shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В01. а) log4(х2+х+10)≤2;х2+х+10≤16;х2+х-6≤0;D=1+4⋅6=25; х =х2+х+10>0;D=1-4⋅10<0;−1 ± 5; х1=-3; х2=2. Ответ: [-3; 2].2б) log2(х2+4х+11)≤3; х2+4х+11≤8; х2+4х+3≤0; D=16-4⋅3=4;−4 ± 2; х1=-3, х2=-1. Ответ: [-3; -1].2⎧х > 03.6. В02. а) log4х+log4(x-12)≥3; ОДЗ: ⎨⇒ х > 12 ;⎩ х − 12 > 0х=log4(х(х-12))≥3; х2-12х≥64; х2-12х-64≥0; D=144+4⋅64=202;12 ± 20; х1=-4, х2=16. Ответ: [16; +∞).2⎧x > 0б) log3х+log3(х-24)≥4; ОДЗ: ⎨; х>24; log3(х(х-24))≥4; х2-24х-81≥0;⎩ x − 24 > 0х=D=242+4⋅81=302; х =24 ± 30; х1=27, х2=-6. Ответ: х∈[27; +∞).22072⎧⎧⎪log 2 ( 3х + 4 ) ≥ 1 ⎧3х + 4 ≥ 2 ⎧3 х ≥ −2 ⎪ х ≥ −; ⎨; ⎨; ⎨3.⎪⎩24 − 3 х ≥ 0⎩−3 х ≥ −24 ⎩ х ≤ 8⎪х ≤ 8⎩3.6. В03. а) ⎨⎡ 2⎣⎤⎦Ответ: ⎢ − ; 8⎥ .3⎧⎪log 3 ( 5 х − 1) ≥ 21 ⎧5 х − 1 ≥ 9 ⎧5 х ≥ 10 ⎧ х ≥ 2; ОДЗ: 5x –1 > 0; x > ; ⎨; ⎨; ⎨.5 ⎩−5 х ≥ −25 ⎩ х ≤ 5⎪⎩25 − 5 х ≥ 0⎩х ≤ 5б) ⎨Ответ: [2; 5].⎡ х > 64⎡ log х > 33.6.
В04. а) log 24 х > 9 ; ⎢ 4; ⎢1 , Ответ:⎣ log 4 х < −3 ⎢ 0 < х <⎢⎣64⎡x > 9⎡ log x > 2; ⎢б). log32 х > 4 ; ⎢ 31 . Ответ:⎣ log 3 x < −2 ⎢ 0 < x <⎢⎣91⎞⎛⎜ 0; ⎟ ∪ ( 9 +∞ ) .9⎠⎝3.6. В05. а) log 1 ( 7 х − 4 ) ≥ −1 ; ОДЗ: 7х-4>0; x >27х-4≤2; 7х≤6; х ≤1 ⎞⎛⎜ 0;⎟ ∪ ( 64; +∞ ) .64 ⎠⎝4;76⎛ 4 6⎤. Ответ: ⎜ ; ⎥ .7⎝ 7 7⎦б) log 1 ( 2 х + 5 ) ≥ −2 ; ОДЗ: 2x + 5 > 0; x > – 2,5;22x + 5 ≤ 16: x ≤ 5,5. Ответ: (–2,5; 5,5].3.6. В06. а) log224х+1≤2; 4х≤1; х≤б) log33( 4 x + 1) ≥ −2 ; ОДЗ: 4x + 1 > 0;x>−1;41⎛ 1 1⎤. Ответ: ⎜ − ; ⎥ .4⎝ 4 4⎦( 5 х + 2 ) ≥ −2 ; ОДЗ: 5x + 2 > 0;⎛ 2⎝ 5155х+2≤3; 5х≤1; х≤ . Ответ: ⎜ − ;x>−2;51⎤.5 ⎦⎥3.6.
В07. а) log 1 ( 5 х − 4 ) ≥ log 5 5 ; ОДЗ: 5x – 4 > 0; x >6log 1 ( 5 х − 4 ) ≥ 2 ; 5 х − 4 ≤6б). log 1 ( 4 х + 1) ≥ log2log 1 ( 4 х + 1) ≥ 2 ; 4х+1≤52081129⎛ 4 29 ⎤; 5х ≤ + 4 ; х ≤. Ответ: ⎜ ;⎥363636⎝ 5 36 ⎦2 ; ОДЗ: 4x + 1 > 0; x > −54;51;41246; 4 х ≤ − ; х ≤ − . Ответ:2525256⎤⎛ 1⎜ − ;− ⎥ .⎝ 4 25 ⎦3.6. В08.(⎧⎪ х 2 + 8 х − 12 > 0;⎪⎩4 х + 9 > 0)а) log 2 π х 2 + 8 х − 12 ≥ log 2 π ( 4 x + 9 ) ; D(х) ⎨55⎧⎛⎞⎛⎞112 ⎞ ⎛112112; +∞ ⎟⎟ ⇒ х ∈ ⎜⎜ −4 +; +∞ ⎟⎟⎪ х ∈ ⎜⎜ −∞; −4 −⎟⎟ ∪ ⎜⎜ −4 +⎪222⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠;⎨⎪9⎪х > −⎩4х2+8х-12=0; D=64+4⋅12=112; х =D=16+4⋅21=102; х =(−8 ± 112; х2+8х-12≥4х+9; х2+4х-21≥0;2−4 ± 10; х1=-7, х2=3; х∈(-∞; -7]∪[3; ∞). Ответ: [3; ∞).2)б) log 4 π х 2 + 10 х + 18 ≥ log 4 π ( 4 х + 13) ;11112⎪⎧ х + 10 х + 18 > 0;D(х): ⎨⎪⎩4 х + 13 > 0⎧⎛⎞⎛⎞28 ⎞ ⎛2828; +∞ ⎟⎟ ⇒ х ∈ ⎜⎜ −5 +; +∞ ⎟⎟⎪ х ∈ ⎜⎜ −∞; −5 −⎟⎟ ∪ ⎜⎜ −5 +222⎨⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠;⎪⎩ х > −3, 25х2+10х+18=0; D=100-4⋅18=28; х =+-5 -−10 ± 28;2-282+-5 +x282х2+10х+18≥4х+13; х2+6х+5≥0; D=36-4⋅5=16; х =−6 ± 4;2х1=-5, х2=-1.
Ответ: [–1; +∞).3.6. В09.а) log9(-х+83)>2; ОДЗ: –x + 83 > 0; x < 83;-х+83>81; -х>-2; х<2. Ответ: (–∞; 2).б) log2(-х+11)>3; ОДЗ: –x + 11 > 0; x < 11;-х+11>8; -х>-3; х<3.Ответ: (–∞; 3).3.6. В10.⎧9 − 2х> 0 ⎧⎪( 9 − 2 х )( х + 2 ) > 09 − 2х⎪;⎨;< 0 ; ⎨ х+2х+2⎪⎩ х ≠ −2⎪ х ≠ −2⎩9 − 2х9 − 2х − х − 27 − 3х<1;<0;< 0 ; (7-3х)(х+2)<0.х+2х+2х+2а) log 4x ∈ (–2; 4,5);209–+--2б) log 6–x73⎛7⎞Ответ: х ∈ ⎜ ; 4,5 ⎟ .⎝3⎠⎧ 7 − 2х>07 − 2х⎪≤ 0 ; ОДЗ: ⎨ х + 4;х+4⎪ х ≠ −4⎩+–⎧⎪( 7 − 2 х )( х + 4 ) > 0;⎨⎪⎩ х ≠ −4x-47/2х∈(-4; 3,5);7 − 2х7 − 2х7 − 2х − х − 4−3х + 3≤1⇒−1 ≤ 0 ;≤0⇒≤0.х+4х+4х+4х+4–+–x-41Ответ: [1; 3,5).3.6. В11.а) log19(х2-16х+65)≤0; D(х): х2-16х+65>0; D=162-4⋅65<0;х2-16х+65≤1; х2-16х+64≤0; (х-8)2≤0 — имеет единственное решение х=8.Ответ: х=8.б) log 1 x 2 + 14 х + 50 ≥ 0 ; х2+14х+50>0; х2+14х+50≤1; х2+14х+49≤0;()18(х+7)2≤0 — имеет единственное решение х=-7.
Ответ: х=-7.3.6. В12.а) log6(х+8)≥log8-х(8-х); log6(х+8)≥1;⎧x + 8 > 0⎧−8 < x < 8⎪; х+8≥6; х≥-2. Ответ: x ∈ [–2; 7) ∪ (7; 8).⎨8 − x > 0 ; ⎨⎪8 − x ≠ 1 ⎩ x ≠ 7⎩б) log4(х+8)>log3-х(3-х); log4(х+8)>1;⎧x + 8 > 0⎧−8 < x < 3⎪D(x): ⎨3 − x > 0 ; ⎨; х+8>4; х>–4.Ответ: x ∈ (–4; 2) ∪ (2; 3).⎪3 − x ≠ 1 ⎩ x ≠ 2⎩Уровень С.11≤;3.6. С01. а) 1+log х −1 4 log х + 8 4⎧1 + log 4 ( x − 1) − log 4 ( x + 8) ≤ 0⎪;⎨x −1 ≠ 1⎪x + 8 ≠ 1⎩210⎧4 x − 4 ≤ x + 8⎪⎧log 4 (4 x − 4) ≤ log 4 ( x + 8) ⎪ x ≠ 2⎪⎪; ⎨ x ≠ −7;⎨x ≠ 2⎪ x ≠ −7⎪4 x − 4 > 0⎩⎪⎪⎩ x + 8 > 0⎧x ≤ 4⎪⎨ x ≠ 2 . Ответ: (1; 2) ∪ (2; 4].⎪x > 1⎩б) 1+11≤;log х +1 3 log х + 23 3⎧1 + log 3 ( x + 1) ≤ log 3 ( x + 23)⎪;⎨x +1 ≠ 1⎪ x + 23 ≠ 1⎩⎧log3 (3x + 3) ≤ log3 ( x + 23)⎪;⎨x ≠ 0⎪ x ≠ −22⎩⎧3x + 3 ≤ x + 23⎪x ≠ 0⎪⎪;⎨ x ≠ −22⎪3x + 3 > 0⎪⎪⎩ x + 23 > 0⎧ x ≤ 10⎪⎨x ≠ 0 .⎪ x > −1⎩Ответ: (–1; 0) ∪ (0; 10].3.6. С02.
а)+( x − 1)( x + 5)х2 + 4х − 5≥0;≥ 0 ; x + 2 > 0; x > –2.lg( х + 2)lg( x + 2)––2–1+x1Так что x ∈ (–2; –1) ∪ [1; +∞).2х + х − 20≤ 0 ; x + 4 > 0, x > –4.б)ln ( х + 4 )( x − 4)( x + 5)≤0;ln( x + 4)+––4–3+4xx ∈ (–3; 4].3.6. С03.а) log 13х+4≥0;х−9D(х):х+4> 0 ; (х+4)(х-9)>0; х∈(–∞; –4)∪(9; +∞);х−9х+4х+4х+4− х+9≤1;−1 ≤ 0 ;≤0;х−9х−9х−913Ответ: x ∈ (–∞; –4).< 0 ; х-9<0; х<9.х−9х+2х+2б) log 1≤ 0 ; D(х):>0; (х+2)(х+9)>0; х∈(-∞; -9)∪(-2; +∞).х+9х+92х+2х+2х+ 2− х−9−7≥1;−1 ≥ 0 ;≥0;≥0;х+9х+9х+9х+9х+9<0; х<-9.Ответ: (–∞; –9).2≥ 1 . x > 0;3.6.С04. а)log 2 x + 122 − log 2 2 x≥1;≥0;log 2 2xlog 2 2 x2110 < log22x ≤ 2; 1 < 2x ≤ 4;б)1⎛1 ⎤< x ≤ 2.
Ответ: x ∈ ⎜ ; 2 ⎥ .2⎝2 ⎦66≤1 .≤ 1 , x > 0;log 3 x + 3log 3 27xlog 3 27 x − 6≥0;log 3 27 x⎛⎝Ответ: x ∈ ⎜ 0;1⎡⎡ log 3 27 x < 0 ⎡ 27 x < 1⎢ x < 27 .; ⎢;⎢2⎢⎣ log 3 27 x ≥ 6 ⎣ 27 x ≥ 27⎢⎣ x ≥ 271 ⎞⎟ ∪ [27; +∞) .27 ⎠3.6. С05. а) log5(x+13)<log5(x+3)+log5(x-5).⎧ x + 13 > 0⎪D(x): ⎨ x + 3 > 0 ⇒ x > 5;⎪x − 5 > 0⎩x + 13 < x2 – 2x –15; x2 – 3x – 28 > 0; (x – 7)(x + 4) > 0;+–+x–457Так что x > 7. Ответ: x ∈ (7; +∞).б) log4(x + 7) < log4(1 –x) + lod4(8 – x).⎧ x + 7 > 0 ⎧ x > −7⎪⎪⎨1 − x > 0 ; ⎨ x < 1 ; –7 < x < 1;⎪8 − x > 0 ⎪ x < 8⎩⎩log4(x + 7) < log4(1 – x)(8 –x); x + 7 < (1 – x)(8 – x);8 – 9x + x2 – x – 7 > 0; x2 – 10x + 1 > 0; D = 100 – 4 = 96 = 16 ⋅ 6;⎧⎡ x > 5 + 2 6⎪⎢10 ± 4 6x== 5 ± 2 6 ; ⎨ ⎢⎣ x < 5 − 2 6 ; –7 < x< 5 – 2 6 , так как 5 − 2 6 < 1 .2⎪⎩−7 < x < 1Ответ: x ∈ (–7; 5 – 2 6 ).3.6.С06.1.5⎧x − 2 > 0 ⎧x > 21log0,2(x – 2) < log0,2 ⋅ (4 – x); ⎨; ⎨; 2 < x < 4;5⎩4 − x > 0 ⎩ x < 4а) log0,2(x – 2) – log0,2(4 – x) < log0,211⎛ 1⎞x – 2 > (4 – x); 5x – 10 > 4 – x; 6x > 14; x > 2 .
Ответ: x ∈ ⎜ 2 ; 4 ⎟ .53⎝ 3 ⎠б) log0,5(x + 5) – log0,5(3 – x) > log0,51⎛1⎞. log 1 (x + 5) > log0,5 ⎜ (3 − x) ⎟ ;22⎝⎠2⎧ x + 5 > 0 ⎧ x > −51; ⎨; –5 < x < 3; x + 5 > (3 – x); 2x + 10 < 3 – x;⎨2⎩3 − x > 0 ⎩ x < 3212⎛⎝11⎞3x < –7; x > −2 . Ответ: x ∈ ⎜ −5; −2 ⎟ .333.6.С07. а)(lg 5 х 2 − 7 х + 3lg х⎠) >2.ОДЗ: 5х2-7х+3>0; х>0, х≠1. 5х2-7х+3=0; D=49-4⋅5⋅3<0;при х>1: lg(5х2-7х+3)>2lgх; 5х2-7х+3>х2; 4х2-7х+3>0; D=49-48=1;х1,2 =7 ±13; х1=1, х2= .84–++x134вместе с ОДЗ: х>1;при 0<x<1: lg(5x2–7x+3)<2 lgх; 5х2–7х+3<х2; 4x2–7x+3<0;–++⎛3x∈⎜ ;⎝4x134⎞1⎟ .⎠⎛3⎝43.6.
С07. б)⎞⎠Ответ: x ∈ ⎜ ; 1⎟ ∪ (1; +∞).Объединим ответы.(lg 8 х 2 − 11x + 4lg х) < 2 . ОДЗ: 8х2-11х+4>0; х>0, х≠1.D=121-128=-7<0⇒ОДЗ: х>0, х≠1;при х>1: lg(8х2-11х+4)<lgх2; 7х2-11х+4<0; D=121-112=9;х1,2 =11 ± 34; x1 = 1, x2 = .147–+47+при x < 1: 7х2-11х+4>0;–+47вместе с ОДЗ: 0<х<x11Нет решений (так как х>1);+x44⎞⎛; Ответ: х∈ ⎜ 0; ⎟ .7⎠7⎝213⎛ 1⎞⎛ х⎞3.6.
С08. а) log8 ⎜1 − ⎟ + log 1 ⎜ 1 − ⎟ ≤ 1 .х6⎠⎝⎠8⎝⎧ 1⎪⎪1 − > 0ОДЗ: ⎨ х;⎪1 − х > 0⎪⎩ 6⎧1⎪ <1;⎨х⎪х < 6⎩⎧⎡ х > 1⎡1 < x < 6⎪⎢.⎨⎣ х < 0 ; ⎢⎣x < 0⎪х < 6⎩11−⎛ 1⎞⎛ х⎞х ≤ 8 (т.к. 8>1);log8 ⎜ 1 − ⎟ + log 1 ⎜ 1 − ⎟ ≤ 1 ;х6⎠⎝ х⎠8⎝1−61−х18х 4 х 14 x 2 − 21x − 3> 0 ⇒ 1− ≤ 8 −;− −7 ≤ 0 ;≤0;х663 х3x4х2-21х-3≥0, D = 441 + 48 = 489,х1,2 =21 ± 489.8––+21 −0489+21 +489x88⎧21 − 489⎪х ≤⎪8Учитывая ОДЗ, получаем: ⎨.⎪ 21 + 489≤х<6⎪⎩8⎛Ответ: x ∈ ⎜⎜ −∞;⎞21 − 489 ⎤ ⎡ 21 + 489; 6⎟ .⎥∪⎢⎟88⎦⎥ ⎣⎢⎠⎝⎛ 2⎞⎛ х⎞б) log3 ⎜1 − ⎟ + log 1 ⎜ 1 − ⎟ ≥ 1 .х4⎠⎝⎠3⎝⎧ 2⎪⎪1 − > 0ОДЗ: ⎨ х;⎪1 − х > 0⎪⎩ 4⎧2⎪ <1;⎨х⎪х < 4⎩⎧⎡ х < 0⎡х < 0⎪⎢;⎨⎣ х > 2 ; ⎢⎣2 < х < 4⎪х < 4⎩21−⎛ 2⎞⎛ х⎞х ≥ 3 ; 1 − 2 ≥ 3 − 3х ; 3х − 2 − 2 ≥ 0 ;log3 ⎜ 1 − ⎟ − log3 ⎜1 − ⎟ ≥ 1 ;хх44 х⎝ х⎠⎝ 4⎠1−414 ± 2 10.3х 2 − 8 х − 8 ≥ 0 ; 3x2 – 8x – 8 = 0; D = 64 + 96 = 160; x1,2 =4х3(–)–+4 − 2 1032140+4 + 2 103x⎞⎡ 4 − 2 10⎞ ⎡ 4 + 2 10; 0⎟ ∪ ⎢; 4⎟ .⎟⎟33⎢⎣⎠ ⎣⎢⎠С учетом ОДЗ: x ∈ ⎢⎞⎡ 4 − 2 10⎞ ⎡ 4 + 2 10; 0⎟ ∪ ⎢; 4⎟ .⎟⎟33⎢⎣⎠ ⎣⎢⎠Ответ: x ∈ ⎢3.6.
С09.а) logх+1(11х2+8х-3)>2.logх+1(11х2+8х-3)> logх+1(х+1)2;ОДЗ: х+1>0; х+1≠1; 11х2+8х-3>0;D= 16 + 33 = 49 ;4−4 ± 73; x1 = –1, x2 = .х1,2 =1111++1–x311⎧⎪ х > −1⎪⎪3⇒х> .⎨х ≠ 011⎪⎪ х ∈ ( −∞, −1) ∪ ⎛⎜ 3 ; +∞ ⎞⎟⎪⎩⎝ 11⎠Исходя из ОДЗ: x + 1 > 1, так что 11x2 + 8x – 3 > (x + 1)2; 10x2 + 6x – 4 > 0;5x2 + 3x – 2 > 0; (5x – 2)(x + 1) > 0; 5x – 2 > 0; x >б) logх+2(7х2+11х-6)<2. ОДЗ: х+2>0; х+2≠1;7х2+11х-6>0; D=121+168=289; х1,2 =22. Ответ: x > .55−11 ± 173; x1 = , x2 = –2.147++-2-37x⎧⎪ х > −2⎪⎪⎛3⎞⇒ x ∈ ⎜ ; +∞ ⎟ .⎨ х ≠ −1⎝7⎠⎪⎪ х ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ⎛⎜ 3 ; +∞ ⎞⎟⎪⎩⎝7⎠Исходя из ОДЗ: x + 2 > 1, так что7x2 + 11x – 6 < (x + 2)2; 6x2 + 7x – 10 < 0; D = 49 + 240 = 172;x1,2 =5⎞−7 ± 175⎛⎛3 5⎞; x1 = , x2 = –2.
x ∈ ⎜ −2; ⎟ . Ответ: x ∈ ⎜ ; ⎟ .6⎠126⎝⎝7 6⎠215⎛⎞3.6. С10. а) ⎜ log 1 7 − log 1 7 ⎟ log3 ( х − 15 ) > 0 .⎜⎟⎝4log 1 7 − log 1 7 =4331log 714⎠1−log 713=114log 7 − log 7log 734 =3>0;1111log 7 log 7log 7 log 74343Так что log3(x – 15) > 0; x – 15 > 1; x > 16.Ответ: x ∈ (16; +∞).⎛⎞б) ⎜ log `1 6 − log 1 6 ⎟ log3 ( х + 12 ) < 0 .⎜⎟⎝87⎠118log 6− log 6787−==>0;log 1 6 − log 1 6 =11111187log 6 log 6log 6 log 6log 6log 67878871log 61Так что log3(x + 12) < 0; 0 < x + 12 < 1; –12 < x < –11.Ответ: x ∈ (–12; –11).3.6.
С11. а) (8-х)(х+4)log3(х-1)≤0. ОДЗ: х-1>0; x > 1.1) log3(х-1)≥0; х-1≥1; х≥2; (8-х)(х+4)≤0;-+-4получаем х≥8;2) при log3(х-1)≤0; х-1≤1;-x8х≤2; тогда (8-х)(х+4) ≥0-+-4x8получаем х∈[-4; 8], вместе с ОДЗ: х∈(1, 2].Ответ: х∈(1, 2]∪[8; +∞)б) ( 5 − х )( х + 8 ) log 1 ( х − 1) ≥ 0 . (5-х)(х+8)log5(х-1)≤0;5ОДЗ: х-1>0; х>1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
