shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 29
Текст из файла (страница 29)
а) f ( x) = x − x + . f′(x) = x – x ;98214.1.А04. а) f ( x) =f′(0,7) = (0,7)8 – (0,7)7 = (0,7)7(0,7 – 1) = –0,3 ⋅ (0,7)7 < 0. Ответ: f′(0,7) < 0.б) f ( x) =1 10 1 9 1x − x + . f′(x) = x9 – x8;10919f′(0,9) = (0,9)9 – (0,9)8 = (0,9)8(0,9 – 1) = –0,1 ⋅ (0,9)8 < 0.Ответ: f′(0,9) < 0.4.1.А06. а) f(x) = 0,5x2 – 5x + 9. f′(x) = x – 5;Приравняем f′(x) = 0 ⇒ x = 5; f(5) = 12,5 – 25 + 9 = –3,5.Ответ: Искомая точка (5; –3,5).б) f(x) = 2x2 + 4x + 3.
f′(x) = 4x + 4.Приравняем f′(x) нулю ⇒ x = –1.f(–1) = 2 – 4 + 3 = 1.Ответ: искомая точка (–1; 1).Уровень В.4.1. В01. а) f ( х) =− х8 + х 4 − 3 7.4f /(х)=-2х7+х3; f /(1)=-2+1=-1 — искомый угловой коэффициент.б) f ( x) =− х 20 + х5 + 2 3.5f /(х)=-4х19+х4; f /(1)=-4+1=-3 — искомый угловой коэффициент124.1. В02. а) y=(x+3)2 и y = − x .12Найдем точки пересечения ( x + 3) 2 = − x ,19x 2 + 6 x + 9 + x = 0 , 2x2+13x+18=0, x1=–2, x2 = −22225−2−2x2⎛ 1 ⎞тогда S = − ∫ ( x + 3) 2 dx + ∫ ⎜ − x ⎟ dx = −992 ⎠4−− ⎝22−2−9−2x33−2− 3x 29−2−2−92−2− 9x −9 =24 81 8 2432438181 8 243 818 81+ −− 12 ++ 18 − = 5 + + −− =5+ − ;4 16 3 84218 3 823 1612б) y=(x–2) и y = x3=− +Найдем точки пересечения( x − 2) 2 =114x , x 2 − 4 x + 4 = x , 3x2–13x+12=0, x1=3, x2 =333⎛1 ⎞4⎝3 ⎠33343тогда S = ∫ ⎜ x ⎟ dx − ∫ ( x 2 − 4 x + 4)dx =32= −3x26−43x33333386432163 ⎛ 8 1 4 2⎞− 3 + + 18 − − 12 + = 3 + + 8 ⎜ − − + ⎟ =2781932 ⎝ 81 27 9 3 ⎠3 8⎛ 814⎞38 ⋅ 23.= 3+ + ⎜ − − + 2⎟ = 3+ +2 3 ⎝ 27 9 32 3 ⋅ 27⎠4.1.
В03. а) f(х)=х2(2х-1)=2х3-х2.х 4 х3− +С ;2 31 111подставим точку (1, 2): 2 = − + С ⇒ С = .2 36х 4 х3 11Ответ: у = − + .2 3 6Первообразная: у = ∫ f ( х) =б) f(х)=х2(2х+1)= 2х3+х2.43Первообразная: у = ∫ f ( х) = х + х + С ;231 11подставим точку (1, 3): 3 = + + С ⇒ С = 2 .2 36х 4 х31Ответ: у = + + 2 .2 364.1. В04.а) f(х)=х(3х-2)2=9х3-12х2+4х.Первообразная: у = ∫ f ( х) =9 4х − 4 х3 + 2 х 2 + С ;4подставим точку (-2; -2): -2=36+32+8+С⇒С=-78;Ответ: у =9 4х − 4 х3 + 2 х 2 − 784б) f(х)=х(4х-1)2=16х3-8х2+х.83Первообразная: у = ∫ f ( х) = 4 х 4 − х3 +2263+ 2x2 4 − 4x 4 =43х2+С ;28 13 2подставим точку (-2; 1): −2 = 4 − + + С ⇒ С = −83Ответ: у = 4 х 4 − х3 +23.6х 2 23.−2 64.1. В05.а) f(х)=х-1.
Первообразная: у = ∫ f ( х) =х=4 — нуль функции у⇒х2− х+С ;242− 4 + С = 0 , C = –4;21х2− х − 4 = х 2 − 2 х − 8 . По т. Виета, второй нуль: -2.22б) f(х)=2х-3. Первообразная: у = ∫ f ( х) = х 2 − 3х + С ;Тогда у =()х=-2 — нуль функции у⇒(-2)2-3(-2)+С=0; С=-10.Тогда у=х2-3х-10. По теореме Виета, второй нуль: 5.4.1. В06. а) x(t) = t3 – 2t2 + 3t.Скорость — производная координаты по времени:v(t)=x/(t)=3t2-4t+3; v(1)=3-4+3=2.Ответ: v = 2.б) х(t)=t3+2t2-3t.Скорость — производная координаты:v(t)=3t2+4t-3; v(2)=3⋅4+4⋅2-3=17.Ответ: v = 17.4.1.
В07. а) f(x)=-2x3-12x2-23x-8.Тангенс угла наклона касательной — это производная в точке касания (х0; у0).f /(х)=-6х2-24х-23; f /(х0)= −6 х02 − 24 х0 − 23 = tg 45° = 1 ;х02 + 4 х0 + 4 = 0 ⇒ х0 = −2 ; у0=f(х0)=f(-2)=16-48+46-8= 6;(-2; 6) — точка касания.Ответ: (–2; 6).б) f(х)=3х3+18х2+37х-2. f /(х)=9х2+36х+37;Пусть (х0; у0) — точка касания: f /(х0)= 9 х02 + 36 х0 + 37 = tg 45° = 1 ;х02 + 4 х0 + 4 = 0 ⇒ х0 = −2 ;у0=f(х0)=f(-2)=--24+72-74-2=-28.(-2; -28) — точка касания.Ответ: (–1; –28).4.1.
В08. а) f ( х) = −х4 х2+ + 2 х + 23 .82Точка касания: (х0; у0), х0=-2; у0=f(x0)=-2+2-4+23=19;у-у0=f /(х0)(х-х0) — уравнение касательной;f / ( х) = −х3+ х + 2 ; f /(-2)=4-2+2=4.2Тогда у-19=4(х+2)⇒у=4х+27 — искомое уравнение. Ответ: y = 4x + 27.227б) f ( х) = −х4 х2− − 2 х + 7 . Точка касания (х0, у0), х0=-3; у0=f(х0)=-3-3+6+7=7;27 3(у-у0)=f /(х0)(х-х0) — уравнение касательной;f / ( х) = −4 3 2х − х − 2 ; f/(-3)=4+2-2=4.273Тогда у-7=4(х+3)⇔у=4х+19 — искомое уравнение.Ответ: y = 4x + 19.4.1. В09. а) f(х)=5х2+3х-8.f/(х)=10х+3;Пусть (х0, у0) — точка касания, тогда по условию: f/(х0)=10х0+3=-17⇒х0=-2.у0=f(х0)=20-6-8=6; у-у0=f/(х0)(х-х0) — уравнение касательной;у-6=-17(х+2)⇔у=-17х-28 — искомое уравнение.Ответ: y = –17x – 28.б) f(х)=4х2+5х-1.f/(х)=8х+5;Пусть (х0, у0) — точка касания, тогда по условию: f/(х0)=8х0+5=21⇒х0=2;у0= f(х0)=4⋅4+10-1=25; у-у0= f/(х0)(х-х0) ⇒у-25=21(х-2);у=21х-17 — искомое уравнение.
Ответ: y = 21x – 17.4.1. В10. а) f(х)=х3-6х2+7х+4.f/(х)=3х2-12х+7;Пусть (х0, у0) — точка касания, тогда: f/(х0)= 3х02 − 12 х0 + 7 = −5 ⇔ х0 = 2 .у0= f(х0)=8-24+14+4=2; у-у0= f/(х0)(х-х0);у-2=-5(х-2)⇔у=-5х+12 — искомое уравнение.Ответ: y = –5x + 12.б) f(х)=х3+3х2+9х-9.f/(х)=3х2+6х+9;Пусть (х0, у0) — точка касания, тогда: f/(х0)= х02 + 6 х0 + 9 = 6 ⇒ х0 = −1 ;у0= f(х0)=-1+3-9-9=-16; (у-у0)= f/(х0)(х-х0)⇔у+16=6(х+1).у=6х-10 — искомое уравнение.
Ответ: y = 6x – 10.4.1. В11. а) f(х)=х(х6-х3+1); f/(х)=(х6-х3+1)+х(6х5-3х2)=7х6-4х3+1;f(-1)=-1(1+1+1)=-3, следовательно, (-1; -3) — точка касания;f/(-1)=7+4+1=12. (у-у0)= f/(х0)(х-х0)⇔у+3=12(х+1);у=12х+9 — искомое уравнение. Ответ: y = 12x + 9.б) f(х)=х4(х6+х-1)=х10+х5-х4.f/(х)=10х9+5х4-4х3;f/(-1)=-10+5+4=-1; f(-1)=1-1-1=-1⇒(-1; -1) — точка касания;у-у0= f/(х0)(х-х0) ⇒у+1=-(х+1); у=-х-2 — искомое уравнение.Ответ: y = –x – 2.4.1.В12.а) f(х)=(х+3)4.f/(х)=4(х+3)3; f/(-2)=4;f(-2)=1⇒(-2; 1) — точка касания;y – 1 = 4(х+2)⇔у=4х+9 — искомое уравнение.Ответ: y = 4x + 9.228б) f(х)=(х-3)5.
f/(х)=5(х-3)4;f/(4)=5; f(4)=1⇒(4; 1) — точка касания;у-1=5(х-4)⇔у=5х-19 — искомое уравнение. Ответ: y = 5x – 19.Уровень С.4.1. С01.а) f(х)=3х2+10х-5;Множество первообразных: у = ∫ f ( х) = х3 + 5 х 2 − 5 х + С ;Функция f(х) принимает значение 3 только в точках: 3х2+10х-5=3;3х2+10х-8=0⇔х=-4, х =2.3⎛2⎞3⎛2⎞22Тогда (-4)3+5⋅(-4)2-5⋅(-4)+С=3 или ⎜ ⎟ + 5 ⋅ ⎜ ⎟ − 5 ⋅ + С = 3 ;3⎝3⎠⎝3⎠22.2722Ответ: у=х3+5х2-5х-33 и х3+5х2-5х+ 3 .27б) f(х)=3х2+2х-2. Первообразные у = ∫ f ( х) = х3 + х 2 − 2 х + С ;в первом случае С=-33, во втором С= 313f(х)=-1⇔3х2+2х-1=0⇔х=-1 х=+ .
Тогда –1+1+2+С=–1⇒С=–3;1 1 21313. Ответ: у=х3+х2–2х–3 и у=х3+х2–2х–.+ − + С = −1 ⇒ С = −27 9 327274.1. С02. а) f(х)=3х2+4х+1. Первообразные у = ∫ f ( х) = х3 + 2 х 2 + х + С ;Один из экстремумов равен 3, то есть у(х)=3, где х — точки экстремума.Точки экстремума — нули f(x).⎡ х = −1;⎢х = − 1⎢⎣3f(х)=0⇔3х2+4х+1=0⇔ ⎢⎡ у (−1) = 3⎡ −1 + 2 − 1 + С = 3⎡С = 3⇔⎢ 1 2 1⇔⎢;⎢− + − + С = 3⎢С = 3 4у − =3⎢⎣ ⎜⎝ 3 ⎟⎠27⎣⎢ 27 9 3⎣⎢То есть ⎢⎢ ⎛ 1 ⎞4.27б) f(х)=3х2–6х+3.
Первообразные у = ∫ f ( х) = х3 − 3х 2 + 3х + С ;Ответ: у=х3+2х2+х+3 и у=х3+2х2+х+ 3Точки экстремумов — нули у/(х)=f(х); f(х)=0⇔х1,2=1.Тогда у(1)=-2⇔1–3+3+С=-2⇔С=-3. Ответ: у=х3-3х2+3х-3.4.1. С03. а) Пусть (х0, у0) — точки касания. у(х)=х2-7х+11⇒у/(х)=2х-7;По условию, у/(х0)=у(х0)⇔ х02 − 7 х0 + 11 = 2 х0 − 7 ;х02 − 9 х0 + 18 = 0 ⇔ D=81-72=9, х0 =9±3.2Ответ: точки х0=3 или х0=6.229б) у(х)=х2+5х-4.у/(х)=2х+5. Пусть х0 — абсцисса точки касания.
По условию у(х0)=у/(х0):х02 + 5 х0 − 49 = 2 х0 + 5 ⇔ х02 + 3х0 − 54 = 0 ⇒х0=-9 или х0=6.Ответ: x0 = –9, x0 = 6.4.1. С04. а) f(х)=х2+7х+1.Первообразная у ( х) = ∫ f ( х) =х3 7 х 2++ х+С ;32Пусть х0 — абсцисса точки касания.f/(х)=2х+7: тангенс угла, образуемого касательной к f(х) равен f/(х0), а ку(х): f(х0).По условию, f/(х0)=f(х0);х02 + 7 х0 + 1 = 2 х0 + 7 ⇔ х02 + 5 х0 − 6 = 0 .Отсюда, х0=-6 или х0=1. Ответ: –6, 1.б) f(х)=х2+9х+1.f/(х)=2х+9;Пусть х0 — абсцисса точек касания, тангенс угла, образуемого касательнойк f(х), равен f/(х0), а к первообразной: f(х0). По условию:f(х0)= f/(х0)⇔х02+9х0+1=2x0 + 9⇔х02+7х0–8=0.Отсюда х0=-8 или х0=1.
Ответ: –8, 1.4.1. С05.а) f(х)=10х-3.Первообразная у = ∫ f ( х) = 5 х 2 − 3х + С ;Пусть а один из нулей у(х) (меньший), тогда, по условию, а+1 — тоже нуль.2⎪⎧5а − 3а + с = 0Имеем: ⎨⎩⎪5 ( а + 1) − 3 ( а + 1) + с = 02; вычтем первое уравнение из второго:2⎧5а 2 − 3а + с = 0⎪⎪⎧5а − 3а + с = 0;⇔⎨⎨22⎪⎩5 ( 2а + 1) = 3⎪⎩5 ( а + 1) − а − 3 = 01 34⎧⎧5а 2 − 3а + с = 0с=− − =−⎪⎪⎪5 55;⎨21 ⇔⎨⎪а = − = −⎪а = − 1105⎩⎪⎩54у=5х2-3х– — наша первообразная. График пересекает ось ординат в точ54⎞4⎞⎛⎛ке (0, у(0)), то есть ⎜ 0; − ⎟ . Ответ: ⎜ 0; − ⎟ .5⎠5⎠⎝⎝()б) f(х)=6х+5.
Первообразная у = ∫ f ( х) = 3х 2 + 5 х + С ;Пусть а один из нулей у(х) (меньший), тогда, по условию, а+3 — тоже нуль.⎧⎪3а 2 + 5а + с = 0Имеем: ⎨⎪⎩3 ( а + 3) + 5а + 15 + с = 02302; вычтем первое уравнение из второго.⎧с = −3а 2 − 5а249 351414⎪⎧3а + 5а + с = 0⎪= − ; у=3х2+5х.⇔⎨⎨427 ; с = −3 ⋅ +93333323150а⋅⋅++==−=−а()⎪⎩⎪183⎩⎛14 ⎞График пересекает ось ординат в точке (0, у(0)), то есть ⎜ 0; − ⎟ .3⎠⎝⎛⎝Ответ: ⎜ 0; −14 ⎞⎟.3⎠4.1. С06. а) f(х)=20х+2.Первообразная у = ∫ f ( х) = 10 х 2 + 2 х + С Минимум достигается в вершинеb21=−=− .2а20101 2⎛ 1⎞По условию, у ⎜ − ⎟ = −6 ;− + С = −6 ⇒ С = −5,9 .101010⎝⎠параболы: хmin = −Ответ: 10х2+2х-5,9.б) f(х)=6х-2.Первообразная у ( х ) = ∫ f ( х) = 3х 2 − 2 х + С .Минимум достигается в вершине параболы: хmin = −⎛1⎞12b 1= .2а 355По условию, у ⎜ ⎟ = −2 ⇔ − + С = −2 ⇒ С = − . Ответ: у(х)=3х2-2х- .3 333⎝ 3⎠4.1. С07.
а) f(х)=х2-10х+32.Первообразная у = ∫ f ( х) =х3− 5 х 2 + 32 х + С .3Функция f(х) не имеет нулей, следовательно, у(х) не имеет экстремумов.Наибольшее значение у(х) на [–5; 0] достигается в 0, наименьшее в точке -5.у(0)=С=86⇒ у ( х) =х3− 5 х 2 + 32 + 86 ;3125722722− 125 − 160 + 86 = −. Ответ: −.3331б) f(х)=х2+8х+32. Первообразная у = ∫ f ( х) = х 3 + 4 х 2 + 32 х + С .3уmin = у (−5) = −f(х) не имеет нулей, значит уmax=у(0)=С=85, т.к. функция возрастает.уmin=у(-6)=−63+ 4⋅62 – 32⋅6 + 85 = –35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
