−2 x 2 − 10 x − 372 x 2 + 10 x + 37=−;22( x + 6) ( x − 1)( x + 6)2 ( x − 1) 2D < 0 ⇒ 2x2 + 10x + 37 > 0 ⇒ y′(x) < 0 ∀x ∈ ОДЗ ⇒–––x1–6Ответ: функция убывает на интервалах (–∞; –6), (–6; 1), (1, +∞).5.2.А06.
а) f(x) =2 x 2 + 16 x + 5.6 x2ОДЗ: x ≠ 0.Найдем f′(x) и участки монотонности, определив, таким образом, max, minили перегибом являются критические точки:(4 x + 16)(6 x 2 ) − (2 x 2 + 16 x + 5) ⋅12 x 4 x3 + 16 x 2 − 4 x3 − 32 x 2 − 10 x==36 x 46 x45⎞⎛−16 x ⎜ x + ⎟5−16 x 2 − 10 x8⎠⎝; f′(x) = 0 ⇔ x1 = 0 — не корень, ∉ ОДЗ, x2 = − .==86 x46 x4f′(x) =Рассмотрим участки знакопостоянства f′(x):+––x05−8при x = −Ответ: x = −5мы имеем min.85— точка минимума.8б) аналогично с а):ОДЗ: x ≠ 0.′⎛ 14 x 2 − 22 + 9 ⎞ (28 x − 22) ⋅ 4 x 2 − (14 x 2 − 22 x + 9) ⋅ 8 x=⎟⎟ =4x216 x 4⎝⎠9⎞⎛22 x ⎜ x − ⎟28 x3 − 22 x 2 − 28 x3 + 44 x 2 − 18 x 22 x 2 − 18 x11 ⎠⎝=; f′(x) = 0;==4 x44x416 x 49x1 = 0 — не корень, ∉ ОДЗ, x2 = .11f′(x) = ⎜⎜Рассмотрим участки знакопостоянства:–+0Ответ: x =+911x⇒ при x =9достигается min.119— точка минимума.11Уровень В.3595.2.В01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
