shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ответ: −11.6б) f(х)=(х-2)(х-3)7. F(х) — многочлен 9-й степени. Его корень 3 имеет кратность не ниже 8, т.е. F(х)=b(х-3)8(х-а).F/(х)=b(х-3)8+8b(х-3)7(х-а)=(х-3)7b(х-3+8х-8а)=(х-3)7(9bх-b(8а+3)).Откуда, b =11515, а = — нуль F. Других нулей нет. Ответ:.988§ 2. Рациональные функцииУровень А.4.2. А01. а) x=1, x=e, y =23843xe444dx = ln x = ;331 3x15б) x=1, x=e, y =2xeS=∫e555dx = ln x = .221 2x1eS=∫4.2.А02.а) f ( х) = −f / ( х) =5.4х5.4х2Уравнение касательной: у-f(-4)=f/(-4)(х+4); f / (−4) =5.6455х+ .6484.б) f ( х) =5х4f / ( х) = − 2 .
Уравнение касательной: у=f/(2)(х-2)+f(2);5х21f (2) = ; f / (2) = − .5514Ответ: у = − х + .5524.2. А03. а) f ( х) = 2 .3х4f / ( х) = − 3 .3х11Уравнение касательной: у=f/(2)(х-2)+f(2); f (2) = ; f / (2) = − .6611Ответ: у = − х + .623б) f ( х) = − 2 .4х63/f ( х) = 3 = 3 .4х2х1Уравнение касательной у=f/(-3)(х+3)+f(-3); f (−3) = − ;121.f / (−3) = −1811Ответ: у = − х − .184Ответ: у =239х5 − х 4 + 2 х3 + 2 х 2 − 2 x − 1.х22 1f(x) = x3 – x2 + 2x + 2 – − 2 ;x x2 22f′(x) = 3x – 2x + 2 + 2 + 3 ;xx2 2 949949f′(–3) = 3 ⋅ 9 + 6 + 2 + − =.
Ответ:.9 27 27274.2.А04. а) f ( х) =б) f ( х ) =f/3х 5 + х 4 − 4 х3 − 3х 2 + 4 х − 1.х2х 2 15 х 4 + 4 х3 − 12 х 2 − 6 х + 4 ) − 2 х ( 3х5 + х 4 − 4 х 3 − 3х 2 + 4 х − 1)(х ) = (=4х9 х 6 + 2 х5 − 4 х 4 − 4 х 2 + 2 х 9 х5 + 2 х 4 − 4 х3 − 4 х + 2==;х4х3−9 + 2 + 4 + 4 + 2f / ( −1) == −3 . Ответ: –3.−154.2. А05. а) f ( х) = 6 х − .хПервообразная F(x)= ∫ f ( х) = 3х 2 − 5ln х + С ;F(1)=3+C=-2⇒C=-5.
Ответ: F(x)=3х2-5lnх-5.б) f ( х) = 2 х +1. Первообразная F ( х) = ∫ f ( х) = х 2 + ln х + С ;хF(1)=1+С=-5⇒С=-6. Ответ: F(x)=x2+lnх-6.х + 7 х2 + 6172= 3+ 2+ 4 .4х3х3х 3х172F ( х) = ∫ f ( х) = − 2 − − 3 + С ;6 х 3 х 3х131 7 21316,F (1) = ⇒ − − − + С = ⇒ С =66 3 363172 16172 16F ( x) = − 2 − − 3 + . Ответ: F ( x) = − 2 − − 3 + .336 x 3x 3x6 x 3x 3x4.2. А06. а) f ( х) =4 х + 5х2 + 1411= 3+ 2+ 4.х 5х5х45х2 11F ( х) = ∫ f ( х) = − 2 − −+С ;х 15 х35х721729F (1) =⇒ − −1− + С =⇒С =.1551515152 1129Ответ: F ( х ) = − 2 − −+. Уровень В.3х 15 х 155хб) f ( х) =2404.2.В01.
а) f ( x) =F ( x) = ∫3⎛ 1⎞на промежутке ⎜ − , + ∞ ⎟ .22x + 1⎝⎠33 ⎛1⎞dx = ln ⎜ x + ⎟ + C2x +12 ⎝2⎠т.к. F(0)=7, то3 ⎛1⎞ln ⎜ ⎟ + C = 72 ⎝2⎠32123 ⎛1⎞ 3 13Отсюда F ( x) = ln ⎜ x + ⎟ − ln + 7 = ln(2 x + 1) + 72 ⎝2⎠ 2 22т.е. C = 7 − lnНа области определения функции определена и первообразная.б) f ( x) =2⎛ 1⎞на промежутке ⎜ − , + ∞ ⎟33x + 1⎝⎠22 ⎛1⎞= ln ⎜ x + ⎟ + C3x + 1 3 ⎝3⎠2 1т.к. F(0)=6, то ln + C = 63 32 1Отсюда C = 6 − ln , тогда3 32F ( x) = ln(3x + 1) + 6 , очевидно, на области определения функции первооб3F ( x) = ∫разная тоже определена.7 + 2х7= 2+ .xхF ( х) = 2 х + 7 ln х + С ;4.2.
В02. а) f ( х) =F(8)=16+21ln2+С=15⇒С=–1–21ln2;F(11)=22+7ln11–1–7ln8=21+ 7 ln1111. Ответ: 21 + 7ln .883 + 8х.хF ( х) = 8 х + 3ln х + С ; F(4)=32+6ln2+С=7⇒С=–25–6ln2;77F(7)=56+3ln7–25–3ln4=31+ 3ln . Ответ: 31 + 3ln .44б) f ( х) =4.2 В03. а) f ( х) =7 х2 + 4.х24F ( х) = 7 х − + С ;х4xF(0,25)=1,75–16+С=17⇒С=31,25.
Ответ: F ( х) = 7 х − + 31, 25 .2419 х2 − 22= 9− 2 .2хх2F ( х) = 9 х + + С .х22F(0,5)=9⋅0,5++С=–5⇒С=–13,5. Ответ: F(х)=9х + − 13,5 .0,5хб) f ( х) =9 х2 + 112= 9 + 2 . f / ( х) = − 3 .х2хх2 1Пусть х0 — точка касания ⇒ f / ( х0 ) = − 3 = ⇒х0=–2.х0 44.2. В04. а) f ( х) =1414Уравнение: у = ( х + 2) + f (−2) ; f (−2) = 9 .Ответ: у =13х+9 .4447 х2 + 22= 7 + 2 . f / ( х) = − 3 .2хххх0 — точка касания ⇒ f / ( х0 ) = − 4 = 1 ⇒ х0 = −4 .х03 161113Уравнение у = ( х + 4 ) + f (−4) ; f (−4) = 7 . Ответ: у = х + 7 .168168б) f ( х) =4.2.
В05.7 х + 1212= 7+ .хх12/f ( х) = − 2 .х12Приравняем f / ( х0 ) = − 2 = −3 ⇒ х0 = 2 , или х0=–2.х0а) f ( х) =Уравнения: у=–3(х–2)+f(2)⇒у=–3х+19 и у=–3(х+2)+f(–2)⇒у=–3х–5.Ответ: y = –3x – 5.б) f ( х) =f / ( х) =5х − 99= 5− .хх9.х2Приравняем f / ( х0 ) =9= 1 ⇒ х0=3 или х0=–3.х02Уравнения у=(х+3)+f(–3) ⇒ у=х+11 и у=(х–3)+f(3) ⇒ у=х–1.Ответ: y = x + 11; y = x – 1.4.2.
В06.а) f ( х) =242х2−1 .х−2f / ( х) =2 х ( х − 2) − x2( х − 2)2=х2 − 4х( х − 2)⎛ 7 ⎞⎛= 1−27⎞4.( x − 2)2⎛7⎞⎛7⎞⎛7⎞46Уравнение: у = f / ⎜ ⎟⎜ х − ⎟ + f ⎜ ⎟ ; f / ⎜ ⎟ = −35 ; f ⎜ ⎟ =;3⎠⎝3⎠⎝ 3 ⎠⎝⎝ 3⎠⎝3⎠ 3у = −35 х +б) f ( х) =f / ( х) =245 46+= −35 х + 97 . Ответ: у=–35х+97.33х2+3.х−32 х ( х − 3) − х 2( х − 3)2=х2 − 6 х( х − 3)⎛ 10 ⎞⎛= 1−210 ⎞9.( x − 3) 2⎛ 10 ⎞⎛ 10 ⎞Уравнение: у = f / ⎜ ⎟⎜ х − ⎟ + f ⎜ ⎟ ; f / ⎜ ⎟ = −80 ;3⎠⎝ 3⎠⎝ 3 ⎠⎝⎝ 3⎠1⎛ 10 ⎞⎛ 10 ⎞ 109f ⎜ ⎟ = 36 ; y = (−80) ⎜ x − ⎟ += −80 x + 303 .33⎠ 3⎝ 3⎠⎝Ответ: y = –80x + 303.4.2. В07. а) f ( х) =f / ( х) =5х+2 .х2 + 15 х 2 + 5 − 10 х 2(х2)+12=−5 х 2 + 5(х2)+12.1⎞⎛ 1 ⎞⎛Уравнение: у = f ⎜ − ⎟⎜ х + ⎟ +3⎠⎝ 3 ⎠⎝/5− +5⎛ 1⎞⎛ 1⎞/ ⎛ 1⎞9= 3,6 ; f ⎜ − ⎟ = 0,5 .f ⎜− ⎟ ; f ⎜− ⎟ =100⎝ 3⎠⎝ 3⎠⎝ 3⎠81Ответ: у=3,6х+1,7.б) f ( х) =f / ( х) =4х+3 .х2 + 44 х 2 + 16 − 8 х 2(х2+4)2=−4 х 2 + 16(х⎛ 2 ⎞⎛2+4)22⎞.⎛ 2⎞⎛ 2⎞⎛ 2⎞Уравнение: у = f / ⎜ − ⎟⎜ х + ⎟ + f ⎜ − ⎟ ; f / ⎜ − ⎟ = 0,72 ; f ⎜ − ⎟ = 2, 4 .3⎠⎝ 3 ⎠⎝⎝ 3⎠⎝ 3⎠⎝ 3⎠Ответ: у=0,72х+2,88.4.2.
В08.4 1− + 5х .х х24 2f / ( х) = − 2 + 3 + 5 ;хха) f ( х) =f(–1)=–4–1–5=–10; f/(–1)=–4–2+5=–1. Уравнение: у=–(х+1)–10; у=–х–11.Ответ: y = –x – 11.2432 5+ + 4х .х х22 10f / ( х) = − 2 − 3 + 4 ; f(1)=11; f/(1)=–8.ххб) f ( х) =Уравнение: у=–8(х–1)+11, т.е. у=–8х+19.Ответ: –8x + 19.2 − 3х1121+ 5х = 2 −+ 5 х . f / ( х) = − 3 + 2 + 5 ;2х6 х23х3х 2 х5137⎛ 1⎞ 4⎛ 1 ⎞ 16.f ⎜ − ⎟ = +1− = − ; f / ⎜ − ⎟ = + 7 =2326233⎝⎠⎝⎠4.2.В09. а) f ( х) =37 ⎛1⎞ 137х+6 .⎜ х + ⎟ − . Ответ: у =3 ⎝2⎠ 632х + 31111б) f ( х) =− 5х =+− 5 х .
f / ( х) = − 2 − 3 − 5 ;3х 2 х 26 х23хх9 5 31⎛ 1⎞⎛ 1⎞f ⎜ − ⎟ = −1 + + =; f / ⎜ − ⎟ = −3 + 27 − 5 = 19 ;3236⎝⎠⎝ 3⎠Уравнение у =⎛1 ⎞ 3123Уравнение: у = 19 ⎜ х + ⎟ + . Ответ: у = 19 х + .3⎠ 62⎝4.2.В10. а) f ( х) =f / ( х) = 4 +1;х24 х2 − 5х − 11= 4х − 5 − .хх1f (−2) = −8 − 5 + = −12,5 ;2f /(–2)=4,25.Уравнение: у=4,25(х+2)–12,5; у=4,25х–4. Ответ: у = 4,25x – 4.2 х2 − 4х − 33= 2х − 4 − .хх311/f(–3)=–10+1=–9f ( х) = 2 + 2 ;f / (−3) = 2 + = 2 .33х111Уравнение: у = 2 ( х + 3) − 9 , т.е. у = 2 х − 2 . Ответ: y = 2 x − 2 .3332 х3 + х 2 + 5 х − 114.2.В11. а) f ( х) == 2х2 + х + 5 − .хх1⎛1⎞ 1 1/⎛1⎞/f ( х) = 4 х + 1 + 2 ; f ⎜ ⎟ = + + 5 − 2 = 4; f ⎜ ⎟ = 2 + 1 + 4 = 7 .х⎝2⎠ 2 2⎝2⎠б) f ( х) =⎛⎝1⎞11Уравнение: у = 7 ⎜ х − ⎟ + 4 ⇔ у = 7 х + .
Ответ: y = 7x + .222⎠3х3 + 2 х 2 − 5 х − 33= 3х 2 + 2 х − 5 − .хх3⎛1⎞ 1 2/f ( х) = 6 х + 2 + 2 ; f ⎜ ⎟ = + − 5 − 9 = −13 ;х⎝ 3⎠ 3 3б) f ( х) =244⎛1⎞f / ⎜ ⎟ = 2 + 2 + 27 = 31 .⎝ 3⎠⎛1⎞7070Уравнение: у = 31⎜ х − ⎟ − 13 ⇔ у = 31х −. Ответ: y = 31x –.3⎠33⎝4.2.В12.3xа) x=e, y=3x, y =Точка пересечения y = 3 x и y =e31 xeeТогда S = ∫ 3xdx − ∫ dx =1б) x=e, y=2x, y =3x 23e 2 33e2 − 9e− 3 ln x 1 =− −3 =;2 12 222xТочка пересечения y = 2 x и y =21 xe3есть при x=1.xee2имеет абсциссу 1.xeТогда S = ∫ 2 xdx − ∫ dx = x 2 1 − 2 ln x 1 = e2 − 1 − 2 = e2 − 3 .1Уровень С.4.2.С01.
а) f ( х) = −12−1 .х22411. У прямой у = х угловой коэффициент .99х31 24 111//Решим f ( х0 ) = . 3 = ⇒ х0 = 6 ; f (6) = −1 f (6) = ;9 х0 939f / ( х) =Касательная у =11 1( х − 6) − 1 = х − 2 .93 9Расстояние от начала координат до касательной найдем как высоту пря–моугольного треугольника, вершинами которого являются начало координати точки пересечения касательной с осями координат. Если a, b — катеты, c —гипотенуза, то высота: d =d=2 ⋅1822 + 1818Ответ:2=1882a ⋅b.
Точки пересечения: (0; –2) и (18; 0).c..828б) f ( х) = 2 + 3 .х1611f / ( х) = − 3 ; У прямой х угловой коэффициент .44х116 1/Решим f ( х0 ) = ⇔ − 3 = ⇒ х0 = −4 ; f(–4)=3,5; f /(–u)=–0,25.4х0 4Касательная у=0,25(х+4)+3,5=0,25х+4,5.245⎛9⎞Точки пересечения касательной с осями координат: ⎜ 0; ⎟ и (–18; 0). Рас⎝ 2⎠стояние до начала координат: d =9⋅1818182=. Ответ:.1781172+ 1844.2.С02.4−1 .9 х2 + 14 ⋅18 х72 хf / ( х) = −=−229х + 19х2 + 1а) f ( х) =()()2;72⎛ 1⎞/ ⎛ 1⎞f ⎜− ⎟ =1 ; f ⎜− ⎟ = + 3 = 6 .4⎝ 3⎠⎝ 3⎠⎛Касательная у ( х) = 6 ⎜ х + 1 ⎞⎟ + 1 = 6 х + 3 .3⎠⎝4Решим f ( х) = у ( х) ⇔ 2 − 1 = 6 х + 3 ;9х + 1(− 9 х2 − 3) = 6х + 3 ⇔ 9х− 3 + 54 х3 + 27 х 2 + 6 х + 3=0;9х +19х2 + 1154х3+36х2+6х=0 ⇔ х(9х2+6х+1)=0 ⇔ х=0; х = − ;3⎛ 1⎞f(0)=3 f ⎜ − ⎟ = 1 .⎝ 3⎠22⎛ 1⎞⎝⎠6 ⋅ 8х6б) f ( х) = − 2 + 1 .
f / ( х) =4х + 14 х2 + 1Ответ: (0; 3); ⎜ − ; 1⎟ .3(=48 х) ( 4х22)+12;⎛ 1⎞⎛ 1⎞f ⎜ − ⎟ = −2 ; f / ⎜ − ⎟ = −6 ;2⎝⎠⎝ 2⎠1⎞⎛у ( х) = −6 ⎜ х + ⎟ − 1 = −6 х − 5 — уравнение касательной.2⎠⎝6Решим f ( х) = у ( х) :1 − 2= −6 х − 5 ;4х +14 х 2 + 1 + 24 х 3 + 20 х 2 + 6 х + 4 − 5=0;4 х2 + 124х3+24х2+6х=0 ⇔ х(2х+1)2=0.2461⎛ 1⎞⎛ 1⎞; f(0)= –5; f ⎜ − ⎟ = −2 . Ответ: (0; –5), ⎜ − ; −2 ⎟ .222⎝⎠⎝⎠14.2.С03. а) f ( х) = − + 3 .х1//f ( х) = 2 ; f (1)=1 f(1)=2;хОтсюда, х=0, х = −Уравнение прямой: у(х)=х–1+2=х+1. Расстояние от начала координат2.22.24б) f ( х) = − − 3 .х4/f ( х) = 2 ; f /(1)=4; f(1)=–7.хОтвет:Уравнение прямой: у(х)=4(х–1)–7=4х–11.
Расстояние от начала координат:Ответ:11171117..1.х1⎛ 1⎞⎛ 1⎞f / ( х) = − 2 ; f / ⎜ − ⎟ = −9 ; f ⎜ − ⎟ = −3 .х⎝ 3⎠⎝ 3⎠4.2. С04. а) f ( х ) =⎛⎝1⎞Уравнение прямой: у = −9 ⎜ х + ⎟ − 3 = −9 х − 6 . Прямая пересекает оси в точ3⎠12⎛ 2⎞ках (0; –6) и ⎜ − ; 0 ⎟ . Площадь треугольника: ⋅ 6 ⋅ = 2 .23⎝ 3⎠Ответ: 2.б) f ( х) = −f / ( х) =1.х1⎛1⎞⎛1⎞; f ⎜ ⎟ = −3 ; f / ⎜ ⎟ = 9 .х2⎝ 3⎠⎝ 3⎠⎛⎝1⎞Уравнение прямой у = 9 ⎜ х − ⎟ + 3 = 9 х − 6 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
