shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ответ: у = − х + .33333б) f ( х) =/f (1) =23х − 21х + 83х( 6 х − 21) 3 х −. f / ( х) =3( 3х2− 21х + 8)23х 3;х2103 = − 35 ;13−15 +f(1)= –10; Уравнение касательной у=f /(1)(х–1)+f(1);355х+ .33355Ответ: у ( х) = − х + .33у ( х) = −14.3.В09. а) f ( х) = 2 х 0,5 − 6 х 3 +5 х 2 5 х + 5 .f / ( х) = х −0,5 − 2 х−236+ 11х 5 ;f′(1) = –10; f(1) = 2 – 6 + 5 + 5 = 1 + 5 .Уравнение касательной: у=f /(1)(х–1)+f(1)у ( х) = −10( х − 1) + 1 + 5 . Ответ: у ( х) = −10 х + 11 + 5 .5113б) f ( х) = 5 х0,2 − 4 х 4 + 3х5 3 х + 3 . f / ( х) = х −0,8 − 5 х 4 + 16 х 3 ;264)f / (1) = 1 − 5 + 16 = 12 ; f (1) = 5 − 4 + 3 + 8 = 4 + 3Уравнение касательной у=f /(1)(х–1)+f(1);у ( х) = 12 х − 8 + 3 . Ответ: у ( х) = 12 х − 8 + 3 .4.3.В10.
а) f ( х) = 11 − 5 х . f / ( х) =−52 11 − 5 х52; f / (2) = − ; f(2)=1;Уравнение касательной у=f /(2)(х–2)+f(2);55у ( х) = − х + 6 . Ответ: у ( х) = − х + 6 .22−22/б) f ( х) = 21 − 4 х . f ( х) =; f / (3) = − ; f(3)=3.321 − 4 хУравнение касательной у=f /(3)(х–3)+f(3);22у ( х) = − х + 5 . Ответ: у ( х) = − х + 5 .334.3. В11. а) f ( х) = 6 − х 9 х − 17 . f / ( х) = − 9 х − 17 −f / (2) = −1 −9х2 9 х − 17;18= −10 ; f(2)=6–2= 4.2Уравнение касательной у=f /(2)(х–2)+f(2); у(х)= –10х+24.Ответ: у(х)= –10х+24.б) f ( х) = 5 + х 3х − 11 .
f / ( х) = 3х − 11 +f / (4) = 1 +3х2 3х − 11;12= 7 ; f(4)=5+4=9.2Уравнение касательной у=f /(4)(х–4)+f(4); у(х)=7х–19.Ответ: у(х)=7х–19.4.3.В12. а) 5 x = 15 ⋅ x x=0, x =353533⎛2 3 5 ⎞5 2⎛ 3 ⎞2 5 9S = ∫ 15 x − 5 x dx = ⎜ 15 ⋅ x 2 − x 2 ⎟ ==15 ⋅ ⎜ ⎟ − ⋅3230⎝ 5 ⎠ 2 25⎝⎠023 9 6 93= ⋅ 9⋅ − = − = .35 10 5 10 103Ответ:;102б) 3x = 6 x x=0, x =323()22⎛2 3 3 ⎞32 2 2 3 ⎛2⎞S = ∫ 6 x − 3x dx = ⎜ 6 ⋅ x 2 − x 2 ⎟ = 6 ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ =323 3 3 2 ⎝3⎠0⎝⎠04 2 8 6 22= 2⋅ − = − = .Ответ: .9 3 9 9 99()265Уровень С.4.3.С01.
а) f ( х) = 21 − 5 8 х + 33 .Пусть (х0; –4) — точка касания;−4 = 21 − 5 8 х0 + 33 ⇔ 8 х0 + 33 = 5 ;8х0+33=25⇒х0= –1.f / ( х) =−5 ⋅ 82 8 х + 33=−208 х + 33; f / (−1) =−20= −4 .5Уравнение касательной: у=f /(–1)(х+1)+f(–1); у(х)= –4х–8. Ответ: у= –4х–8.б) f ( х) = 31 − 5 6 х + 7 . Пусть (х0; 6) — точка касания;6 = 31 − 5 6 х0 + 7 ⇔ 6 х0 + 7 = 5 ; 6х0+7=25⇒х0=3;f / ( х) =−5 ⋅ 62 6х + 7=−156х + 7; f / (3) =−15.5Уравнение касательной: у=f /(3)(х–3)+f(3); y(x) = –3x + 15. Ответ: y = –3x + 15.4.3.С02.
а) f ( х) = х + 1 − 9 х + 46 .Найдем точку с равными координатами (х0; х0):х0 = х0 + 1 − 9 х0 − 46 ⇔ 9 х0 + 46 = 1 ; х0= –5;f / ( х) = 1 −92 9 х + 46; f / ( −5) = −3,5 .Уравнение касательной: у=f /(–5)(х+5)+f(–5);у(х)= –3,5х–22,5. Ответ: у= –3,5х–22,5.б) f ( х) = х + 2 − 5 х + 19 .Найдем точку с координатами (х0; х0):х0 = х0 + 2 − 5 х0 + 19 ⇔ 5х0+19=4; х0= –3;f / ( х) = 1 −52 5 х0 + 19; f / (−3) = 1 −51=− .441434Уравнение касательной у=f /(–3)(х+3)+f(–3); у ( х) = − х − 3 .1434Ответ: у ( х) = − х − 3 .4.3.C03.а) f ( х) = 3х 2 − 4 х + 8 .
f / ( х) = 6 х −2х; f /(1)=4; f(1)=7.Уравнение касательной в точке (1; f(1)) у=f /(1)(х–1)+f(1); у(х)=4х+3.Прямая у(х) пересекает ось ординат в точке (0; 3), ось абсцисс — в точке⎛ 3⎞⎜ − ; 0 ⎟ . Ответ: (0; 3);⎝ 4⎠⎛ 3 ⎞⎜ − ; 0⎟ .⎝ 4 ⎠б) f ( х) = 2 х 2 − 8 х + 5 . f / ( х) = 4 х −4х; f /(4)=14; f(4)=21.Уравнение касательной в т. (4; 21): у=f /(4)(х–4)+f(4); у(х)=14х–35.266⎛5⎞Прямая пересекает ось ординат в точке (0; –35), ось абсцисс ⎜ ; 0 ⎟ .⎝2⎠⎛5⎞Ответ: (0; –35); ⎜ ; 0 ⎟ .⎝2⎠4.3.С04.а) f ( х) = 8 х16 + 9 +139 х32 + 8+2 .f(х) — производная для F(х).
На отрезке [8; 9] f(х)>0, значит F(х) возрастает. То есть F(9)>F(8). Ответ: F(9) > F(8).б) f ( х) = 4 х8 + 5 +135 х16 + 4+5 .f(х) — производная для F(х). На отрезке [4; 5] f(х)>0, значит F(х) возрастает. То есть F(5)>F(4). Ответ: F(5) > F(4).4.3.С05.а) f ( х) = −10 − 3 3х − 10 .Найдем точку с ординатой –9: −9 = −10 − 3 3х0 − 10 ⇔ 3х0–10= –1;х0=3 — точка касания (её абсцисса); f / ( х) = −13( 3х − 10 )2; f /(3)= –1; f(3)= –9.Уравнение касательной в т.
(3; 9) у=f /(3)(х–3)+f(3); у(х)= –х–6.Ответ: у= –х–6.б) f ( х) = −7 − 3 3х + 8 .Найдем точку с ординатой –6: −6 = −7 − 3 3х0 + 8 ⇔ 3х0 + 8 = −1 ;х0= –3 — абсцисса точки касания. f / ( х) = −13( 3х + 8 )2; f /(–3)= –1; f(–3)= –6.Уравнение касательной у=f /(–3)(х+3)+f(–3); у(х)= –х–9.Ответ: у= –х–9.34.3.С06. а) f ( х) = ( 4 х + 9 ) 4 х + 9 = ( 4 х + 9 ) 2 .f / ( х) = 4 ⋅34х + 9 = 6 4х + 9 .2Найдем абсциссы точек пересечения:3( 4х + 9) 211= 6 ( 4х + 9) 2 ⇔ ( 4х + 9) 2 ( 4х + 9 − 6) = 0 ;9⎡⎢х = − 4⎡4х + 9 = 0.⎢4х + 9 = 6 ⇔ ⎢⎢х = − 3⎣⎢⎣493Ответ: − ; − .442673б) f ( х) = ( 3х − 1) 3х − 1 = ( 3х − 1) 2 .
f / ( х) = 3 ⋅1139( 3х − 1) 2 = ( 3х − 1) 2 .22Найдем абсциссы точек пересечения:3( 3х − 1) 2=1199( 3х − 1) 2 ⇔ ( 3х − 1) 2 ⎛⎜ 3х − 1 − ⎞⎟ = 0 .22⎠⎝1⎡⎡3х − 1 = 0⎢х = 3⎢⇔⎢.⎢3х − 1 = 9⎢ х = 11⎢⎣2⎢⎣6111Ответ: и.363, y'(3)=1x4.3.С07. а) y = 2 3x y ' =yкас=y(3)+y'(3)(x–3)=6+(x–3)=x+339 ⎛ x22 3⎞S = ∫ ( x + 3)dx + ∫ ( x + 3) − 2 3 x dx = + ⎜ + 3x − 2 3 ⋅ x 2 ⎟ =2 ⎝ 23 ⎠00−3092392= + −43()⋅ 3 ⋅ 3 = 18 − 12 = 6 .Ответ: 6;б) y = 3 2 x y ' =32xy '(2) =3y(2)=6232yкас=y(2)+y'(2)(x–2)= 6 + ( x − 2) =3x+32230 32 3⎛3⎞⎛⎞⎛⎞S = ∫ ⎜ x + 3 ⎟ dx + ∫ ⎜ x + 3 − 3 2 x ⎟ dx = 3 + ⎜ x 2 + 3 x − 2 2 x 2 ⎟ =40⎝ 2−2 ⎝ 2⎠⎠⎝⎠0=3+3+6–8=4.Ответ: 4.4.3.С08.а) Пусть x0 — абсцисса точек касания, тогда f ′(x0) = g′(x0).33x0 + 16f ′( x) ==32 x0 + 1933 x + 16⎧3 x0 + 16 = 2 x + 19⇔ x0 = 3;⎩3 x0 + 16 > 0⇔ ⎨, g ′( x) =32 x + 1935; f ′(3) = = g′(3).Касательная для f: y(x) = f ′(3)(x – 3) + f(3);у ( x) =341x+ .55Касательная для g: y(x) = g′(3)(x – 3) + g(3);y ( x) =268366341 366; Ответ: x + ; x +.x+5555 55б) Пусть x0 — абсцисса точек касания, тогда: f ′(x0) = g′(x0);55 x0 − 11=52 x0 + 1f ′(4) = g′(4) =⎧5 x0 − 11 = 2 x0 + 1⇔ x0 = 4;⎩2 x + 1 > 0⇔ ⎨5; f(4) = 6; g(4) = 15.35233525Касательная для g: y(x) = g′(4)(x –4) + g(4); y ( x) = x + .3352525.Ответ: y = x − и y = x +3333Касательная для f: y(x) = f ′(4) (x –4) + f(4); g(x) = x − .4.3.С09.а) f ( x) = 3x − 2 – возрастает, y=8–7x – убывает.Легко угадывается общая точка x=1.f(1)=1 f '( x) =3f '(1) =2 3x − 23232yкас=f(1)+f'(1)(x–1)= 1 + ( x − 1) =Ответ: y =31x−2231x− ;22б) f ( x) = 9 − 8 x – убывает, y=5x–4 – возрастает.x=1 – абсцисса точки пересечения.f(1)=1 f '( x) =−82 9 − 8xf '(1) =−4= −4 .1yкас=1–4(x–1)=–4x+5.Ответ: y=–4x+5.4.3.С10.а) y= 4x+13; f ( x) = 5 4 4 x + 13 .5Первообразная F(x) = (4 x + 13) 4 + C .5Найдем точки пересечения: 4x + 13 = (4 x + 13) 4 + C .Известно, что (–3) — корень, тогда 1 = 1 + C ⇒ C = 0.1Уравнение: 4x + 13 = (4x + 13) (4 x + 13) 4 ⇔1⇔ (4x + 13) ( (4 x + 13) 4 –1) = 0;13⎡1313⎡⎡⎢x = − 4x=−x=−13⇔ ⎢⇔ ⎢44 ; Ответ: –3 и − .⎢⎢⎢14⎢⎢⎣ 4 x + 13 = 1⎢⎣ x = −3⎢⎣ (4 x + 13) 4 = 1269б) g = 2x –7; f(x) = 3 2 x − 7 .3Первообразная F ( x) = (2 x − 7) 2 + C .3Найдем точки пересечения: 2x–7 = (2 x − 7) 2 + C .Известно, что 4 — корень: 1 = 1 + C ⇒ C = 0.3Уравнение: 2x – 7 = (2 x − 7) 2 ⇔ (2 x − 7)( 2 x − 7 − 1) = 0 ⇔7⎧⎧⎪2 x − 7 = 07⎪x =⇔ ⎨2 ; Ответ: 4 и .2⎪⎩ 2 x − 7 = 1⎪⎩ x = 4⇔ ⎨4.3.С11.а) y = − 100 − x 2 .y′( x) =2x2 100 − x2=x100 − x2; y′(6) =6 3= ; y(6) = –8.8 4Уравнение касательной: g(x) = y′(6)(x – 6) + y(6);39325.x − −8 = x −4242325.Ответ: g ( x) = x −42g ( x) =б) y = − 225 − x 2 .
y′( x) =x225 − x 2; y(9) = –12, y′(9) =9 3= .12 4Уравнение касательной: g(x) = y′(9)(x – 9) + y(9);g ( x) =927375375. Ответ: g ( x) = x − .x−− 12 = x −12444444.3.С12.а) f ( x) =f ′(−1) =334 x + 7 . f ′( x) =4233(4x + 7)−1⋅4 =34x + 7;⎛π⎞= tg ⎜ ⎟ .⎝3⎠В треугольнике (из условия) один угол прямой, второй —ππ, третий — .36π π π; ; .2 3 6211⎛π⎞б) f ( x) =; f ′(1) == tg ⎜ ⎟ .5 x − 2 . f ′( x) =55x − 23⎝6⎠ππВ треугольнике один угол прямой, второй равен , третий — .63π π πОтвет: ; ; .2 6 3Ответ:Уровень D.2704.3.D01.
а) f(x) = x2 + (x – 2)0,8. F ( x) =x3 ( x − 2)1,8++C ;31,8f(x) — производная F(x) — всегда положительна ⇒F(x) = 0 имеет не более одного корня, т.к. F возрастает.x = 6 — корень (из условия). Ответ: 6.б) f(x) = x8 + (x + 4)0,1. f(x) — производная F(x) — всегда положительна ⇒F(x) = 0 имеет не более 1 корня, т.к. F возрастает.x = –3 — корень (из условия). Ответ: –3.4.3.D02. а) f(x) = x2 + 3x − 2 .f ′(x) = 2x +32 3x − 2;f ′(1) = 3,5 — угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона).Тангенс угла наклона прямой есть:12⎛π⎞tg ⎜ + arctg3,5 ⎟ = –ctg(arctg3,5) = −=− .tg(arctg3,5)7⎝2⎠Эта прямая проходит через (1; f(1)) = (1; 2).2727272727Ее уравнение: y = − ( x − 1) + 2 = − x + 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
