shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ответ: –35.34.1. С08. а) f(х)=5х2+20.f /(х)=10х.Пусть х0 — точка касания. Касательная, проходящая через начало координат, имеет вид у= f/(х0)х и в точке х0 принимает значение f(х0). Имеем:5 x02 + 20 = 10 x0 x0 ⇒ x0 = ±2 . Ответ: у=-20х, у=20х.б) f(х)=2х2+32.231f/(х)=4х.Пусть х0 — точка касания (абсцисса ее).
Касательная, проходящая черезначало координат имеет вид у=f/(х0)ּ х, и в т х0 равна f(х0) Имеем:2 х02 + 32 = 4 х02 ⇔ х0 = ±4 . Ответ: у=-16х, у=16х.4.1. С09. а) у(х)=х3-8х2+8х+8.у/(х)=3х2-16х+8.По условию у(х0)=у/(х0), где х0 — искомая абсцисса:х03 − 8 х02 + 8 х0 + 8 = 3х02 − 16 х0 + 8 ; х0 ( х02 − 11х0 + 24 ) = 0 ;⎡ х0 = 0Откуда ⎢⎢ х0 = 8 .
Ответ: 0; 8; 3.⎢⎣ х0 = 3б) у(х)=х3+11х2+29х+29.у/(х)=3х2+22х+29.По условию у(х0)=у/(х0), где х0 — абсцисса точки касания. Имеем:х03 + 11х02 + 29 х0 + 29 = 3х02 + 22 х0 + 29 ; х0 х02 + 8 х0 + 7 = 0 ;()⎡ х0 = 0Откуда ⎢⎢ х0 = −1 . Ответ: 0; –1; –7.⎢⎣ х0 = −716 х 3− 12 х 2 + 14 х + 1 .3f / ( х) = 16 х 2 − 24 х + 14 . Наименьшее значение f/(х) достигает в точкеb24 3−== (т.к. это парабола).2а 32 4⎛3⎞f / ⎜ ⎟ = 9 − 18 + 14 = 5 .⎝4⎠4.1. С10. а) f ( х) =Известно, что f/(х) — tg угла наклона касательной в точке х0. tg — возрастающая функция, значит минимум угла в той же точке, где и минимум tg.minα=arctg(mintg)=arctg(minf/)=arctg5.
Ответ: arctg5.б) f ( х) =4 х3− 12 х 2 + 40 х − 7 .3f/(х)=4х2-24х+40 достигает минимума в точке −b 24= = 3 (т.к. это парабола).2а 8f/(3)=36-72+40=4. Тогда минимальный угол — arctg4. Ответ: arctg4.4.1. С11.а) x(t)=3t2+4t+2. v(t)=x/(t)=6t+4; 6t+4=16⇔t=2.Путь S=x(2)-x(0)=12+8+2-2=20. Ответ: 20.б) x(t)=4t2+7t+1. v(t)=x/(t)=8t+7. 8t+7=15⇔t=1.Путь S= x(1)-x(0)=4+7+1-1=11. Ответ: 11.4.1. С12. а) y=(x–1,5)2+1,75 y'=2(x–1,5)Уравнение касательной в точке с абсциссойx=2, y=f(x0)+f'(x0)(x–x0)=x23222002тогда S = ∫ ( x 2 − 3x + 4)dx − ∫ xdx =22x33x 2x22−+ 4x 0 −=3 02 02 088= −6+8− 2 = ;33б) y=(x–2,5)2+2,75=x2–5x+9y'=2x–5Уравнение касательной в точке с абсциссойx=3, y=f(x0)+f'(x0)(x–x0)=x33003тогда S = ∫ ( x 2 − 5 x + 9)dx − ∫ xdx =33x35x2x23−+ 9x 0 −=3 02 02 0459= 9 − + 27 − = 9 .22Уровень D.3⎪⎧( x − 1) , x ≥ 0.3⎪⎩−( x + 1) , x ≤ 04.1.
D01. а) y=(|x|–1)3, можно считать, что y = ⎨Уравнение касательной в точке с абсциссой 1,53⎛13⎞3y=f(x0)+f'(x0)(x–x0)= + ⎜ x − ⎟ = x − 18 4⎝2⎠ 4где y'=3(x–1)2.Касательная пересекает график в точке c абсциссой 0.⎛4⎞Касательная пересекает ось x в точке ⎜ , 0 ⎟ а функция (1, 0).⎝3 ⎠3243213⎛ 33⎛3⎞⎞Тогда S = ∫ ( x − 1) dx − ∫ ⎜ x − 1⎟ dx + ∫ ( x − 1) dx − ∫ ⎜ x − 1⎟ dx =4⎝ 4100⎝ 4⎠⎠333232x4⎛3⎞= ∫ ( x − 1) dx − ∫ ⎜ x − 1⎟ dx =400⎝ 4⎠=312333 2− x 2 + x 02 =80−11 1 27 3 27− −+ =;64 4 32 2 64⎧⎪( x − 2)3 , x ≥ 03⎪⎩−( x + 2) , x ≤ 0б) y=(|x|–2)3, можно считать, что y = ⎨при x≥0, y'=3(x–2)2.Уравнение касательной в точке с x=3y=1+3(x–3)=3x–7Касательная пересекает график в точке c абсциссой 0.Аналогично а) получим, что3300S = ∫ ( x − 2)3 dx − ∫ (3x − 4)dx =x4413−−212753 153x 23+ 7 x 0 = − 4 − + 21 = 17 −=.42442 02334.1.
D02. а) f(х)=(5х-7)2.f/(х)=10(5х-7).Первообразная у ( х) = ∫ f ( х) =⎛7⎞f/⎜ ⎟=⎝5⎠( 5 х − 7 )3 + С . Известно, что15(15 − х ) .⎛7⎞у ⎜ ⎟ , 0=С. То есть, у ( х) =15⎝5⎠Приравняем f/(х) и у(х):3( 5 х − 7 )315⎛ ( 5 х − 7 )2⎞= 10 ( 5 х − 7 ) ⇔ ( 5 х − 7 ) ⎜− 10 ⎟ = 0 ⇔⎜ 15⎟⎝⎠⎡ 7⎡ 7⎢х = 5х=⎢. Это абсциссы всех трех точек пересечения.⇔⎢ 5⇔⎢⎢2⎢⎣( 5х − 7) = 150 ⎢х = ± 150 + 75⎣Ответ:7 + 150 7 − 150;.55б) f/(х)=(2х-5)2.f/(х)=4(2х-5).Первообразная у = ∫ f ( х) =у=( 2 х − 5 )3 + С . Знаем, что6⎛5⎞⎛5⎞у⎜ ⎟ = f / ⎜ ⎟ ⇔ С = 0 .⎝2⎠⎝2⎠( 2 х − 5)3 . Найдем все точки пересечения6( 2 х − 5)⎛ ⎛ 2 х − 5 ⎞2⎞= 4 ( 2 х − 5) ⇔ ( 2 х − 5) ⎜ ⎜− 4⎟ = 0 ⇔⎟⎜⎝ 6 ⎠⎟6⎝⎠5⎡⎡ 5⎢х = 2⎢х =. Это абсциссы всех трех точек пересечения.⇔⎢ 2⇔⎢⎢⎢⎣( 2х − 5)2 = 24 ⎢ х = ±2 6 + 5⎣2Ответ:35+ 2 6 5−2 6;.224.1.
D03. а) f(х)=х2+16х+67.Первообразная у ( х) = ∫ f ( х) =х3+ 8 х 2 + 67 x + С .3f(х) не имеет нулей, значит у(х) — экстремумов. То есть максимум и минимум достигается на концах отрезка.5842+ С = −24 ⇒ С = 170 ;331252= у (−5) = −+ 25 ⋅ 8 − 67 ⋅ 5 + 170 = −6 .33уmin = у (−8) = −уmaxОтвет: –6.234б) f(х)=х2+10х+28.Первообразная у ( х) = ∫ f ( х) =х3+ 5 х 2 + 28 х + С .3f(х) не имеет нулей ⇒ максимум и минимум у(х) достигается на концахотрезка.125125+ 125 − 140 + С = −15 ⇒ С =;338125= у (−2) = − + 20 − 56 +=3.33уmin = у (−5) = −уmaxОтвет: 3.4.1.
D04.а) Условие задачи переписывается в виде у=15х.Тогда 15х=25х2-15х+9=f(х);3— точка, удовлетворяющая условию.53f/(х)=50х-15. Уравнение касательной в точке х = :53⎞⎛ 3⎞⎛ 3 ⎞⎛⎛3⎞⎛ 3⎞у − f ⎜ ⎟ = f / ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ ; f ⎜ ⎟ = 9 f / ⎜ ⎟ = 15 ;5⎠⎝5⎠⎝5⎠⎝5⎠⎝ 5 ⎠⎝25х2-30х+9=0⇔ х =Искомое уравнение у=15х.
Ответ: y = 15x.2⎪⎧ у = f ( х ) = 49 х − 14 х + 4;⎪⎩ у = 14 хб) Условие запишем в виде ⎨2 /. f (х)=98х-14;72уравнение касательной в точке х = :72⎞⎛2⎞⎛ 2 ⎞⎛⎛2⎞⎛2⎞у − f ⎜ ⎟ = f / ⎜ ⎟⎜ х − ⎟ ; f ⎜ ⎟ = 4 ; f / ⎜ ⎟ = 14 .7⎠⎝7⎠⎝ 7 ⎠⎝⎝7⎠⎝7⎠14х=49х2-14х+4⇔ х =Искомое уравнение у=14х.Ответ: y = 14x.4.1.
D05.а) f(х)=х2-9х+2.По условию, треугольники равнобедренные, значит, угловой коэффициенткасательной 1 или –1.f/(х)=2х-9. Пусть f/(х)=1 ⇒ х=5. Касательная у+18=х-5 ⇒ у=х-23.Площадь треугольника232 529; Пусть f/(х)=-1 ⇒ х=4.=22Касательная у+18=-х+4⇒у=–х–14.Площадь треугольникаОтвет: 98 или142= 98 .2529.2235б) f(х)=х2+5х-1. f/(х)=2х+5; Пусть f/(х)=1 ⇒ х=-2.Касательная у+7=х+2 ⇒у=х-5. Площадь треугольника52 25.=22Пусть f/(х)=-1 ⇒ х=-3.
Касательная у+7=-х-3⇒у=-х-10.Площадь треугольника10225или 50.= 50 . Ответ:224.1. D06.а) f ( х) =х3+ х2 + 4 х − 3 .3f/(х)=х2+2х+4 — тангенс угла наклона.Минимум f/(х) в точке −b= −1 ; f/(-1)=3.2а2313Уравнение касательной у-f(-1)=3(х+1)⇒ у = 3х + 2 ; f (−1) = −6 .Ответ: y = 3x −10.3х3− 3х 2 + 11х + 1 . f/(х)=х2-6х+11 — тангенс угла наклона.3bМинимум f/(х) (а следовательно, и угла наклона) в точке − = 3 ;2аб) f ( х) =f/(3)=2. Уравнение касательной: у-f(3)=2(х-3); f(3)=16.Ответ: у=2х+10.4.1. D07.а) f(х)=х2+5х+1.Первообразная: у1 ( х ) = ∫ f ( х ) =х3 5 х 2++ х+С ;32у=х+2 — касательная, угловой коэффициент 1.Значит, f(х0)=1, где х0 — точка касания; х02 + 5 х0 = 0 ⇒ х0=0 или х0=-5;При х0=0 у1(0)=у(0) ⇔ С=2.При х0=–5 у1(–5)=y(–5) ⇔ −Ответ:125 1255+− 5 + С = −3 ; С = 22 .326х3 5 х 2х3 5 х 25++х+2 ;++ х + 22 .32326б) f(х)=х2-5х+5.Первообразная: у1 ( х ) = ∫ f ( х ) =х3 5 х 2−+ 5 х +С ;32у=5х-3 — касательная, угловой коэффициент 5.Значит, f(х0)=5, где х0 — точка касания;х02 − 5 х0 = 0 ⇔ х0=0 или х0=5.При х0=0 у1(0)=у(0) ⇔ С=-3.236125 1255−+ 25 + С = 22 ; С = 17326х3 5 х 2х3 5 х 25Ответ:−+ 5х − 3 ;−+ 5 х + 17 .32326При х0=5 у1(5)=у(5) ⇔4.1.
D08. а) f(х)=-5-2х.F(х)= ∫ f ( х) = −5 х − х 2 + С ; -5х-х2 + C ≥ 3 может выполняться только приодном значении х если дискриминант уравнения х2+5х+(3-С)=0 нулевой.D=25-12+4С=0⇒С= −1313. Ответ: F(х)=-х2-5х- .44б) f(х) = 4-х.F(х)= ∫ f ( х) = 4х −Дискриминантх2х2+ С ; 4х − + С ≥ 7 — при одном значении х.22х2− 4 х + 7 − С должен быть нулевой.2х2D7 С= 4 − + = 0 ⇒ С = –1.
Ответ: F(х)= 4 х − − 1 .42 224.1. D09. а) f(х)=х3-8х+9.f/(х)=3х2-8 Уравнение касательной в точке 2:у-f(2)=f/(2)(х-2); f(2)=1; f/(2)=4;у-1=4х-8 ⇔ у=4х-7.Найдем общие точки: х3-8х+9=4х-7; х3-12х+16=0;(х-2)(х2+2х-8)=0 ⇔ х=2; х=-4; х=2.Точка х=-4 не является точкой касания, так как f/(-4)≠4 — угловой коэффициент. Ответ: (2; 1); (–4; –23), не являются.б) f(х)=х3+5х+6.f/(х)=3х2+5.
Уравнение касательной в точке 1:у-f(1)=f/(1)(х-1); f(1)=12; f/(1)=8; у=8х+4.Найдем общие точки: х3+5х+6=8х+4х3-3х+2=0; (х-1)(х2+х-2)=0; (х-1)2(х+2)=0 ⇒ х=1, х=-2.Точка х=-2 не является точкой касания, т.к. f/(-2) ≠8.Ответ: (1; 12) ; (–2; –12); не являются.4.1.D10. а) f(х)= -х3-6х2+3.f/(х)=-3х2-12х — достигает максимума при х = −b=-2. f/(-2)=12.2аУравнение касательной: у- f(-2)=12(х+2); f(-2)=-13;у=12х+11 — искомое уравнение. Ответ: 12x + 11.б) f(х)= -х3+3х2-5. f/(х)=-3х2+6х — достигает максимума при х = −f(1)=-3 f/(1)=3; Уравнение касательной у+3=3(х-1)у=3х-6 — искомое уравнение. Ответ: 3x – 6.4.1.
D11.а) f ( х) =8=1.294 2х − 26 .3237Первообразная F ( х) = ∫ f ( х) =4 3х − 26 х + С .9По условию, у графика F(х) ровно 2 точки пересечения с у=х.х=4 344х − 26 х + С ⇔ х 3 − 27 х + С = 0 . Обозначим g(x) = − x3 + 27 x = C .999Чтобы было 2 решения, необходимо, чтобы одно из них было нулем g′(х);43g′(x) = − x 2 + 27 .499− x 2 + 27 = 0 ; x1 = , x2 = − . C1 = g(x1) = 81; C2 = g(x2) = –81.3224 34 3Ответ: x − 26 x − 81 ; x − 26 x + 81 .993 2х3б) f ( х) = х − 11 .
Первообразная F ( х) = ∫ f ( х) = − 11х + С .44У графика F(х) ровно 2 точки пересечения с у=х.х=х3− x3− 11х + С ; обозначим g(x) =+ 12 x = C . Необходимо, чтобы 1 из44решений было нулем g′(х);3434g′(x) = − x 2 + 12 : − x 2 + 12 = 0 ; x1 = 4, x2 = –4.C1 = g(x1) = 32; C2 = g(x2) = –32. Ответ: F ( x) =x3x3− 11x + 32 ;− 11x − 32 .444.1. D12.
а) f(х)=(х+1)(х-4)5.F(х) — первообразная. F(х) — многочлен 7-й степени. Его корень х=4 является корнем кратности 5 для его производной f(х). Следовательно, это корень кратности не ниже 6 для самой F(х). То есть F(х) имеет видF(х)=b(х-4)6(х-а).Найдем F/(х)=b(х-4)6+6b(х-4)5(х-а)=(х-4)5⋅b⋅(х-4+6х-6а)==(х-4)5(7bх-b(6а+4)).Сравнивая с f(х), получаем, что b =111, а=− .76а — нуль F(х), единственный, отличный от 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
