shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 37
Текст из файла (страница 37)
⎜ − ; f ⎜ − ⎟ ⎟ : y = f ′ ⎜ − ⎟⎜ x + ⎟ + f ⎜ − ⎟2⎠⎝ 2 ⎠⎝⎝ 2⎠⎝ 2 ⎠⎠⎝ 2⎛ π ⎞ 3π⎛ π⎞f ′ ⎜ − ⎟ = −1 ; f ⎜ − ⎟ =. Тогда y = –x + π. Ответ: y = –x + π.2⎝ 2⎠ 2⎝⎠4.4.С08. а) f(x) = 9x + sin2x.У графика f(x) единственная точка пересечения с осью абсцисс — (0; 0), т.к.f(x) строго возрастает (f′(x) = 9 + 2cos2x > 0).284Уравнение касательной в т. (x0; f(x0)):y = (9 + 2cos2x0)(x – x0) + (9x0 + sin2x0).Известно, что y(0) = 0.0 = –9x0 – 2x0cos2x0 + 9x0 + sin2x0. 2x0 = tg2x0.У этого уравнения только нулевое решение x0 = 0.Тогда y = 11x. Ответ: y = 11x.б) f(x) = 10x + sin6x.У графика f(x) единственная точка пересечения с осью абсцисс (0; 0), т.к.f(x) строго возрастает (f ′(x) = 10 + 6cos6x > 0).Уравнение касательной в т.
(x0; f(x0)):y = (10 + 6cos6x0)(x – x0) + (10x0 + sin6x0).Известно, что y(0) = 0.0 = –10x0 – 6x0cos6x0 + 10x0 + sin6x06x0 = tg6x0 — имеет только нулевое решение x0 = 0.Тогда y = 16x. Ответ: 16x.− cos 4 x+C .4cos π1⎛π⎞По условию F ⎜ ⎟ = 0 ⇒ −+C = 0 ⇒ C = −44⎝4⎠cos 4 x 1F ( x) = −−44cos 4 x1=− ;Найдем нули:44π πkπ πk, k ∈ ∧.
Ответ: +, k ∈ ∧.cos4x = –1; 4x = π + 2πk, k ∈ ∧; x = +4 24 2sin 5 xб) f(x) = cos5x. Первообразная F(x) =+C .5πsin⎛π⎞2 + C = 0 ⇒ − cos π + C = 0 ⇒ C = − 1 ;По условию F ⎜ ⎟ =545⎝ 10 ⎠sin 5 x 1sin 5 x 1πF ( x) =− . Найдем нули:= ⇔ sin5x = 1 ⇔ 5 x = + 2πk ,55552π 2πkπ 2πk+, k ∈ ∧.Ответ:, k ∈ ∧.k∈∧⇔ x= +1051054.4.С09. а) f(x) = sin4x. Первообразная F(x) =4.4.С10. а) f(x) = 5sinx – 2sin3x.Первообразная F(x) = –5cosx +⎛π⎞2cos3x + C.32Известно, что F ⎜ ⎟ = 0 ⇒ C = 0. F(x) = –5cosx + cos3x = 0;3⎝2⎠⎡ cos x = 02 8π⎛⎞cos x ⎜ −5 + − sin 2 x ⎟ = 0 ; ⎢ 2⇒ x = + 2πk , k ∈ ∧⎢sin x = − 133 32⎝⎠⎢⎣8πОтвет: + 2πk , k ∈ ∧.2285б) f(x) = 4cosx + 3cos3x.
Первообразная F(x) = 4sinx + sin3x + C.Известно, что F(0) = 0 ⇒ C = 0; F(x) = 4sinx + sin3x.Найдем нули: 4sinx + sin3x = 0; sinx(4 + 4cos2x – 1) = 0; x = πk, k ∈ ∧.Ответ: πk, k ∈ ∧.4.4.С11. а) f ( x) =1 + 3sin 2 x1=+3.sin 2 xsin 2 xПервообразная F(x) = –ctgx + 3x + C.⎛π⎞ππ3πππПо условию F ⎜ ⎟ = : –ctg + + C = ; C = − + 14 442⎝4⎠ 4Ответ: F(x) = –ctgx + 3x –π+ 1.23 − 2cos 2 x3=− 2 . Первообразная F(x) = 3tgx – 2x + C.cos 2 xcos 2 xπππππ⎛π⎞По условию F ⎜ ⎟ = − : 3tg − 2 ⋅ + C = − ; C = − 3444444⎝ ⎠б) f ( x) =Ответ: F(x) = 3tgx – 2x +π– 3.44.4.С12.⎛⎝π⎞а) y(x) = –2 sin ⎜ x + ⎟ .3⎛⎝⎠π⎞y′(x) = –2cos ⎜ x + ⎟ . Пусть x0 — искомая точка.3⎠По условию y(x0) = y′(x0);π⎞π⎞π⎞π π⎛⎛⎛−2sin ⎜ x0 + ⎟ = −2cos ⎜ x0 + ⎟ ; tg ⎜ x0 + ⎟ = 1 ⇔ x0 + = + πk, k ∈ ∧;3⎠3⎠3⎠3 4⎝⎝⎝ππx0 = − + πk , k ∈ ∧. Ответ: − + πk , k ∈ ∧.1212π⎞π⎞⎛⎛б) y(x) = –6 cos ⎜ x + ⎟ .
y′(x) = 6sin ⎜ x + ⎟ .6⎠6⎠⎝⎝Пусть x0 — искомая точка.По условию y(x0) = y′(x0);πππ⎞π⎞π⎞⎛⎛⎛−6cos ⎜ x + ⎟ = 6sin ⎜ x + ⎟ ; tg ⎜ x + ⎟ = −1 ⇔ x + = − + πk, k ∈ ∧;6⎠6⎠6⎠64⎝⎝⎝5π5πx = − + πk , k ∈ ∧. Ответ: − + πk , k ∈ ∧.1212Уровень D.4.4.D01.а) f(x) = sin12x – 3; y = 12x – 1. f′(x) = 12cosx.По условию f′(x0) = 12, где (x0; f(x0)) — точка касания.12cosx0 = 12 ⇒ cosx0 = 1 ⇒ x0 = 2πk, k ∈ ∧Уравнение касательной в (x0; f(x0)): y = 12(x – 2πk) + f(2πk), f(2πk) = –3;286y = 12x – 24πk –3. График ее пересекает оси в точках (0; –24πk – 3) и1 ⎞1⎛1⎞3⎛⎜ 2πk + ; 0 ⎟ . Тогда площадь треугольника S = ⎜ 2πk + ⎟ ( 24πk + 3) = ;4 ⎠2⎝4⎠8⎝3 324(πk)2 – 2πk + = ; 2πk(12πk – 1) = 0, но k — целое ⇒ k = 0.8 8Уравнение касательной y = 12x – 3.Ответ: y = 12x – 3.б) f(x) = sin11x + 1; y = 11x + 7.
f ′(x) = 11cosx.По условию f ′(x0) = 11, где (x0; f(x0)) — точка касания.11cosx0 = 11 ⇒ cosx0 = 1 ⇒ x0 = 2πk, k ∈ ∧.Уравнение касательной: y = 11(x – 2πk) + f(2πk), f(2πk) = 1;y = 11x – 22πk + 1. График ее пересекает оси в точках (0; –22πk + 1) и11⎛1⎞1⎛⎞;⎜ 2πk − ; 0 ⎟ . Тогда площадь треугольника: S = ⎜ 2πk − ⎟ ( 22πk − 1) =11 ⎠2⎝11 ⎠22⎝22π2k2 – 2πk = 0; 2πk(11πk – 1) = 0, но k — целое ⇒ k = 0.Уравнение касательной y = 11x + 1.Ответ: y = 11x + 1.4.4.D02. а) f(x) = –sin6xcos4x12f(x) = − (sin2x + sin10x); F(x) =11cos2x +cos10x + C420Наибольшее значение F(x) принимает при x = πk, k ∈ Z.4=1 17117+ + C , C = 3 . F ( x) = cos 2 x + cos10 x + 3 .4 201042010б) f(x) = –sinxcos3x.1218f(x) = − (sin4x + sin10x); F(x) = cos4x +1cos10x + C.20F(x) принимает наибольшее значение при x = πk, k ∈ Z.2=1 1331133+ + C , C = 1 .
F ( x) = cos 4 x + cos10 x + 1 .8 2040820404.4.D03.а) f(x) = 5x – sin3x.f ′(x) = 5 – 3cos3x принимает наибольшее значение 8 приcos3x0 = –1 ⇒ 3x0 = π + 2πk, k ∈ ∧;π 2πk+, k ∈ ∧, где (x0; f(x0)) — точка касания.33π 2πk ⎞⎛Уравнение касательной: y = 8 ⎜ x − −⎟ + f ( x0 ) ; f(x0) = 5x0 – sin3x0;33 ⎠⎝x0 =8π 16πk 5π 10πk⎛ π 2πk ⎞ 5π 10πkf⎜ +++. Тогда y = 8 x − −= 8x – π – 2πk.+⎟=33333333⎝⎠Эта прямая пересекает ось ординат в т. (0; –π – 2πk), абсцисс — в точке⎛ π πk⎞⎜ + ; 0⎟ .⎝8 4⎠287Площадь треугольника1 ⎛ π πk ⎞49π2 π249π2(1 + 2k )(1 + 2k ) =.;⎜ + ⎟ ( π + 2πk ) =2⎝ 8 4 ⎠161616⎡k = 31 + 2k = ±7 ⇒ ⎢.⎣ k = −4Тогда искомые уравнения: y = 8x – 7π и y = 8x + 7π.Ответ: y = 8x – 7π и 8x + 7π.б) f(x) = 6x – sin2x.
f ′(x) = 6 – 2cos2x. Очевидно, что угол наибольший принаибольшем f ′(x). Это достигается при cos2x0 = –1 ⇒ x0 =π+ πk, k ∈ ∧, где2(x0; f(x0)) — точка касания.⎛⎝π2⎞⎠⎛π⎝2⎞⎠Уравнение касательной: y = 8 ⎜ x − − πk ⎟ + 6 ⎜ + πk ⎟ ; Тогда y = 8x – π – 2πk.Эта прямая пересекает ось ординат в т. (0; π + 2πk), а ось абсцисс — в точке⎛ π πk⎞⎜ + ; 0⎟ .⎝8 4⎠1⎛ ππk ⎞Площадь треугольника S = ⎜ + ⎟ ( π + 2πk ) .2⎝ 8 4 ⎠По условию S =2⎡k = 225π2 π2⎛ 1 k ⎞ 25π(1 + 2k ) ⎜ + ⎟ =;; (1 + 2k)2 = 25 ⇒ ⎢;21616⎝8 4⎠⎣ k = −3Тогда искомые уравнения: y = 8x – 5π и y = 8x + 5π.Ответ: y = 8x – 5π и y = 8x + 5π.4.4.D04.а) f(x) = 5tg2πx.f ′( x) =10π.cos 2 (2πx)Угол наименьший при наименьшем f′(x), где (x0; f(x0)) — точка касания.
Аэто происходит при cos2(2πx0) = 1 ⇔ 2πx0 = πk, k ∈ ∧;kx0 = , k ∈ ∧2kУравнение касательной: y = 10 π ⎛⎜ x − k ⎞⎟ + f ⎛⎜ k ⎞⎟ ; f ⎛⎜ ⎞⎟ = 5tgπk = 0;22⎝⎠⎝ ⎠⎝2⎠y = 10πx – 5k.Эта прямая пересекает ось ординат в точке (0; –5k), а ось абсцисс — в точке1k⎞⎛ k.; 0 ⎟ .
Тогда площадь треугольника S = ⋅ 5 k ⋅⎜22π2π⎠⎝5k 2= 5 π ⇒ k = ±2π.4πИскомые уравнения: y = 10πx + 10π. y = 10πx – 10πОтвет: y = 10πx + 10π; y = 10πx – 10π.По условию S = 5π ⇒288б) f(x) = 4tg3πx; f ′( x ) =12 π.cos 2 ( 3 π x )Угол наименьший при наименьшем f ′(x), где (x0; f(x0)) — точка касания.А это происходит при cos2(3πx0) = 1 ⇔ 3πx0 = πk, k ∈ ∧ ⇒ x0 =k, k ∈ ∧.3Уравнение касательной:k⎞⎛⎛k⎞⎛k⎞y = 12 π⎜ x − ⎟ + f ⎜ ⎟ ; f ⎜ ⎟ = 4tgπk = 0;3⎠⎝3⎠⎝⎝3⎠y = 12πx – 4k, k ∈ ∧.Эта прямая пересекает ось ординат в точке (0; –4k), а ось абсцисс — в точкеk14k 2 .⎛ k⎞; 0 ⎟ . Тогда площадь треугольника S = ⋅ 4 k ⋅=⎜23π6π⎝ 3π ⎠4k 2По условию S = 6π ⇒= 6 π ⇒ k = ±3π.6πИскомые уравнения: y = 12πx – 12π и y = 12πx + 12πОтвет: y = 12πx – 12π и y = 12πx + 12π.4.4.D05.а) f(x) = 9tg x .f ′(x) =119⎛ x ⎞11 cos 2 ⎜ ⎟⎝ 11 ⎠.
Угол наименьший при f ′(x0) наименьшем, где (x0; f(x0))— точка касания.x⎛ x ⎞= π k , k ∈ ∧.cos 2 ⎜ ⎟ = 1 ⇔11⎝ 11 ⎠Уравнение касательной: y = 9 (x – 11πk) + f(11πk);11f(11πk) = 0 ⇒ y = 9 x – 9πk.11Эта прямая пересекает ось ординат в т. (0; –9πk), а ось абсцисс вт. (11πk; 0).Расстояние между ними: l = 202 π k . Тогда периметр будет равен:L = 9πk + 11πk + 202 πk = πk ( 20 + 202 ) .По условию L = π k ( 20 + 202 ) = 4 ( 20 + 202 ) π . Значит, k = 4.Уравнение касательной:99y=x − 36 π . Ответ: y =x − 36 π .1111б) f(x) = 11tgx; f′(x) =911.⎛ x⎞9 cos 2 ⎜ ⎟⎝9⎠289Угол наименьший при f ′(x0) наименьшем, где (x0; f(x0)) — точка касания.x⎛x ⎞cos 2 ⎜ 0 ⎟ = 1 ⇔ 0 = πk , k ∈ ∧ ⇔ x0 = 9πk, k ∈ ∧9⎝ 9⎠11Уравнение касательной: y = (x – 9πk) + f(9πk);911f(9πk) = 0 ⇒ y = x – 11πk.9Эта прямая пересекает оси в т.
(0; –11πk) и (9πk; 0).Расстояние между ними l = 202πk .Тогда периметр будет равен:L = 9πk + 11πk + 202πk = πk (20 + 202) .По условию L = πk (20 + 202) = 3(20 + 202)π .Значит, k = 3. Ответ: y =11x − 33π .94.4.D06.а) f1(x) = 8sinx; f2(x) = 4tgxПо условию f1(x0) = f2(x0), 8sinx0 –4sin x0=0cos x0⎡ x 0 = πk , k ∈ Z⎡sin x0 = 0⎛1 ⎞⎢⎢4sin x0 ⎜ 2 −0=⇔⇔.⎟⎢ x0 = ± π + 2πn, n ∈ Z⎢ cos x0 = 1cos x0 ⎠⎝⎢⎣⎢32⎣πТ.к. x0 ∈ (0; π), то x0 =3F(x) — первообразная для f1(x): F(x) = –8cosx + C.Уравнение касательной кF(x): y = f1(x0)(x – x0) + F(x0); f1(x0) = 4 3 ;4π 3+C −4 .3C⎛ 1 π⎞; 0⎟ .+ −Эта прямая пересекает ось абсцисс в т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
