shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 43
Текст из файла (страница 43)
а) f ( x) = ( x − 2) ⎜ x 2 + 5 x −10 ⎞402032⎟ = x + 3x − x +3⎠3340 11= (9 x 2 + 18 x − 40) = (9 x 2 + 30 x − 12 x − 40) =3 331104⎛⎞⎛⎞= (3x + 10)(3x − 4) = 3 ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟33 ⎠⎝3⎠⎝f '( x) = 3x 2 + 6 x −⎡ 10 4 ⎤; ⎥⎣ 3 3⎦f(x) убывает на ⎢ −⎛10 ⎤⎡4⎞f(x) возрастает на ⎜ −∞; − ⎥ и ⎢ ; + ∞ ⎟ ;3⎦⎝⎣3⎠⎛4⎞164б) f ( x) = ( x + 1) ⎜ x 2 + 4 x + ⎟ = x3 + 5 x 2 + x +3⎠33⎝16 11= ( 9 x 2 + 30 x + 16 ) = ( 9 x 2 + 24 x + 6 x + 16 ) =3 3318 ⎞⎛2⎞⎛= (3x + 8)(3x + 2) = 3 ⎜ x + ⎟⎜ x + ⎟ .33 ⎠⎝3⎠⎝f '( x) = 3x 2 + 10 x +⎡ 8⎣2⎤f(x) убывает на ⎢ − ; − ⎥3 3⎦8⎤⎛⎡ 2⎞f(x) возрастает на ⎜ −∞; − ⎥ и ⎢ − ; + ∞ ⎟ .3⎦⎝⎣ 3⎠x3– 7x2 + 63x + 4.3Df′(x) = x2 – 14x + 63 > 0, т.к.= 7 – 63 < 0;45.1.А04. а) f(x) =Т.к. f′(x) > 0 везде, то f(x) возрастает везде на (–∞; +∞).Ответ: возрастает на (–∞; +∞).б) f(x) =x3– 8x2 + 72x + 53f′(x) = x2 – 16x + 72 > 0, т.к.D= 64 – 72 < 0.4Значит, f(x) возрастает на (–∞; +∞).
Ответ: возрастает на (–∞; +∞).5.1.А05. а) f(x) =26 3x – 169x + 4.3333f′(x) = 25x2 – 169 = (5x – 13)(5x + 13).13⎛ 13 ⎞и ⎜ − ⎟ производная обращается в 0 и меняет знак, значит,5⎝ 5⎠1313это точки экстремума. Ответ:и– .55121 3б) f(x) =x – 64x + 5.3В точкахf′(x) = 121x2 – 64 = (11x – 8)(11x + 8);В точках8⎛ 8⎞и ⎜ − ⎟ производная меняет знак, значит, это точки11⎝ 11 ⎠экстремума.Ответ:88и– .11115.1.А06.23а) f(x) = x3 − x 2 −2.3f′(x) = 2x2 – 2x = 2x(x – 1) = 0;2323f(0) = − , а f(1) = − 1 −2= −1 ;3на [0; 1] f′(х) ≤ 0, т.е.
f(x) — не возрастает ⇒23Максимальное значение − , минимальное — 1. Ответ: −432и –1.313б) f(x) = x3 − 2 x 2 − .f′(x) = 4x2 – 4x = 4x(x – 1); На отрезке [0; 1] f(x) не возрастает, т.к. f ′(x) ≤ 0;13Значит, наибольшее значение — f(0) = − , наименьшее — f(1) = –1.Ответ: −1и –1.3Уровень В.5.1.В01.а) y(x) = (x + 4)2(x – 3)2.y′(x) = 2(x + 4)(x – 3)2 + 2(x – 3)(x + 4)2 = 2(x + 4)(x – 3)(2x + 1) == 4(x + 4)(x – 3)(x +1);2Применим метод интервалов:y′(x)–y (x)+–4+−12–⎡⎣x31⎤Ответ: y(x) возрастает на ⎢ −4; − ⎥ и на [3; +∞),2334⎦⎡ 1⎣ 2⎤⎦y(x) убывает на [–∞; –4] и на ⎢ − ; 3⎥ .б) y(x) = (x + 2)2(x + 7)2.y′(x) = 2(x + 2)(x + 7)2 + 2(x + 7)(x + 2)2 = 2(x + 2)(x + 7)(2x + 9) == 4(x + 2)(x + 7)(x + 4,5);y′(x)y(x)+–+–4,5–7–x–2Ответ: y(x) возрастает на [–7; –4,5] и на [–2; +∞),y(x) убывает на (–∞; –7] и на [–4,5; –2].5.1.В02. а) y(x) = x3 – 3x2 – 9x – 4y′(x) = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1);y′(x)+–+x3–1y(x)Ответ: y(x) возрастает на (–∞; –1] и на [3; +∞), убывает на [–1; 3].б) y(x) = x3 + 7x2 – 5x + 2.y′(x) = 3x2 + 14x – 5;⎛⎝D−7 + 8 1−7 − 8= 49 + 15 = 64; x1 == ; x2 == –5;43231⎞y′(x) = 3 ⎜ x − ⎟ ( x + 5) ;3y′(x)y(x)⎠++–5–13x⎡1⎞Ответ: y(x) возрастает на (–∞; –5] и на ⎢ ; +∞ ⎟ ;⎣3⎠1⎤⎡.3 ⎥⎦⎣15.1.В03.
а) y(x) = x3 – 36x + 17.3y(x) убывает на ⎢ −5;y′(x) = x2 – 36 = (x – 6)(x + 6);y′(x) ≤ 0 при x ∈ [–6; 6] ⇒ y(x) убывает на отрезке [–6; 6];Очевидно, что искомый отрезок [–6; –2]. Ответ: [–6; –2].-4[]-6–206б) y(x) = x3 – 147x + 20.y′(x) = 3x2 – 147 = 3(x2 – 49) = 3(x – 7)(x + 7);y′(x) ≤ 0 на [–7; 7] ⇒ y′(x) убывает на [–7; 7];335Очевидно, что искомый отрезок [3; 7]; Ответ: [3; 7].5.1.В04. а) y(x) = –2x4 – x3 – 2 23⎛⎝3⎞y′(x) = –8x3 – 3x2 = –x2(8x + 3) = –8x2 ⎜ x + ⎟ ;8y′(x)⎠+y(x)−–38–0⎛x3⎤⎡3⎞⎛⎝3⎤Ответ: y(x) возрастает на ⎜ −∞; − ⎥ ; y(x) убывает на ⎢ ; +∞ ⎟ .8⎦⎝⎣8⎠б) y(x) = 7x4 + 4x3 – 19 .⎛⎝3⎞y′(x) = 28x3 + 12x2 = 4x2(7x + 3) = 28x2 ⎜ x + ⎟ .7y′(x)y(x)⎠++x–3−70⎡ 3⎣⎞⎠Ответ: y(x) возрастает на ⎢ − ; +∞ ⎟ ; y(x) убывает на ⎜ −∞; − ⎥ .77⎦5.1.В05.
а) y(x) = 27x – (x + 2)3.y′(x) = 27 – 3(x + 2)2 = 3(3 – x – 2)(3 – x + 2) = –3(x – 1)(x + 5);На отрезке [–5,5; 1,5] производная имеет 2 нуля: –5 и 1, и меняет в них знак⇒ это экстремумы.y(–5) = –135 – (–5 + 2)3 = –108;y(1) = 27 – 27 = 0;y(–5,5) = –148,5 + 42,875 = –105,625;y(1,5) = 40,5 – 42,875 = –2,375;Ответ: наибольшее значение — 0; наименьшее значение — (–108).б) y(x) = 48x – (x + 5)3.y′(x) = 48 – 3(x + 5)2 = 3(4 – x – 5)(4 + x + 5) = –3(x + 1)(x + 9);В точках –1 и –9 y(x) имеет экстремумы, т.к.
y′(x) меняет знак;y(–1) = –48 – 64 = –112;y(–9) = –432 + 64 = –368;y(–0,5) = –24 – 91,125 = –115,125;y(–9,5) = –456 + 91,125 = –364,875;Ответ: наибольшее значение — –112; наименьшее — (–368).5.1.В06. а) f(x) = x3 + 12x2 + 12x + 8.f′(x) = 3x2 + 24x + 12 = 3(x2 + 8x + 4);Решим f′(x) = 0 = 3(x2 + 8x + 4);D= 16 – 4 = 12; x1 = –4 + 2 3 ; x2 = –4 – 2 3 ;4Производная f′(x) ≤ 0 при x ∈ ⎡⎣ −4 − 2 3; −4 + 2 3 ⎤⎦ ;336()f′(x) ≥ 0 при x ∈ −∞; −4 − 2 3 ⎤⎦ и x ∈ ⎣⎡ −4 + 2 3; +∞ .В точках −4 − 2 3 и −4 + 2 3 производная 0 и она меняет знак, значит, этоэкстремумы.В точке −4 − 2 3 f′(x) меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума.В точке −4 + 2 3 f′(x) меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума.Ответ: −4 − 2 3 — точка максимума, −4 + 2 3 — точка минимума.б) f(x) = x3 – 6x2 – 27x + 5.f′(x) = 3x2 – 12x – 27 = 3(x2 – 4x – 9);Решим 3(x2 – 4x – 9) = 0;D= 4 + 9 = 13; x1 = 2 + 13 ; x2 = 2 − 13 ;4f′(x) ≤ 0 при x ∈ ⎡⎣ 2 − 13; 2 + 13 ⎤⎦ ;()f′(x) ≥ 0 при x ∈ −∞; 2 − 13 ⎤⎦ и x ∈ ⎣⎡ 2 + 13; +∞ ;Точки 2 + 13 — экстремумы, т.к.
f′(x) меняет знак в них;Точка 2 − 13 — точка максимума, т.к. f′(x) меняет знак с «+» на «–»;Точка 2 + 13 — точка минимума, т.к. f′(x) меняет знак с «–» на «+».5.1.В07. а) f(x) = x2(2x – 1) – 8.f′(x) = 2x(2x – 1) + x2 ⋅ 2 = 6x2 – 2x = (3x – 1) ⋅ 2x;В точках 0 и1производная обращается в 0 и меняет знак ⇒ это точки3экстремума;В точке 0 производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка максимума;В точке1производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка3минимума.Ответ: 0 — точка максимума;1— точка минимума.3б) f(x) = x2(2x – 3) – 1.f′(x) = 2x(2x – 3) + 2x2 = 2x(3x – 3) = 6x(x – 1);В точках 0 и 1 f′ равна 0 и меняет знак, значит, это точки экстремума;В т.
0 f′ меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума;В т. 1 f′ меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума.Ответ: 0 — точка максимума; 1 — точка минимума.5.1.В08.а) f(x) = x3(1 – 8x).⎛⎝f′(x) = 3x2(1 – 8x) – 8x3 = x2(3 – 24x – 8x) = x2(3 – 32x)=–32x2 ⎜ x −3 ⎞⎟;32 ⎠337+0В точке+332–x3f′(x) равна 0 и меняет знак, значит, это точка экстремума32(максимума, т.к. с «+» на «–»);В т. 0 f′(x) не меняет знак, это не точка экстремума.Ответ:3— точка максимума; точек минимума нет.32б) f(x) = x3(4x + 1).⎛⎝f′(x) = 3x2(4x + 1) + 4x3 = x2(12x + 3 + 4x) = x2(16x + 3)=16x2 ⎜ x ++–3⎞⎟;16 ⎠+x0316В т.
0 производная равна 0, но знак не меняет, значит, это не точкаэкстремума;⎛ 3⎞В т. ⎜ − ⎟ производная равна 0 и меняет знак с «–» на «+» ⇒ это точка⎝ 16 ⎠минимума.3Ответ: −— точка максимума; точек минимума нет.165.1.В09 а) f(x) = x3 + 7x2 – 17x – 4.17 ⎞⎛f′(x) = 3x2 + 14x – 17 = 3(x – 1) ⎜ x + ⎟ ;3⎠⎝−++173–1xВ точке (1) f′(x) меняет знак с «–» на «+» ⇒ это точка минимума.f(1) = –13; Наибольшее целое, меньшее –13 — это (–14).Ответ: –14.б) f(x) = x3 + 6x2 – 15x – 4.f′(x) = 3x2 + 12x – 15 = 3(x2 + 4x – 5) = 3(x – 1)(x + 5);В т. (1) f′(x) меняет знак с «–» на «+» ⇒ это точка минимума.f(1) = –12. Наибольшее целое, меньшее –12 — это –13.Ответ: –13.5.1.В10.а) f(x) = (x – 3)7(x – 1)2.f′(x) = 7(x – 3)6(x – 1)2 + 2(x – 3)7(x – 1) == (x – 3)6(x – 1)(7x – 7 + 2x – 6) = (x – 3)6(x – 1)(9x – 13) =338⎛⎝= 9(x – 3)6(x – 1) ⎜ x −13 ⎞⎟;9⎠Нули производной: 3; 1;13.
Но в т. 3 производная не меняет знак ⇒ это не9точка экстремума.13она знак меняет ⇒ это точка экстремума.9В точках 1 иОтвет: 1 и13.9б) f(x) = (x + 5)5(x + 4)2.f′(x) = 5(x + 5)4(x + 4)2 + 2(x + 5)5(x + 4) == (x + 5)4(x + 4)(5x + 20 + 2x + 10) = (x + 5)4(x + 4)(7x + 30) =⎛⎝= 7(x + 5)4(x + 4) ⎜ x +30 ⎞⎟;7 ⎠⎛ 30 ⎞⎟ , но в т. (–5) она не меняет знак ⇒ (–⎝ 7 ⎠Нули производной: (–5); (–4) и ⎜ −5) — не точка экстремума.⎛ 30 ⎞⎟ производная меняет знак ⇒ это точки экстремума.⎝ 7 ⎠30Ответ: –4 и.7В т.
(–4) и ⎜ −5.1.В11.а) f(x) = 14x3 + 81x2 – 24x – 2.f′(x) = 42x2 + 162x – 24 = 6(7x2 + 27x – 4);Решим f′(x) = 6(7x2 + 27x – 4) = 0;D = 292; x1 =1⎞−27 + 29 1−27 − 29⎛= –4; f′(x) = 42(x + 4) ⎜ x − ⎟ ;= ; x0 =7⎠14714⎝В т. (–4) f′(x) меняет знак с «+» на «–» ⇒ это точка максимума.1f′(x) меняет знак с «–» на «+» ⇒ это точка минимума.71— точка минимума.Ответ: –4 — точка максимума;7В т.б) f(x) = 16x3 – 27x2 + 6x – 5.⎛⎝1⎞f′(x) = 48x2 – 54x + 6 = 6(8x2 – 9x + 1) = 6(x – 1)(8x – 1) = 48(x – 1) ⎜ x − ⎟ ;8f′(x)+–+18⎠1x⎛1⎞В т. ⎜ ⎟ производная равна 0 и меняет знак с «+» на «–» ⇒ это точка максимума.⎝8⎠339В т.
1 производная обращается в 0 и меняет знак с «–» на «+» ⇒ это точкаминимума.Ответ:1— точка максимума; 1 — точка минимума.85.1.В12. а) y(x) = x39 – 39x + 8,3.y′(x) = 39x38 – 39;Очевидно, что y′(x) ≥ 0 при |x| ≥ 1.Значит, y(x) возрастает на (–∞; –1] и на [1; +∞).При |x| ≤ 1 y′(x) ≤ 0 ⇒ y(x) убывает на [–1; 1].Ответ: y(x) возрастает на (–∞; –1] и на [1; +∞) и убывает на [–1; 1].б) y(x) = x61 – 61x + 8. y′(x) = 61x60 – 61.Очевидно, что при |x| ≥ 1 y′(x) ≥ 0 ⇒ y(x) возрастает на (–∞; –1] и на [1; +∞).При |x| ≤ 1 y′(x) ≤ 0 ⇒ y(x) убывает на [–1; 1].Ответ: y(x) возрастает на (–∞; –1] и на [1; +∞) и убывает на [–1; 1].Уровень С.5.1.С01.а) f(x) =f′(x) =( x + 8)4 + ( x − 6) 4.44((x + 8)3 + (x – 6)3) = (2x + 2)((x + 8)2 – (x + 8)(x – 6) + (x – 6)2) =4= 2(x + 1)(x2 + 16x + 64 – x2 – 2x + 48 + x2 – 12x + 36) = 2(x + 1)(x2 + 2x + 148);D= 1 – 148 < 0;4Знак f′(x) зависит только от (x + 1).При x ≤ 1 f′(x) ≤ 0 ⇒ f(x) убывает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
