shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 38
Текст из файла (страница 38)
⎜⎝ 3 3 4 3⎠1 πCπ+ −= 3+ ;По условию3434 3F(x0) = –4 + C. Тогда y = 4 3x −C=π 3−83Тогда y = 4 3x +π 34π 3−8−−4 .33Ответ: y = 4 3x − π 3 − 12 .б) f1(x) = 10sinx; f2(x) = –5tgxПо условию f1(x0) = f2(x0)10sinx0 = –5tgx0290⎡ x 0 = πk , k ∈ Z⎡sin x0 = 0⎛1 ⎞⎢⎢5sin x0 ⎜ 2 +.⎟=0 ⇔ ⎢2π1 ⇔ ⎢cos x0 ⎠x0 = ±+ 2πn, n ∈ Zcos x0 = −⎝⎢⎣⎢32⎣2πТ.к. x0 ∈ (0; π), то x0 =3F(x) — первообразная для f1(x): F(x) = –10cosx + C.Уравнение касательной для F(x) в т. (x0; F(x0)):y = f1(x0)(x – x0) + F(x0); f1(x0) = 5 3 ; F(x0) = 5 + Cy = 5 3x −10π 3+5+С .3⎛ 2π1C⎞−; 0⎟ .Эта прямая пересекает ось абсцисс в т. ⎜ −3 5 3⎝ 3⎠По условию2π 1Cπ π 1C5π 3−−= 3+ ; −− 3=⇒ C=− 20 ;36223 5 335 3Тогда y = 5 3x −10π 35π 3+5+− 20 .325π 3− 15 .65π 3− 15 .Ответ: y = 5 3x +6y = 5 3x +4.4.D07.⎛⎝π⎞⎛⎝π⎞а) f(x) = sin ⎜ 5 x + ⎟ , g ( x) = cos ⎜ 5 x + ⎟ .22⎠⎠По условию f′(x0) = g′(x0);π⎞π⎞π⎞⎛⎛⎛5cos ⎜ 5 x0 + ⎟ = −5sin ⎜ 5 x0 + ⎟ ; tg ⎜ 5 x0 + ⎟ = −1 ;222⎠⎝⎠⎝⎠⎝π πkπ 3π5 x0 + =++ πk , k ∈ ∧; x0 =.20 52 4π9π⎡ π⎤и.Из таких точек в ⎢ 0; ⎥ лежат420⎣ 2⎦π: уравнение касательной к f(x):4π⎞⎛ π ⎞⎛⎛π⎞y = f ′ ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f ⎜ ⎟ ;4⎠⎝ 4 ⎠⎝⎝4⎠Для5⎛π⎞f ′⎜ ⎟ =; f42⎝ ⎠5x5πy=−−2 4 2⎛ π ⎞ −1;⎜ ⎟=2⎝4⎠12;уравнение касательной к g(x)291π⎞⎛ π ⎞⎛⎛π⎞y = g ′ ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + g ⎜ ⎟ ;44⎝ ⎠⎝⎠⎝ 4⎠51⎛π⎞⎛π⎞g′⎜ ⎟ =; g⎜ ⎟ =;22⎝4⎠⎝4⎠5x5π1y=−+;2 4 229π: уравнение касательной к f(x)Для209π ⎞51⎛ 9π ⎞⎛⎛ 9π ⎞⎛ 9π ⎞⎛ 9π ⎞y = f ′ ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f ⎜ ⎟ ; f ′ ⎜ ⎟ = −; f⎜ ⎟=202020202022⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠5x9π1y=−++;2 4 229π ⎞5⎛ 9π ⎞⎛⎛ 9π ⎞⎛ 9π ⎞уравнение касательной к g(x): y = g ′ ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + g ⎜ ⎟ ; g ′ ⎜ ⎟ = −;20 ⎠2⎝ 20 ⎠⎝⎝ 20 ⎠⎝ 20 ⎠15x9π1⎛ 9π ⎞g⎜ ⎟ = −; y=−+−.22 4 22⎝ 20 ⎠⎛⎝π⎞⎛⎝π⎞б) f(x) = sin ⎜ 3x − ⎟ , g ( x) = cos ⎜ 3x − ⎟ .77⎠⎠По условию f′(x0) = g′(x0).π⎞π⎞π⎞π 3π⎛⎛⎛3cos ⎜ 3 x0 − ⎟ = −3sin ⎜ 3x0 − ⎟ ; tg ⎜ 3x0 − ⎟ = −1 ; 3 x0 − =+ πk , k ∈ ∧;7⎠7⎠7⎠74⎝⎝⎝3 x0 =3π ππ π πkπ π⎡ π⎤+ + πk ; x0 = + +, k ∈ ∧.
Т.к. x0 ∈ ⎢ 0; ⎥ , то x0 = + .4 21 34 214 7⎣ 2⎦⎛⎝π4Уравнение касательной к f(x): y = f ′ ( x0 ) ⎜ x − −π⎞3;⎟ + f ( x0 ) ; f ′ ( x0 ) = −21 ⎠21⎛ 25π π ⎞f ( x0 ) = sin ⎜ 3 ⋅− ⎟=;8472⎝⎠33π3π1−325π1x+++x++=;Тогда y = −24 2 21 22228 22Уравнение касательной к g(x):π π⎞31⎛y = g ′ ( x0 ) ⎜ x − − ⎟ + g ( x0 ) ; g ′ ( x0 ) = −; g ( x0 ) = −.4 21 ⎠22⎝33π1x+−.Тогда y = −24 22325π133π1x++x+Ответ: y = −; y=−−.228 2224 224.4.D08.а) f(x) = 4 + 3cos4x; f′(x) = –12sin4x.2923π ⎞⎛ 3π ⎞⎛⎛ 3π ⎞Уравнение касательной: y = f ′ ⎜ − ⎟⎜ x + ⎟ + f ⎜ − ⎟ .22⎝⎠⎝⎠⎝ 2 ⎠⎛ 3π ⎞⎛ 3π ⎞f ′ ⎜ − ⎟ = 0 ; f ⎜ − ⎟ = 4 + 3 = 7; Тогда y = 7 — касательная.⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠Решим уравнение: 4 + 3 cos4x = 7; cos4x = 1 ⇔ 4x = 2πk, k ∈ ∧;x=πk, k ∈ ∧;2⎛ πk⎞Точки пересечения ⎜ ; 4 ⎟ .⎝ 2⎠⎛ πk ⎞f ′ ⎜ ⎟ = 0 ⇒ данная прямая является касательной и в других общих с гра⎝ 2 ⎠фиком точках.⎛ πk⎞Ответ: ⎜ ; 4 ⎟ , является.⎝ 2⎠б) f(x) = 3 + 2cos8x; f′(x) = –16sin8x⎛ π ⎞⎛π⎞⎛ π⎞⎛ π⎞⎛ π⎞Уравнение касательной: y = f ′ ⎜ − ⎟⎜ x + ⎟ + f ⎜ − ⎟ .
f ′ ⎜ − ⎟ = 0 ; f ⎜ − ⎟ = 52⎠⎝ 2⎠⎝ 2⎠⎝ 2 ⎠⎝⎝ 2⎠Тогда y = 5 — касательная.Решим уравнение: 3 + 2cos8x = 5; cos8x = 18x = 2πk, k ∈ ∧, ⇒ x =πk⎛ πk⎞. Точки пересечения ⎜ ; 5 ⎟ .4⎝ 4⎠⎛ πk ⎞f ′ ⎜ ⎟ = 0 ⇒ данная прямая является касательной для всех общих точек.⎝ 4 ⎠⎛ πk⎞Ответ: ⎜ ; 5 ⎟ , k ∈ Z; является.⎝ 4⎠4.4.D09.а) f(x) = 4 + 5sinf′(x) =3x.2153xcos .22⎛ 5π ⎞⎛5π ⎞⎛ 5π ⎞Уравнение касательной: y = f ′ ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f ⎜ ⎟ .3 ⎠⎝ 3 ⎠⎝⎝ 3 ⎠⎛ 5π ⎞⎛ 5π ⎞f ′ ⎜ ⎟ = 0 ; f ⎜ ⎟ = 9. Тогда y = 9 — касательная.⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠3x3x3x πРешим уравнение: 4 + 5sin = 9, sin=1⇔= + 2πk ,222 2π 4πk⎛ π 4πk⎞x= +; 9⎟ , k ∈ ∧, k ∈ ∧.
Все общие точки ⎜ +333⎝3⎠293⎛ π πk ⎞f ′⎜ +⎟ = 0 , значит прямая является касательной для всех общих точек⎝3 2 ⎠⎛π4πk⎞; 9 ⎟ , k ∈ ∧; является.абсцисс. Ответ: ⎜ +3⎝3⎠б) f(x) = 7 + 2sin2x.f′(x) =4cos2x.⎛ 5π ⎞⎛5π ⎞⎛ 5π ⎞Уравнение касательной: y = f ′ ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f ⎜ ⎟ .4 ⎠⎝ 4 ⎠⎝⎝ 4 ⎠⎛ 5π ⎞⎛ 5π ⎞f ′ ⎜ ⎟ = 0 ; f ⎜ ⎟ = 9; y = 9 — касательная.⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠Решим уравнение: 7 + 2sin2x = 9; sin2x = 1;π+ 2πk , k ∈ ∧;2π⎛π⎞x = + πk , k ∈ ∧; Общие точки: ⎜ + πk ; 9 ⎟ , k ∈ ∧;4⎝4⎠2x =⎛π⎞f ′ ⎜ + πk ⎟ = 0 ,⎝4⎠значит прямая является касательной для всех общих точек.⎛π⎞Ответ: ⎜ + πk ; 9 ⎟ , k ∈ ∧; является.⎝4⎠4.4.D10.а) f(x) = 3cosx – 55 sin x .Первообразная F(x) = 3sinx + 55 cosx + C =⎛3= 8 ⎜⎜ sin x +⎝8⎞553⎞⎛cos x ⎟ + C = 8sin ⎜ x + arccos ⎟ + C .⎟88⎝⎠⎠Очевидно, что экстремумы — либо 8 + C, либо –8 + C.1.
8 + C = 1 ⇒ С = –7 и F(x) = 3sinx + 55 cos x + C = 3sinx – 55 cosx – 7.2. –8 + C = 1 ⇒ C = 9 и F(x) = 3sinx +55 cos x + C = 3sinx – 55 cosx + 9.Ответ: F(x) = 3sinx – 55 cosx – 7; F(x) =3sinx – 55 cosx + 9.б) f(x) = –3cosx – 91sin x .Первообразная F(x) = –3sinx + 91 cosx + C =⎛⎞391⎛⎛ 3 ⎞⎞sin x +cos x ⎟ + C = 10sin ⎜ x + arccos ⎜ − ⎟ ⎟ + C .⎟10⎝ 10 ⎠ ⎠⎝⎝ 10⎠= 10 ⎜⎜ −Очевидно, что экстремумы — либо 10 + C, либо –10 + C.1. 10 + C = 1 ⇒ С = –9 и F(x) = 3sinx + 91 cos x – 9.2.
–10 + C = 1 ⇒ C = 11 и F(x) = –3sinx +Ответ: F(x) = –3sinx +29491 cos x + 11.91 cos x – 9; F(x) = –3sinx +91 cos x + 11.4.4.D11. а) f(x) = sin 15xsin30x.11cos15x – cos45x;2211Первообразная F(x) = sin15 x − sin 45 x + C .3090f(x) =Известно, что f(–7π) = 0 ⇒ C = 0.Решим: 3sin15x = sin 45x. 3sin45x = 3(3sin15x – 4 sin315x) ⇒ sin15x = 0;15x = πk. k ∈ ∧; x =πkπk, k ∈ ∧. Ответ: x =, k ∈ ∧.1515б) f(x) = cos14xcos28x.11cos14x + cos42x;2211Первообразная F(x) = sin14 x − sin 42 x + C .2884f(x) =Известно, что F(–6π) = 0 ⇒ C = 0.Решим уравнение:11sin14x –sin 42x = 0.28843sin14x = 3sin14x – 4 sin314x ⇒ sin14x = 0;14x = πk.
k ∈ ∧; x =πkπk, k ∈ ∧; Ответ: x =, k ∈ ∧.14144.4.D12. а) f(x) = cos6xcos18x.11cos12x + cos24x.2211sin12x +sin24x + C.Первообразная F(x) =2448Известно, что F ⎛⎜ 5π ⎞⎟ = 0 ⇒ C = 0.⎝ 6 ⎠f(x) =Решим уравнение:11sin12 x + sin 24 x = 0 ; 2sin12x + 2sin12xcos12x = 0;2448⎡sin12 x = 0;2sin12x(cos12x + 1) = 0; ⎢⎣ cos12 x = −1Очевидно, что второе входит в первое. Решаем только первое уравнение.sin12x = 0 ⇔ 12x = πk, k ∈ ∧; x =πkπk, k ∈ ∧.
Ответ: x =, k ∈ ∧.1212б) f(x) = sin2xsin6x.11cos4x – cos8x.22sin 4 x sin 8 x⎛ 7π ⎞Первообразная F(x) =−+ C . Известно, что F ⎜ − ⎟ = 0 ⇒ C = 0.816⎝ 2 ⎠sin 4 x sin 8 x+= 0 ; 2sin4x – 2sin4xcos4x = 0;Решим уравнение:816f(x) =295⎡sin 4 x = 02sin4x(1 – cos4x) = 0; ⎢;⎣cos 4 x = 1Второе входит в первое. sin4x = 0; 4x = πk, k ∈ ∧; x =Ответ:πk, k ∈ ∧.4πk, k ∈ ∧.4§ 5. Показательная функцияУровень А.4.5.А01. а) f(x) = 2ex–4 – x – 10 x . Точка касания M(4; y0).10yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0); f′(x0) = 2e x0 − 4 − 1 −2 x03f(x0) = 2 – 4 – 20 = –22 ⇒ yкас = − ( x − 4) − 2223tgα = k, где k: y = kx + 6 ⇒ tgα = − .2= 2 ⋅ e0 – 1 –1053=1 – = − ;422tgα — ?α32Ответ: tgα = − .б) f(x) = –3ex–9 – 4x + 15 x .
Точка касания M(9; y0).f′(x0) = tgα (искомое); f′(x0) = −3e x − 9 − 4 +152 x;15999= − ⇒ tgα = − . Ответ: tgα = − .622242 3x+44.5.А02. а) Найти y′(x). y(x) = 2x e ; x = − . y′(x) = 4x ⋅ e3x+4 + 6x2e3x+4;316 6 ⋅16 1616⎛ 4⎞y′ ⎜ − ⎟ = − +. Ответ:.=3933⎝ 3⎠f′(9) = –3 – 4 +35б) y(x) = 4x2e5x+3; x = − .⎛ 3⎞2420 ⋅ 91212. Ответ:.y′(x) = 8x⋅ e5x+3 + 20x2e5x+3; y′ ⎜ − ⎟ = − +=52555⎝ 5⎠x–24.5.А03. а) f(x) = 3x + 1 – 2e , т. M (2; y0).yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0); f′(x) = 3 – 2ex–2; f′(x0) = 3 – 2 = 1;296f(x0) = 6 + 1 – 2 = 5 ⇒ y кас = x – 2 + 5 = x + 3.
Ответ: y = x + 3.б) f(x) = 5x –1 + 2ex+2; т. M (–2; y0).yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0); f′(x) = 5 + 2ex+2; f′(x0) = 5 + 2 = 7; f(x0) = –10 – 1 + 2 =–9 ⇒ yкас = 7(x + 2) – 9 = 7x + 5.Ответ: y = 7x + 5.4.5.А04. а) касательная f(x) || yf(x) = 5x – 8ex; y = –3x – 16. Т.
M (x0; y0) — точка касания.yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0), если yкас || y ⇒ из условия коэффициенты равны ⇒f′(x0) = –3. f′(x0) = 5 – 8e x0 = –3 ⇒ x0 = 0.Ответ: x0 = 0.б) f(x) = 3x + 7ex; y = 10x + 14; f(x) || y.y = 10x + 14; f′(x0) = 10; f′(x0) = 3 + 7e x0 = 10 ⇒ x0 = 0.Ответ: x0 = 0.4.5.А05. а) f(x) = 7ex + 3 первообразная пересекает ось Oy в т. (0; 4).∫(7ex + 3)dx = 7ex + 3x + C = y;т.
M(0; 4) ∈ y ⇒ 7 + C = 4 ⇔ C = –3 ⇒ y = 7ex + 3x – 3.Ответ: y = 7ex + 3x – 3.б) f(x) = 2ex – 3, первообразная ∩ Oy в т. (0; –3).∫(2xx – 3)dx = 2ex – 3x + C = y; 2 + C = –3 ⇒ C = –5 ⇒ y = 2ex – 3x – 5.Ответ: e = 2ex – 3x – 5.ln 24.5.А06. а) S = ∫ e x dx = e x− ln 3ln 3б) S = ∫ e x dx = e x− ln 2ln 3− ln 2= 3−ln 2− ln 3= 2−1 5= ;3 31 5= .2 2Уровень В.4.5.В01. а) f(x) = 3ex +13+ 2e 4 x + 4 + 3 , т. M (–1; y0).x0 +1yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0); f′(x0) = e 3 + 8e4 x0 + 4 = 1 + 8 = 9 ;f(x0) = 3 + 2 + 3 = 8 ⇒ yкас: 9(x + 1) + 8 = 9x + 17.Ответ: у = 9x + 17.б) f ( x) = 2ex +12− 3e 2 x + 2 + 9 , т.
M(–1; y0).12yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0); f′(x0) = 2 ⋅ ex0 +12− 3 ⋅ 2e 2 x0 + 2 = 1 – 6 = –5;f(x0) = 2 – 3 + 9 = 8; yкас = –5(x + 1) + 8 = –5x + 3.Ответ: y = –5x + 3.4.5.В02. а) f(x) = e5–x(3x – 14)4т. M(5; y0).yкас= f′(x0)(x – x0) + f(x0); f(x0) = 1;f′(x0) = − e5− x0 (3x0 – 14)4 + 12e5–x(3x – 14)3 = –1 + 12 = 11;yкас = 11(x – 5) + 1 = 11x – 54.
Ответ: y = 11x – 54.б) f(x) = e2–x(4x – 7)4, т. M(2; y0).f′(x0) = –e2–x(4x – 7)4 + 16e2–x(4x – 7)3 = –1 + 16 = 15;f(x0) = 1 ⇒ yкас = 15(x – 2) + 1 = 15x – 29. Ответ: y = 15x – 29.2974.5.В03. а) f(x) = 11xln29 – 29xln11. f(x) ⊥ Oy ⇒ f(x) || Ox;Ox: y = 0 ⇒ f′(x0) = 0;f′(x0) = 11x0 ln11 ⋅ ln29 – 29 x0 ln11⋅ln29 ⇒ 11x0 − 29 x0 = 0 ⇒ x0 = 0.Ответ: 0.б) f(x) = 19xln28 – 28xln19.
f(x) || Ox ⇒ f′(x0) = 0;f′(x0) = ( 19 x0 − 28 x0 )ln19 ⋅ ln28 = 0 ⇒ x0 = 0. Ответ: 0.4.5.В04. а) f(x) = 14x – 1, укас || y, y = xln14 – 20т. M(x0; y0) ⇒yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0) ⇒ коэф. укас = y; f′(x0) = 14x0ln14;f(x0) = ln14x0 – 1⇒ 14 x0 =1⇒f′(x0)=ln14⇒ 14 x0 ln14 = ln14 ⇒ x0 = 0 ⇒ y0 = 0.Ответ: y0 = 0.б) f(x) = 21x + 11, y = xln21 – 11, т. M(x0, y0) — ?yкас || y⇒f′(x0)=ln21; f′(x0)= 21x0 ln21 = ln21 ⇒ x0 = 0 ⇒ y0 = 12.Ответ: y0 = 12.4.5.В05. а) f ( x) =5 − 2e 2 x, F′(x) = f(x) y = 10 + 7cosx.ex⎛ 5⎞− 2e x ⎟dx = –5e–x – 2ex + C = y, т.к. в условии Oy ⇒ x = 0 ⇒x⎝e⎠∫⎜y = 10 + 7 cos0 = 17 ⇒ –5 – 2 + C = 17 ⇒ C = 24 ⇒ –5e–x – 2ex + 24Ответ: F(x) = –5e–x – 2ex + 24.б) f(x) =9 + 8e 2 x, y = 14 + 11cosx.ex∫(9e–x + 8ex–)dx = –9e–x + 8ex + C = yx = 0 ⇒ y = 25;Подставим эти значения в (1) получим: ⇒–9 + 8 + С= 25⇒С = 26⇒y == –9–x + 8ex + 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
